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摘 要：《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的过程性目标动词，这就为数学教学真正落实过程性目标找到了有效的路径。在数学教学中，要有效地引导学生经历数学知识发生、发展与形成的过程，发展数学思维，感悟基本数学思想，积累数学活动经验。同时，还要引导学生经历数学知识应用的过程，提高解决问题的能力，形成积极的数学学习情感与态度。
关键词：解决问题的策略；表格；数量关系
新课程改革将“过程与方法”作为教学的重要目标，《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的过程性目标动词，这就为数学教学真正落实过程性目标找到了有效的路径。在数学教学中，要有效地引导学生经历数学知识发生、发展与形成的过程，发展数学思维，感悟基本数学思想，积累数学活动经验。同时，还要引导学生经历数学知识应用的过程，提高解决问题的能力，形成积极的数学学习情感与态度。本文试以苏教版小学数学四年级上册《解决问题的策略——从条件和问题想起》一课的教学为例，谈谈笔者自己的思考与实践。
一、感受列表，体会列表的需要
《解决问题的策略——从条件和问题想起》一课，教材创设了这样的问题情境：
小芳家栽3行桃树、8行杏树和4行梨树。桃树每行7棵，杏树每行6棵，梨树每行5棵。桃树和梨树一共有多少棵？
在试教时，笔者将教材原封不动地出示给了学生，结果大部分学生花了不到2分钟的时间就将这道问题解答出来，很少甚至没有学生想到要通过列表的方式来解决问题。课后笔者进行反思：这是教材上的例题，为什么达不到教材想要的效果呢？原来，教材的意图是通过这一问题解决的过程让学生体会列表这一策略的价值，学生只有在产生列表的需要时才会对列表策略的价值有所体会，并对以后解决问题获取新知也有很大的益处。
如何利用情境，激发学生产生整理信息的愿望呢？笔者组织了如下的教学过程——
师出示课件（如图1）：
师：看了这些信息，你有什么感受？
生：很多，有些杂乱。
师：你想怎么办？
生：整理一下。
师：是呀，为了又快又准地弄清题意，我们要对这些条件进行必要的整理。现在就请同学们把这些信息整理在导学单的第一部分。
（学生独自整理信息，教师收集后进行展示交流。）
生：我是将果树按照桃树、杏树、梨树来分类摘录整理的。（如图2）
生：我也是按照果树的种类分类整理的，但是我还根据行数和每行棵数进行了对应整理。（如图3）
师：这样整理比刚才屏幕上的信息整齐了很多，你们可真有办法！
生：我是根据问题“求桃树和梨树一共多少棵”选取了桃树的条件和梨树的条件分类对应整理的。（如图4）
师：为了看得更清楚，我们可以给这些整理好的条件加上边线，用列表的方法整理信息。
师：瞧，把这些整理好的信息和原来的信息对比，你有什么感受？
生：比原来清楚了，更有条理了。
师：是的，列表可以帮助我们把已知条件看得更清楚，有利于发现数量之间的关系。不管是摘录整理还是列表整理，都能帮助我们理解题意。
【思考：列表整理信息的策略，是让学生根据条件与条件、条件与问题之间的内在关系，舍弃相关的情节要素和事件背景，抽取数量关系涉及的纯粹数量，使得问题的表征得以最大限度地简化，从而便于学生透过现象看本质。首先，在教学时要让学生产生整理信息的需要。从学生的心理感受来说，这种需要并不是在教师的要求或提示下才产生的，而是基于对条件和问题的特点产生的。因此，在学生充分感受到例题的条件之多之乱后抛出问题“桃树和梨树一共有多少棵”，使学生自然地产生整理信息的心理需求，当然这里的整理方法可以是列表，也可以是摘录。之后，教师为学生提供动手操作的时间和空间，鼓励学生用喜欢的方式整理信息。这样，学生无论能否运用列表的策略整理信息，他们都实实在在地经历了整理信息的过程，展现了原生态的思考，为后面进一步研究列表的策略提供了鲜活的教学资源。】
