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摘要： 分析了轴向流作用下两端简支和固支叠层板的稳定性和模态特性。基于势流理论建立轴向流作用下叠层板的流固耦合系统连续型运动方程，采用微分求积法对连续型运动方程进行离散，流场势函数用板的横向振动位移变量来表示，得到关于叠层板的横向振动位移变量的控制方程。求解控制方程的广义特征值，计算分析结果表明，两端简支和两端固支模型发生屈曲失稳，且得到了屈曲失稳临界速度与叠层板的层数和板间距的关系；轴向流作用下叠层板的一阶模态并不是叠层板的同相弯曲模态。关键词： 叠层板； 轴向流； 横向振动； 屈曲失稳； 微分求积法
中图分类号：O343.9； O351.2文献标志码： A文章编号： 10044523（2015）02019706
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2015.02.004
引言
叠层板结构在反应堆结构一体化设计中有广泛的应用。这种结构的特点是相邻两个平行板之间存在流道，供冷却液流动，属于典型的轴向流作用下的流固耦合系统。轴向流作用下的叠层板结构的流致振动问题受到众多学者的关注。Michelin [1]对悬臂平行板在均匀势流作用下的线性稳定性进行了分析，得到了质量比、板间距、板的层数和来流速度等参数的变化对系统稳定性的影响。Miller[2]在假定相邻板间距很小且振动相位相反的条件下，给出了两端简支和两端固支叠层板临界流速理论表达式。范晨光[3]采用势流理论，基于Hamilton原理，建立了三叠层板流固耦合模型，并采用微分求积法对模型的控制方程进行求解，确定了不同支承条件和参数条件下系统的失稳的临界流速与形式。张立翔[4]采用微分求积法在流体结构相互耦合框架下同时求解三维原变量形式的NavierStokes（NS）方程和板的振动方分程，获取作用在弹性板上的动水压力场，发展了微求积法在流固耦合分析中的应用。
本文在叠层板小变形和来流定常势流假设条件下，建立轴向流作用下叠层板的流固耦合系统连续型运动方程，采用微分求积法对其进行离散，通过矩阵运算使流场势函数用板的横向振动位移变量来表示，得到关于叠层板的横向振动位移变量的控制方程。再对控制方程广义特征值求解得到的结果进行稳定性分析和模态特性分析。
1层叠板运动控制方程与边界条件
4结论
建立了任意层叠层板在轴向流作用下的流固耦合运动控制方程。用微分求积法统一化离散，对叠层板在轴向流作用下的稳定性和模态进了分析，得出以下结论：
1） 两端固定或简支板首先出现屈曲失稳再出现耦合模态颤振，而不会发生单模态颤振；
2） 对于屈曲失稳，在叠层板层数n一定时，随着板间距c的增大，临界流速λcr也随之增大，当板间距c大于1后，λcr趋于某一定值；当板间距c一定时，随着叠层板层数的增加临界流速λcr随之减小，当层数n远大于1时λcr也趋于某一定值；
3） 数值计算结果和Miller给定的解析表达式得到的结果在板间距c较小时能很好的吻合，说明了本算法的有效性；
4） 通过数值计算可以得到任意层叠层板在轴向流作用下的模态为复模态；根据叠层板之间的振动相位，把轴向流作用下四叠层板的模态分为四类；轴向流作用下叠层板的一阶模态并不是叠层板的同相弯曲模态，体现了流体力对固有特性的影响。
参考文献：
[1]Michelin S， Llewellyn Smith S G. Linear stability analysis of coupled parallel flexible plates in an axial flow[J]. Journal of Fluids and Structures 2009，25：1 136—1 157.
[2]Miller D R. Critical flow velocities for collapse of reactor parallelplate fuel assemblies[J]. Journal of Engineering for Power， April， 1960：83—95.
[3]范晨光，杨翊仁.叠层板状结构流致振动特性研究[J].工程力学，2007，24（9）：31—36.
Fan Chenguang， Yang Yiren. Study on flowinduced vibration of a laminatedplatetype structure[J]. Engineering Mechanics， 2007，24（9）：31—36.
[4]张立翔，徐天茂，张洪明.振动边界耦合作用下基于微分求积法的三维不可压缩粘性流体的数值模拟[J].水动力学研究与进展，2005，20（2）：196—206.
Zhang Lixiang， Xu Tianmao， Zhang Hongming. Numerical simulation of threedimensional fluidstructure interaction for incompressible viscous fluid by differential quadrature method[J]. Journal of Hydrodynamics， 2005，20（2）：196—206.
[5]Guo C Q， Paidoussis M P. Analysis of hydroelastic instabilities of rectangular parallelplate assemblies[J]. ASME Journal of Pressure Vessel Technology， 2000，122：502—508. [6]Guo C Q， Paidoussis M P. Stability of rectangular plates with free sideedges in twodimensional in viscid channel flow[J]. Journal of Applied Mechanics， 2000，67：171—176.
