一招三式,天下无敌

来源 :数学大世界·教师适用 | 被引量 : 0次 | 上传用户:masterwhl
下载到本地 , 更方便阅读
声明 : 本文档内容版权归属内容提供方 , 如果您对本文有版权争议 , 可与客服联系进行内容授权或下架
论文部分内容阅读
  浙江文科的立体几何问题中,2010年是线面角问题,2011年是二面角问题,2012年是线面角问题。线面角问题是立体几何中的一个主要题型。线面角问题的处理有很多种方法,本文就只针对立体几何法展开探究。
  线面角问题对学生来说难点在于线面角的寻找,下面我们分三个层次谈谈如何寻找线面角。
  线面角的确定关键是确定斜线的投影线,投影线确定的关键是确定面的垂线(一招)。面的垂线确定有三种情况:第一种(一式),有现成的面的垂线。第二种(二式),没有现成的面的垂线但是有现成的垂面。第三种(三式),即没有垂线,也没有垂面。
  第一种(垂线法),如果有现成的面的垂线,只需要把垂足和斜足一连,则线面角自然就呈现出来了。
  (2012浙江文)如图,在侧棱垂直
  底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD
  ∥BC,AD⊥AB,AB=√2。AD=2,BC=
  4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点。
  (I)证明:(1)EF⊥A1D1;(2)BA1⊥B1C1EF;
  (II)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。
  分析:(I)(1)略(2)略
  (II)(1)确定斜线、平面、斜足。斜线:BC1,平面:B1C1EF,斜足:C1
  (2)寻找垂线。平面B1C1EF的垂线:BA1,第一小题已经证明过。
  (3)确定垂线、垂足、投影线、角。垂线:BA1,垂足:O,投影线:OC1。所以∠BC1O就是BC1与平面B1C1EF所成的角。
  (2012湖南理)如图,在四棱锥P-ABCD
  中,PA⊥面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,
  ∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点。
  (Ⅰ)证明:CD⊥面PAE;
  (Ⅱ)若直线PB与平面PAE所成的角
  和直线PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积。
  分析:(I)略。
  (Ⅱ)有两个线面角。
  (a)直线PB与平面ABCD所成的角。
  1.确定斜线、平面、斜足。斜线:PB,平
  面: ABCD,斜足:B。
  2.寻找垂线。平面ABCD垂线:PA。
  3.确定垂线、垂足、投影线、角。垂线:PA,垂足:A,投影线:AB。所以∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角。
  (b) 直线PB与平面PAE所成的角。
  1.确定斜线、平面、斜足。斜线:PB,平面:PAE,斜足:P。
  2.寻找垂线。平面PAE的垂线现成的为CD(第一小题已经证明),所以过B做BG∥CD,交AE与F,连接PF。所以BF⊥面PAE。垂线:BF。
  3.确定垂线、垂足、投影线、角。垂线:BF,垂足:F,投影线:PF。所以∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角。
  第二种(垂面法),如果没有现成的面的垂线,那么就需要去构造面的垂线。如何构造面的垂线?由立体几何知识体系:线线垂直
  线面垂直 面面垂直,可知线面垂直 面面垂直。所以可以通过面面垂直来构造面的垂线。
  (2012天津文)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2√3,PD=CD=2。
  (I)求异面直线PA与BC所成角的正切值;
  (II)证明平面PDC⊥平面ABCD;
  (III)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
  分析:在这题中跳过第一第二小题,直接来看第三小题:求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
  1.确定斜线、平面、斜足。斜线:PB,平面:ABCD,斜足:B
  2.寻找垂线,或者寻找垂面。平面ABCD无现成垂线,寻找平面ABCD的垂面,从图中可以观察出应该为平面PCD。因为AD⊥PD, AD
  ⊥DC,PD∩DC=D,PDDC 面PDC,所以AD⊥面PDC,又因为AD 面ABCD,因此平面ABCD⊥面PDC,垂面:PDC。
  3.确定垂线、垂足、投影线、角。过P在平面PDC内做PE⊥DC,连接EB、ED,如图。因为平面ABCD⊥面PDC,平面ABCD∩面PDC=EC,PE 面PDC,PE⊥EC,所以PE⊥面ABCD,垂线:PE,垂足:E,投影线:BE,所以 为直线PB与平面ABCD所成角。