二、抓住表格，分析数量关系
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学课程应培养学生的抽象思维能力。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的根本途径。”数学学习要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并理解运用的过程。因此，在教学中，笔者充分抓住并利用表格为导向，帮助学生建立思维模型，在解决问题的过程中明确所需的策略。
利用表格表征问题，理解题意是解决问题的第一个步骤，但列表策略的教学还不能到此为止，笔者组织了以下教学过程：
师：弄清题意后我们就可以分析数量关系并确定先算什么？
师：请同桌交流一下你准备先算什么？你是怎么分析的？
生：根据“桃树有3行，每行7棵”，可以求出桃树的棵数（表后板贴：桃树的棵数），数量关系是：桃树的行数×每行棵数=桃树的棵数；再根据“梨树有4行，每行5棵”，可以求出梨树的棵数（表后板贴：梨树的棵数），数量关系是：梨树的行数×每行棵数=梨树的棵数；最后把桃树的棵数和梨树的棵数加起来就可以求出问题“桃树和梨树共有的棵数”（板贴）。
师：这种分析数量关系的方法运用了哪种策略？
生：从条件想起分析数量关系。（板贴：从条件想起）
师：谁再来有序地说说从条件想起的思考过程？（师指着表格，课件逐步展示数量关系，如图5）
师：有没有不同的分析思路？不从条件出发分析可以吗？
生：根据问题“桃树和梨树一共有多少棵”，必须先知道桃树的棵数和梨树的棵数，题中没有直接告诉我们，所以先算桃树的棵数和梨树的棵数。桃树的行数×每行棵数=桃树的棵数，梨树的行数×每行棵数=梨树的棵数。 师：和刚才相比，分析方法有什么不同？
生：从问题想起分析数量关系。（板贴：从问题想起）
师：我们一起来完整地说说分析过程。（师指着表格，课件逐步展示数量关系，如图6）
师：对于比较复杂的问题，我们还可以将从条件想起和从问题想起两种策略综合运用。如刚才这题，从条件出发，根据“行数×每行棵数”就可以求出梨树和桃树的棵数，再从问题出发，发现知道桃树的棵数和梨树的棵数即可，所以马上可以确定应该先算桃树和梨树的棵数。（师结合课件展示，如图7）
【思考：依托整理的表格，笔者引导学生寻找本题的数量关系，在这里横向观察表格能得到“桃树的行数×每行棵数=桃树的棵数”“ 梨树的行数×每行棵数=梨树的棵数”，再将桃树的棵数和梨树的棵数加起来就可以求出问题“桃树和梨树共有的棵数”，也就是三年级时学习的“从条件想起的策略”；纵向观察表格能得到“桃树的棵数 梨树的棵数=共有的棵数”，再由这一数量关系思考解决这一问题必须要知道“桃树的棵数”“梨树的棵数”，也就是三年级时学习的“从问题想起的策略”。虽然表格的叙述方式只有寥寥几字，但正是表格呈现了几组有着内在关联信息的分类对比，才方便了我们观察和发现表格中横向和纵向的数量关系，促进问题的解决。】
三、检验反思，体会表格的价值
著名的数学教育家波利亚非常重视解决问题之后的反思，他说：“如果没有了反思，他们就错过了解题的重要而有效益的方面”，“通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力”。从解决问题的策略的形成需要来看，检验反思也是必不可少的过程：
师：现在我们能写答句了吗？对，写答句之前我们一般先要进行检验。已经学过用什么方法检验？