[7]Yang Y R， Zhang J Y. Frequency analysis of a parallel flat platetype structure in still water， Part I： a multispan beam[J]. Journal of Sound and Vibration， 1997，203（5）：795—804.
[8]Yang Y R， Zhang J Y. Frequency analysis of a parallel flat platetype structure in still water， Part II： a complex structure[J]. Journal of Sound and Vibration， 1997，203（5）：805—814.
[9]Tang L， Paidoussis M P. The coupled dynamics of two cantilevered flexible plates in axial flow[J]. Journal of Sound and Vibration， 2009，323：214—231.
[10]Kornecki A. Static and dynamic instability of panels and cylindrical shells in subsonic potential flow[J]. Journal of Sound and Vibration， 1974，32：251—263.
[11]Li P， Yang Y R. Instability analysis of fluid and elastic panel system based on the differential quadrature method[A]. 2011 2nd International Conference on Mechanic Automation and Control Engineering， MACE 2011Proceedings[C]. Shanghai： 2011：2 258—2 262.
[12]Chang Shu. Differential Quadrature and Its Application in Engineering[M]. London： Springer， 2000.
[13]唐冶，方勃，张业伟，等.非线性弹簧支承悬臂输液管道的分岔与混沌分析[J].振动与冲击，2011，30（8）：169—274.
Tang Ye， Fang Bo， Zhang Yewei， et al. Bifurcation and chaos analysis of cantilever conveying fluid with nonlinear spring support[J]. Journal of Vibration and Shock， 2011，30（8）：169—274.
[14]李庆祥，孙炳楠.封闭薄膜屋盖的风致气动力失稳分析[J].振动工程学报，2006，19：（3）：346—353.
Li Qingxiang， Sun Bingnan. Windinduced aerodynamic instability for closed membrane roofs[J]. Journal of Vibration Engineering， 2006，19（3）：346—353.
[15]崔振东，唐益群，郭长青，等.叠层板型燃料堆芯元件模型的流固耦合振动[J].振动与冲击，2007，26（2）：48—71.
Abstract： The stability and dynamics of the parallel plates with simply supported （or clamped） boundary conditions in uniform axial flow were studied. Flow viscosity and elastic damping are neglected， and the flow around the plates is assumed potential. The governing equations of coupled parallel flexible plates in axial flow were derived. The differential quadrature method was employed to discrete the governing equation and the flow potential function. The governing equation can be expressed as the function of structural transverse vibration displacement by the matrix operations. The eigenvalue method was used to analyze the results of the coupled parallel flexible plates， the results of which show that the models with simply supported （or clamped） boundary conditions undergo buckling instability when flow velocity reaches the critical value. The effects of their relative distance and the number of plates on critical flow velocities were discussed. The first mode of the coupled parallel flexible plates is not the inphase mode.
Key words： parallel plates； axial flow； transverse vibration； buckling instability； differential quadrature method
中图分类号：O343.9； O351.2文献标志码： A文章编号： 10044523（2015）02019706
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2015.02.004
引言
叠层板结构在反应堆结构一体化设计中有广泛的应用。这种结构的特点是相邻两个平行板之间存在流道，供冷却液流动，属于典型的轴向流作用下的流固耦合系统。轴向流作用下的叠层板结构的流致振动问题受到众多学者的关注。Michelin [1]对悬臂平行板在均匀势流作用下的线性稳定性进行了分析，得到了质量比、板间距、板的层数和来流速度等参数的变化对系统稳定性的影响。Miller[2]在假定相邻板间距很小且振动相位相反的条件下，给出了两端简支和两端固支叠层板临界流速理论表达式。范晨光[3]采用势流理论，基于Hamilton原理，建立了三叠层板流固耦合模型，并采用微分求积法对模型的控制方程进行求解，确定了不同支承条件和参数条件下系统的失稳的临界流速与形式。张立翔[4]采用微分求积法在流体结构相互耦合框架下同时求解三维原变量形式的NavierStokes（NS）方程和板的振动方分程，获取作用在弹性板上的动水压力场，发展了微求积法在流固耦合分析中的应用。
本文在叠层板小变形和来流定常势流假设条件下，建立轴向流作用下叠层板的流固耦合系统连续型运动方程，采用微分求积法对其进行离散，通过矩阵运算使流场势函数用板的横向振动位移变量来表示，得到关于叠层板的横向振动位移变量的控制方程。再对控制方程广义特征值求解得到的结果进行稳定性分析和模态特性分析。
1层叠板运动控制方程与边界条件
4结论
建立了任意层叠层板在轴向流作用下的流固耦合运动控制方程。用微分求积法统一化离散，对叠层板在轴向流作用下的稳定性和模态进了分析，得出以下结论：
1） 两端固定或简支板首先出现屈曲失稳再出现耦合模态颤振，而不会发生单模态颤振；
2） 对于屈曲失稳，在叠层板层数n一定时，随着板间距c的增大，临界流速λcr也随之增大，当板间距c大于1后，λcr趋于某一定值；当板间距c一定时，随着叠层板层数的增加临界流速λcr随之减小，当层数n远大于1时λcr也趋于某一定值；
3） 数值计算结果和Miller给定的解析表达式得到的结果在板间距c较小时能很好的吻合，说明了本算法的有效性；
4） 通过数值计算可以得到任意层叠层板在轴向流作用下的模态为复模态；根据叠层板之间的振动相位，把轴向流作用下四叠层板的模态分为四类；轴向流作用下叠层板的一阶模态并不是叠层板的同相弯曲模态，体现了流体力对固有特性的影响。
参考文献：
[1]Michelin S， Llewellyn Smith S G. Linear stability analysis of coupled parallel flexible plates in an axial flow[J]. Journal of Fluids and Structures 2009，25：1 136—1 157.