  (2012四川理)如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC。
  (Ⅰ)求直线PC与平面ABC所成角的大小;
  (Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小。
  分析:只看第一小题:求直线PC与平面ABC所成角。
  1.确定斜线、平面、斜足。斜线:PC,平面:ABC, 斜足:C。
  2.寻找垂线,或者寻找垂面。平面ABC无现成的垂线,寻找平面ABC的垂面。平面ABC的一个垂面为平面PAB。垂面:PAB
  3.确定垂线、垂足、投影线、角。过P点做PO⊥AB,连接OC。因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PO 面PAB,PO⊥AB,所以PO⊥面ABC。垂线:PO,垂足:O,投影线:OC,所以∠PCO为直线PC与平面ABC所成角。
  第三种(构造垂面法),几何体中没有现成的垂线,也没有现成的垂面,依然需要去构造面的垂线。如何构造面的垂线?由本文的第二种情况可知,只要我们能构造出垂面,那么剩下的问题就可以转化成第二种情况来处理了。那么如何去构造垂面呢?由立体几何知识体系:线线垂直 线面垂直 面面垂直,可知面面垂直
  线面垂直,可以构造一个面和已知面内的直线垂直来实现。
  (2012湖北理)如图1,∠ACB=45°,BC=3,过动点A作AD⊥BC,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿AD将△ABD折起,使∠BDC=90°(如图2)。   (Ⅰ)当BD的长为多少时,三棱锥A-BCD的体积最大;
  (Ⅱ)当三棱锥A-BCD的体积最大时,设点E,M分别为棱BC,AC的中点,试在棱CD上确定一点N,使得EN⊥BM,并求EN与平面BMN所成角的大小。
  分析:第一小题很容易求出当BD=1,DC=2时,三棱锥体积最大。下面来看第二小题:EN与平面BMN所成的角大小。
  (1)确定斜线、平面、斜足。确定N点则可以确定平面BMN,斜线NE,斜足为N。下面确定N点。
  如图a,取DC中点为F,连接MF,BF,易知AD⊥面BDC,所以MF⊥面BDC,又因为NE 面BDC,所以MF⊥NE,同时BM⊥NE,BM∩MF=M,BM,MF 面BMF,因此NE⊥面BMF。因为BF 面BMF,所以NE⊥BF。
  如图b,取平面BDC的平面图形,如图添线。可知BDFP为正方形,因此BF⊥DP,又因为BF⊥NE,所以N为DF的中点。
  斜线:NE,平面:BMN,斜足:N。
  (2)寻找垂线、垂面、或构造垂面。平面BMN无垂线,无垂面,所以要去构造垂面来得到垂线。下面构造垂面。如图c,做EG⊥BM,连接GN。因为BM⊥GE,BM⊥NE(线线垂直),GE∩NE=E,GE,NE 面GNE,所以 (线面垂直),又因为BM 面BMN,所以面BMN⊥面GNE(面面垂直)。
  (3)确定垂线、垂足、投影线、角。过E做EH⊥GN。因为面BMN⊥面GNE,面BMN∩面GNC=GN,HE 面GNE,EH⊥GN,所以HE⊥面BMN。垂线:EH,垂足:H,投影线:HN。所以∠ENH为EN与平面BMN所成角。
  构造平面BMN的垂面思路:线线垂直 (BM⊥GE,BM⊥NE)→线面垂直(BM⊥面GNE)→面面垂直(面BMN⊥面GNE)
  (2012北京理)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=
  3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2。
  (I)求证:A1C⊥面BCDE;
  (II)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;
  (III)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由。
  分析:我们直接来看第二小题:求CM与平面A1BE所成角的大小。
  (1)确定斜线、平面、斜足。先确定CM和平面A1BE的交点。延长CD,BE交与F,连接A1F,延长CM交A1F与G。斜线:CG,平面:A1BF,斜足:G。
  (2)寻找垂线、垂面、或构造垂面。平面A1BF无现成的垂线,垂面,所以要构造平面A1BF的垂面。下面构造垂面。做CH⊥FB,连接A1H。如图b, , ;图a,A1C=2√3,A1B=√21,在△A1CH中可得 ;因此A1H2+BH2=A1B2即A1H
  ⊥BF,又因为CH⊥BF(线线垂直),CH∩A1H=H,CH,A1H 面A1HC所以BF⊥面A1HC(线面垂直)。所以面A1HC⊥面A1BF(面面垂直)。