生：把求出的问题当成已知条件代入原题，把原题中的一个条件当成问题，看求出的结果是否相同来进行检验。
师：这里有四个条件，你们想把哪个条件变成问题？可不可以把别的条件变成问题？现在我们就用这种方法进行检验吧，请大家把检验过程写在导学单上。
交流检验方法（如图8）：
师：在刚才解决问题时，我们用了哪些策略？
生：理解题意时用到了列表的策略。
生：分析数量关系时用到了从条件想起的策略和从问题想起的策略，还可以综合运用两种策略。
师： 对，理解题意时，可以用列表的策略整理信息，这样容易看清，便于分析（指表格）。在分析数量关系时我们可以采用从条件想起（表格横指）或从问题想起（表格竖指）以及综合运用两种策略，这样可以帮助我们理清解题思路，确定先算什么，再算什么，最后算什么。
【思考：对四年级的学生而言，这是第一次完整经历解决问题的策略的四个步骤，所以要让学生在反思的过程中形成反思的意识，逐步养成反思的习惯。如果以解决问题为目的，得出问题的正确结果，解题活动就可以结束了。然而，数学教学中的解决问题，目的不只是得到问题的答案，而是提高学生解决问题的能力，培养解决问题的策略。所以，得到问题的结论不应是教学的结束，还要帮助学生进一步积累解决问题的经验，形成解决问题的有效策略。因此，在解决问题之后进行反思，解题的方法会得到明晰，原有的经验会得到强化，策略的价值会得到更好的领悟。在解决问题之后，教师引导学生回顾与反思解决问题的过程，突出了三个方面：一是解决这个问题的方法，强化对列表策略和从条件想起、从问题想起的策略的印象；二是列表时要注意的事项，体会列表的关键；三是回顾列表的过程，体会用列表的策略解决问题具备的特点。这样的回顾反思，指向明确，有助于学生深化对列表策略和从条件想起、从问题想起的策略的认识，同时也有助于学生逐步养成回顾反思的学习习惯。】
四、应用策略，内化表格的内涵
策略的形成不是一蹴而就的，而应是一个循序渐进、不断感悟和理解的过程。因此，在初步学习策略之后，还要通过变化的情境和问题，引导学生加深对策略的体会，积累运用策略解决实际问题的经验，为真正形成策略“添砖加瓦”——
师：现在让我们一起来挑战一下自己吧！老师不再提醒，请每个同学自己尝试按四步解题法独立完成解题过程，看谁挑战成功。（课件出示“练一练”第2题：江老师买2件长袖衬衫一共用去270元，买3件短袖衬衫一共用去180元。一件长袖衬衫比一件短袖衬衫贵多少元？）
（学生在导学单上独立完成，之后，教师投影展示一位学生的导学单，并让全班学生说说这位学生的解题过程。）
师：第一步理解题意时，他用什么方法整理信息？
生：他是列表整理的。
师：看来大家都感受到了列表整理的优势。
师：第二步分析数量关系时，谁能看懂他是从什么出发分析的？你能说说分析过程吗？
……
师：列式方法和你们一样吗？第一步算的是？第二步？第三步呢？
师：一起看检验过程。把问题当成条件代入原题后，他把哪个条件变成了问题？检验出来对吗？
师：四步解题法的确很管用，只要你按照这四步来做，再复杂的实际问题都会迎刃而解。
……
【思考：解决问题需要认真整理条件和问题，这是解决问题很重要的一步。使用哪一种方式、方法进行整理，都要从学生自己的实际能力出发进行选择。教材在呈现例题时采用的是“有形”的表格，到“练一练”第2题没有明确提出整理条件和问题的要求，这并不是不要求学生整理信息，而是希望学生自觉进行整理信息的活动。学生可以根据自己的需要，或是采用“有形”的信息整理方式，或是在头脑里想象表格，进行“无形”地整理。学生能够经历从看得见的“有形表格”到想在心里的“无形表格”的思考、演变过程。有了这样的思想引领，学生获得的不仅仅是列表整理的知识方法，更是列表活动经验的积累和对应思想方法的感悟，从“有形”到“无形”，提升了学生数学思考的能力和综合素养。】