[2]Miller D R. Critical flow velocities for collapse of reactor parallelplate fuel assemblies[J]. Journal of Engineering for Power， April， 1960：83—95.
[3]范晨光，杨翊仁.叠层板状结构流致振动特性研究[J].工程力学，2007，24（9）：31—36.
Fan Chenguang， Yang Yiren. Study on flowinduced vibration of a laminatedplatetype structure[J]. Engineering Mechanics， 2007，24（9）：31—36.
[4]张立翔，徐天茂，张洪明.振动边界耦合作用下基于微分求积法的三维不可压缩粘性流体的数值模拟[J].水动力学研究与进展，2005，20（2）：196—206.
Zhang Lixiang， Xu Tianmao， Zhang Hongming. Numerical simulation of threedimensional fluidstructure interaction for incompressible viscous fluid by differential quadrature method[J]. Journal of Hydrodynamics， 2005，20（2）：196—206.
[5]Guo C Q， Paidoussis M P. Analysis of hydroelastic instabilities of rectangular parallelplate assemblies[J]. ASME Journal of Pressure Vessel Technology， 2000，122：502—508. [6]Guo C Q， Paidoussis M P. Stability of rectangular plates with free sideedges in twodimensional in viscid channel flow[J]. Journal of Applied Mechanics， 2000，67：171—176.
[7]Yang Y R， Zhang J Y. Frequency analysis of a parallel flat platetype structure in still water， Part I： a multispan beam[J]. Journal of Sound and Vibration， 1997，203（5）：795—804.
[8]Yang Y R， Zhang J Y. Frequency analysis of a parallel flat platetype structure in still water， Part II： a complex structure[J]. Journal of Sound and Vibration， 1997，203（5）：805—814.
[9]Tang L， Paidoussis M P. The coupled dynamics of two cantilevered flexible plates in axial flow[J]. Journal of Sound and Vibration， 2009，323：214—231.
[10]Kornecki A. Static and dynamic instability of panels and cylindrical shells in subsonic potential flow[J]. Journal of Sound and Vibration， 1974，32：251—263.
[11]Li P， Yang Y R. Instability analysis of fluid and elastic panel system based on the differential quadrature method[A]. 2011 2nd International Conference on Mechanic Automation and Control Engineering， MACE 2011Proceedings[C]. Shanghai： 2011：2 258—2 262.
[12]Chang Shu. Differential Quadrature and Its Application in Engineering[M]. London： Springer， 2000.
[13]唐冶，方勃，张业伟，等.非线性弹簧支承悬臂输液管道的分岔与混沌分析[J].振动与冲击，2011，30（8）：169—274.
Tang Ye， Fang Bo， Zhang Yewei， et al. Bifurcation and chaos analysis of cantilever conveying fluid with nonlinear spring support[J]. Journal of Vibration and Shock， 2011，30（8）：169—274.
[14]李庆祥，孙炳楠.封闭薄膜屋盖的风致气动力失稳分析[J].振动工程学报，2006，19：（3）：346—353.
Li Qingxiang， Sun Bingnan. Windinduced aerodynamic instability for closed membrane roofs[J]. Journal of Vibration Engineering， 2006，19（3）：346—353.
[15]崔振东，唐益群，郭长青，等.叠层板型燃料堆芯元件模型的流固耦合振动[J].振动与冲击，2007，26（2）：48—71.
Abstract： The stability and dynamics of the parallel plates with simply supported （or clamped） boundary conditions in uniform axial flow were studied. Flow viscosity and elastic damping are neglected， and the flow around the plates is assumed potential. The governing equations of coupled parallel flexible plates in axial flow were derived. The differential quadrature method was employed to discrete the governing equation and the flow potential function. The governing equation can be expressed as the function of structural transverse vibration displacement by the matrix operations. The eigenvalue method was used to analyze the results of the coupled parallel flexible plates， the results of which show that the models with simply supported （or clamped） boundary conditions undergo buckling instability when flow velocity reaches the critical value. The effects of their relative distance and the number of plates on critical flow velocities were discussed. The first mode of the coupled parallel flexible plates is not the inphase mode.
Key words： parallel plates； axial flow； transverse vibration； buckling instability； differential quadrature method