  (3)确定垂线、垂足、投影线、角。过C做CI⊥A1H,连接GI。因为面A1HC⊥面A1BF,面A1HC∩面A1BF=A1H,CI 面A1HC,CI⊥A1H,所以CI⊥面A1BF。
  垂线:CI,垂足:I,投影线:IG。所以∠CGI为CM与平面A1BE所成角。
其他文献
体验是对学习个体各种生活经验、独特的思维方式和情感态度重视;体验是学习个体在数学活动中的行为、认知与情感的整体参与;体验中,个体的经验要与同伴和教师交流与分享,才能达到共同建构的目的。  一、创设情境,激发学习体验  学生是学习的真正主人,他们能独立获取知识,对相关信息进行收集、分析处理,通过不断地猜测、论证,改进结论。创设一定情境,带来的是空间的开放,思维的开放,培养了学生探究问题的兴趣与他人合
期刊
【摘 要】 初中数学教学,一方面要传授数学知识,使学生具备数学基础知识的素养;另一方面,要通过数学知识的传授,培养学生能力,发展智力,这是数学教学中一个非常重要的方面,应引起高度重视,在诸多能力中,我们认为思维能力是核心。在初中数学教学中如何培养学生的思维能力?具体做法是:提高学生的猜想能力;培养学生抽象与概括能力;培养学生思维的灵活性;培养学生求异思维能力。  【关键词】 培养;初中数学;
期刊
化归思想是解决问题的一种基本思想方法,具有很强的思维导向功能。面对一个复杂的问题,我们往往不是直接求解,而是通过观察、联想、类比等手段,把问题进行变换、转化,将较高层次的转化为较低层次的、已解决的问题。由此可见,化归思想方法是获取知识、解决问题的重要思想方法,能促使辩证思维能力的形成和发展。在教学中,笔者采取了一下措施来渗透化归思想,培养思维品质。  一、渗透正逆运算演法,培养思维的逆转性  如“
期刊
计算是小学生必备的一项能力,可是学生会最容易出错,经常听到同事批改作业时,抱怨这儿的计算又错了。的确,低年级学生的计算经常会犯错,怎样提高低年级学生的计算能力,下面谈一谈我的几点想法:  一、养成“两个看清”的习惯,提高学生的计算能力  低年级学生的年龄小,在计算中,学生难免会出现粗心。“两看清”是我在平时的计算教学中,对学生提出的要求,学生在计算之前,我都会提醒他们,一要看清每个算式中的数字,二
期刊
【摘 要】 学生作为学习活动的客观存在体,在学习活动中表现出一定的差异性。新实施的初中数学课程标准指出:“人人获得发展和进步”、“不同的人在各自基础上获得一定的进步”。初中数学教师在教学中,要树立“以生为本”理念,坚持“为了一切学生”,利用分层性教学的整体性、差异性和全面性等特性,关注学生个体差异,促进学生全面进步,实现全体学生“掌握必需的数学知识”。  【关键词】 初中数学;分层教学;学生
期刊
在素质教育改革的今天,素质教育确实取得了丰硕的成果,总结成功经验的同时,我们也必须看到我们目前教育中仍存在的不足之处,就笔者所涉及的小学数学教学来说,我们的教学中,确实还存在以下几个不足,本文就教学现状中的不足,提出以下几个问题,以求更大的突破。  第一,实践能力。小学数学的课程标准明确要求在我们的教学中要能达到人人学有价值的数学,这个有价值就必须实用,就小学生来讲,学生们学习的内容能否去解决实际
期刊
【摘 要】 案例式教学是数学学科问题教学的重要方式之一,它是在认真研究教材内容,准确把握目标要义,紧密结合学生主体基础上,设置典型性的问题案例,引导学生开展问题探究解答的活动。本文作者根据问题教学目标要求,结合问题案例内在特性,对开展案例性教学活动进行了论述。  【关键词】 高中数学;问题教学;案例性教学;学习能力  数学问题是数学学科知识体系内涵要义的集中展现,是教师教学理念实施的重要载体
期刊
培养学生良好的学习习惯,是思想品德教育的一个重要方面,良好的学习习惯对小学生学习数学和今后的发展起着关键的潜移默化的作用,有利于学生增长知识,增强能力,同时也是提高计算正确率的关键,如何培养学生良好的计算习惯呢?  一、看清楚  看清楚就是要求学生先用心把整个题目看一遍,再看运算符号和数据有何特点,有什么内在联系。  如甲圆的半径是6厘米,乙圆的直径是8厘米, 甲圆的面积与乙圆的面积的比是多少? 
期刊
高中数学教育是我国基础教育的一项重要工程,教师在教学时,完全要根据教学指导思想,符合时代发展的必然要求,根据目的、特点和结构来培养学生的素质。在高中的教材中,导数占有重要的位置,突出的变化率的核心地位,以平均变化率作为微积分内容的开始是正确的,将导数作为一种极限来处理。本文主要根据高中数学导数教学中的一些特点和教学方法进行了探讨。  一、准确把握导数教学的背景和概念  高中导数教学中,对导数的介绍
期刊
【摘 要】 问题解答过程就是知识内涵有效运用和实践技能有效锻炼的过程。本文作者根据教学实践体会,对初中数学问题教学中学生实践能力的培养从三方面进行了阐述。  【关键词】 初中数学;问题教学;实践能力;学习能力  解决问题是数学学科教学活动的出发点和落脚点,也是学生运用知识解答问题能力水平训练的重要体现。随着社会的不断进步和科技发展的日新月异,具有较强动手能力的实践型技能人才,已成为国家和企业
期刊