策略的形成应体现在解决新问题的过程中，如果获得的策略只应用于比较熟悉的、已经知道解法的问题之中，那么策略的价值和意义就变得有限了。所以，学生通过解答更多的实际问题，可以进一步体会列表策略和从条件想起、从问题想起的策略的价值，掌握运用策略解决问题的方法，丰富运用策略的经验。
关键词：解决问题的策略；表格；数量关系
新课程改革将“过程与方法”作为教学的重要目标，《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的过程性目标动词，这就为数学教学真正落实过程性目标找到了有效的路径。在数学教学中，要有效地引导学生经历数学知识发生、发展与形成的过程，发展数学思维，感悟基本数学思想，积累数学活动经验。同时，还要引导学生经历数学知识应用的过程，提高解决问题的能力，形成积极的数学学习情感与态度。本文试以苏教版小学数学四年级上册《解决问题的策略——从条件和问题想起》一课的教学为例，谈谈笔者自己的思考与实践。
一、感受列表，体会列表的需要
《解决问题的策略——从条件和问题想起》一课，教材创设了这样的问题情境：
小芳家栽3行桃树、8行杏树和4行梨树。桃树每行7棵，杏树每行6棵，梨树每行5棵。桃树和梨树一共有多少棵？
在试教时，笔者将教材原封不动地出示给了学生，结果大部分学生花了不到2分钟的时间就将这道问题解答出来，很少甚至没有学生想到要通过列表的方式来解决问题。课后笔者进行反思：这是教材上的例题，为什么达不到教材想要的效果呢？原来，教材的意图是通过这一问题解决的过程让学生体会列表这一策略的价值，学生只有在产生列表的需要时才会对列表策略的价值有所体会，并对以后解决问题获取新知也有很大的益处。
如何利用情境，激发学生产生整理信息的愿望呢？笔者组织了如下的教学过程——
师出示课件（如图1）：
师：看了这些信息，你有什么感受？
生：很多，有些杂乱。
师：你想怎么办？
生：整理一下。
师：是呀，为了又快又准地弄清题意，我们要对这些条件进行必要的整理。现在就请同学们把这些信息整理在导学单的第一部分。
（学生独自整理信息，教师收集后进行展示交流。）
生：我是将果树按照桃树、杏树、梨树来分类摘录整理的。（如图2）
生：我也是按照果树的种类分类整理的，但是我还根据行数和每行棵数进行了对应整理。（如图3）
师：这样整理比刚才屏幕上的信息整齐了很多，你们可真有办法！
生：我是根据问题“求桃树和梨树一共多少棵”选取了桃树的条件和梨树的条件分类对应整理的。（如图4）
师：为了看得更清楚，我们可以给这些整理好的条件加上边线，用列表的方法整理信息。
师：瞧，把这些整理好的信息和原来的信息对比，你有什么感受？
生：比原来清楚了，更有条理了。
师：是的，列表可以帮助我们把已知条件看得更清楚，有利于发现数量之间的关系。不管是摘录整理还是列表整理，都能帮助我们理解题意。
【思考：列表整理信息的策略，是让学生根据条件与条件、条件与问题之间的内在关系，舍弃相关的情节要素和事件背景，抽取数量关系涉及的纯粹数量，使得问题的表征得以最大限度地简化，从而便于学生透过现象看本质。首先，在教学时要让学生产生整理信息的需要。从学生的心理感受来说，这种需要并不是在教师的要求或提示下才产生的，而是基于对条件和问题的特点产生的。因此，在学生充分感受到例题的条件之多之乱后抛出问题“桃树和梨树一共有多少棵”，使学生自然地产生整理信息的心理需求，当然这里的整理方法可以是列表，也可以是摘录。之后，教师为学生提供动手操作的时间和空间，鼓励学生用喜欢的方式整理信息。这样，学生无论能否运用列表的策略整理信息，他们都实实在在地经历了整理信息的过程，展现了原生态的思考，为后面进一步研究列表的策略提供了鲜活的教学资源。】
二、抓住表格，分析数量关系
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学课程应培养学生的抽象思维能力。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的根本途径。”数学学习要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并理解运用的过程。因此，在教学中，笔者充分抓住并利用表格为导向，帮助学生建立思维模型，在解决问题的过程中明确所需的策略。
利用表格表征问题，理解题意是解决问题的第一个步骤，但列表策略的教学还不能到此为止，笔者组织了以下教学过程：
师：弄清题意后我们就可以分析数量关系并确定先算什么？
师：请同桌交流一下你准备先算什么？你是怎么分析的？
生：根据“桃树有3行，每行7棵”，可以求出桃树的棵数（表后板贴：桃树的棵数），数量关系是：桃树的行数×每行棵数=桃树的棵数；再根据“梨树有4行，每行5棵”，可以求出梨树的棵数（表后板贴：梨树的棵数），数量关系是：梨树的行数×每行棵数=梨树的棵数；最后把桃树的棵数和梨树的棵数加起来就可以求出问题“桃树和梨树共有的棵数”（板贴）。
师：这种分析数量关系的方法运用了哪种策略？
生：从条件想起分析数量关系。（板贴：从条件想起）
师：谁再来有序地说说从条件想起的思考过程？（师指着表格，课件逐步展示数量关系，如图5）
师：有没有不同的分析思路？不从条件出发分析可以吗？
生：根据问题“桃树和梨树一共有多少棵”，必须先知道桃树的棵数和梨树的棵数，题中没有直接告诉我们，所以先算桃树的棵数和梨树的棵数。桃树的行数×每行棵数=桃树的棵数，梨树的行数×每行棵数=梨树的棵数。 师：和刚才相比，分析方法有什么不同？
生：从问题想起分析数量关系。（板贴：从问题想起）
师：我们一起来完整地说说分析过程。（师指着表格，课件逐步展示数量关系，如图6）
师：对于比较复杂的问题，我们还可以将从条件想起和从问题想起两种策略综合运用。如刚才这题，从条件出发，根据“行数×每行棵数”就可以求出梨树和桃树的棵数，再从问题出发，发现知道桃树的棵数和梨树的棵数即可，所以马上可以确定应该先算桃树和梨树的棵数。（师结合课件展示，如图7）
【思考：依托整理的表格，笔者引导学生寻找本题的数量关系，在这里横向观察表格能得到“桃树的行数×每行棵数=桃树的棵数”“ 梨树的行数×每行棵数=梨树的棵数”，再将桃树的棵数和梨树的棵数加起来就可以求出问题“桃树和梨树共有的棵数”，也就是三年级时学习的“从条件想起的策略”；纵向观察表格能得到“桃树的棵数 梨树的棵数=共有的棵数”，再由这一数量关系思考解决这一问题必须要知道“桃树的棵数”“梨树的棵数”，也就是三年级时学习的“从问题想起的策略”。虽然表格的叙述方式只有寥寥几字，但正是表格呈现了几组有着内在关联信息的分类对比，才方便了我们观察和发现表格中横向和纵向的数量关系，促进问题的解决。】
三、检验反思，体会表格的价值
著名的数学教育家波利亚非常重视解决问题之后的反思，他说：“如果没有了反思，他们就错过了解题的重要而有效益的方面”，“通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力”。从解决问题的策略的形成需要来看，检验反思也是必不可少的过程：
师：现在我们能写答句了吗？对，写答句之前我们一般先要进行检验。已经学过用什么方法检验？
生：把求出的问题当成已知条件代入原题，把原题中的一个条件当成问题，看求出的结果是否相同来进行检验。
师：这里有四个条件，你们想把哪个条件变成问题？可不可以把别的条件变成问题？现在我们就用这种方法进行检验吧，请大家把检验过程写在导学单上。
交流检验方法（如图8）：
师：在刚才解决问题时，我们用了哪些策略？
生：理解题意时用到了列表的策略。
生：分析数量关系时用到了从条件想起的策略和从问题想起的策略，还可以综合运用两种策略。
师： 对，理解题意时，可以用列表的策略整理信息，这样容易看清，便于分析（指表格）。在分析数量关系时我们可以采用从条件想起（表格横指）或从问题想起（表格竖指）以及综合运用两种策略，这样可以帮助我们理清解题思路，确定先算什么，再算什么，最后算什么。
【思考：对四年级的学生而言，这是第一次完整经历解决问题的策略的四个步骤，所以要让学生在反思的过程中形成反思的意识，逐步养成反思的习惯。如果以解决问题为目的，得出问题的正确结果，解题活动就可以结束了。然而，数学教学中的解决问题，目的不只是得到问题的答案，而是提高学生解决问题的能力，培养解决问题的策略。所以，得到问题的结论不应是教学的结束，还要帮助学生进一步积累解决问题的经验，形成解决问题的有效策略。因此，在解决问题之后进行反思，解题的方法会得到明晰，原有的经验会得到强化，策略的价值会得到更好的领悟。在解决问题之后，教师引导学生回顾与反思解决问题的过程，突出了三个方面：一是解决这个问题的方法，强化对列表策略和从条件想起、从问题想起的策略的印象；二是列表时要注意的事项，体会列表的关键；三是回顾列表的过程，体会用列表的策略解决问题具备的特点。这样的回顾反思，指向明确，有助于学生深化对列表策略和从条件想起、从问题想起的策略的认识，同时也有助于学生逐步养成回顾反思的学习习惯。】
四、应用策略，内化表格的内涵
策略的形成不是一蹴而就的，而应是一个循序渐进、不断感悟和理解的过程。因此，在初步学习策略之后，还要通过变化的情境和问题，引导学生加深对策略的体会，积累运用策略解决实际问题的经验，为真正形成策略“添砖加瓦”——
师：现在让我们一起来挑战一下自己吧！老师不再提醒，请每个同学自己尝试按四步解题法独立完成解题过程，看谁挑战成功。（课件出示“练一练”第2题：江老师买2件长袖衬衫一共用去270元，买3件短袖衬衫一共用去180元。一件长袖衬衫比一件短袖衬衫贵多少元？）
（学生在导学单上独立完成，之后，教师投影展示一位学生的导学单，并让全班学生说说这位学生的解题过程。）
师：第一步理解题意时，他用什么方法整理信息？
生：他是列表整理的。
师：看来大家都感受到了列表整理的优势。
师：第二步分析数量关系时，谁能看懂他是从什么出发分析的？你能说说分析过程吗？
……
师：列式方法和你们一样吗？第一步算的是？第二步？第三步呢？
师：一起看检验过程。把问题当成条件代入原题后，他把哪个条件变成了问题？检验出来对吗？
师：四步解题法的确很管用，只要你按照这四步来做，再复杂的实际问题都会迎刃而解。
……
【思考：解决问题需要认真整理条件和问题，这是解决问题很重要的一步。使用哪一种方式、方法进行整理，都要从学生自己的实际能力出发进行选择。教材在呈现例题时采用的是“有形”的表格，到“练一练”第2题没有明确提出整理条件和问题的要求，这并不是不要求学生整理信息，而是希望学生自觉进行整理信息的活动。学生可以根据自己的需要，或是采用“有形”的信息整理方式，或是在头脑里想象表格，进行“无形”地整理。学生能够经历从看得见的“有形表格”到想在心里的“无形表格”的思考、演变过程。有了这样的思想引领，学生获得的不仅仅是列表整理的知识方法，更是列表活动经验的积累和对应思想方法的感悟，从“有形”到“无形”，提升了学生数学思考的能力和综合素养。】
策略的形成应体现在解决新问题的过程中，如果获得的策略只应用于比较熟悉的、已经知道解法的问题之中，那么策略的价值和意义就变得有限了。所以，学生通过解答更多的实际问题，可以进一步体会列表策略和从条件想起、从问题想起的策略的价值，掌握运用策略解决问题的方法，丰富运用策略的经验。