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浙江文科的立体几何问题中,2010年是线面角问题,2011年是二面角问题,2012年是线面角问题。线面角问题是立体几何中的一个主要题型。线面角问题的处理有很多种方法,本文就只针对立体几何法展开探究。
线面角问题对学生来说难点在于线面角的寻找,下面我们分三个层次谈谈如何寻找线面角。
线面角的确定关键是确定斜线的投影线,投影线确定的关键是确定面的垂线(一招)。面的垂线确定有三种情况:第一种(一式),有现成的面的垂线。第二种(二式),没有现成的面的垂线但是有现成的垂面。第三种(三式),即没有垂线,也没有垂面。
第一种(垂线法),如果有现成的面的垂线,只需要把垂足和斜足一连,则线面角自然就呈现出来了。
(2012浙江文)如图,在侧棱垂直
底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD
∥BC,AD⊥AB,AB=√2。AD=2,BC=
4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点。
(I)证明:(1)EF⊥A1D1;(2)BA1⊥B1C1EF;
(II)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。
分析:(I)(1)略(2)略
(II)(1)确定斜线、平面、斜足。斜线:BC1,平面:B1C1EF,斜足:C1
(2)寻找垂线。平面B1C1EF的垂线:BA1,第一小题已经证明过。
(3)确定垂线、垂足、投影线、角。垂线:BA1,垂足:O,投影线:OC1。所以∠BC1O就是BC1与平面B1C1EF所成的角。
(2012湖南理)如图,在四棱锥P-ABCD
中,PA⊥面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,
∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点。
(Ⅰ)证明:CD⊥面PAE;
(Ⅱ)若直线PB与平面PAE所成的角
和直线PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积。
分析:(I)略。
(Ⅱ)有两个线面角。
(a)直线PB与平面ABCD所成的角。
1.确定斜线、平面、斜足。斜线:PB,平
面: ABCD,斜足:B。
2.寻找垂线。平面ABCD垂线:PA。
3.确定垂线、垂足、投影线、角。垂线:PA,垂足:A,投影线:AB。所以∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角。
(b) 直线PB与平面PAE所成的角。
1.确定斜线、平面、斜足。斜线:PB,平面:PAE,斜足:P。
2.寻找垂线。平面PAE的垂线现成的为CD(第一小题已经证明),所以过B做BG∥CD,交AE与F,连接PF。所以BF⊥面PAE。垂线:BF。
3.确定垂线、垂足、投影线、角。垂线:BF,垂足:F,投影线:PF。所以∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角。
第二种(垂面法),如果没有现成的面的垂线,那么就需要去构造面的垂线。如何构造面的垂线?由立体几何知识体系:线线垂直
线面垂直 面面垂直,可知线面垂直 面面垂直。所以可以通过面面垂直来构造面的垂线。
(2012天津文)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2√3,PD=CD=2。
(I)求异面直线PA与BC所成角的正切值;
(II)证明平面PDC⊥平面ABCD;
(III)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
分析:在这题中跳过第一第二小题,直接来看第三小题:求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
1.确定斜线、平面、斜足。斜线:PB,平面:ABCD,斜足:B
2.寻找垂线,或者寻找垂面。平面ABCD无现成垂线,寻找平面ABCD的垂面,从图中可以观察出应该为平面PCD。因为AD⊥PD, AD
⊥DC,PD∩DC=D,PDDC 面PDC,所以AD⊥面PDC,又因为AD 面ABCD,因此平面ABCD⊥面PDC,垂面:PDC。
3.确定垂线、垂足、投影线、角。过P在平面PDC内做PE⊥DC,连接EB、ED,如图。因为平面ABCD⊥面PDC,平面ABCD∩面PDC=EC,PE 面PDC,PE⊥EC,所以PE⊥面ABCD,垂线:PE,垂足:E,投影线:BE,所以 为直线PB与平面ABCD所成角。
(2012四川理)如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC。
(Ⅰ)求直线PC与平面ABC所成角的大小;
(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小。
分析:只看第一小题:求直线PC与平面ABC所成角。
1.确定斜线、平面、斜足。斜线:PC,平面:ABC, 斜足:C。
2.寻找垂线,或者寻找垂面。平面ABC无现成的垂线,寻找平面ABC的垂面。平面ABC的一个垂面为平面PAB。垂面:PAB
3.确定垂线、垂足、投影线、角。过P点做PO⊥AB,连接OC。因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PO 面PAB,PO⊥AB,所以PO⊥面ABC。垂线:PO,垂足:O,投影线:OC,所以∠PCO为直线PC与平面ABC所成角。
第三种(构造垂面法),几何体中没有现成的垂线,也没有现成的垂面,依然需要去构造面的垂线。如何构造面的垂线?由本文的第二种情况可知,只要我们能构造出垂面,那么剩下的问题就可以转化成第二种情况来处理了。那么如何去构造垂面呢?由立体几何知识体系:线线垂直 线面垂直 面面垂直,可知面面垂直
线面垂直,可以构造一个面和已知面内的直线垂直来实现。
(2012湖北理)如图1,∠ACB=45°,BC=3,过动点A作AD⊥BC,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿AD将△ABD折起,使∠BDC=90°(如图2)。 (Ⅰ)当BD的长为多少时,三棱锥A-BCD的体积最大;
(Ⅱ)当三棱锥A-BCD的体积最大时,设点E,M分别为棱BC,AC的中点,试在棱CD上确定一点N,使得EN⊥BM,并求EN与平面BMN所成角的大小。
分析:第一小题很容易求出当BD=1,DC=2时,三棱锥体积最大。下面来看第二小题:EN与平面BMN所成的角大小。
(1)确定斜线、平面、斜足。确定N点则可以确定平面BMN,斜线NE,斜足为N。下面确定N点。
如图a,取DC中点为F,连接MF,BF,易知AD⊥面BDC,所以MF⊥面BDC,又因为NE 面BDC,所以MF⊥NE,同时BM⊥NE,BM∩MF=M,BM,MF 面BMF,因此NE⊥面BMF。因为BF 面BMF,所以NE⊥BF。
如图b,取平面BDC的平面图形,如图添线。可知BDFP为正方形,因此BF⊥DP,又因为BF⊥NE,所以N为DF的中点。
斜线:NE,平面:BMN,斜足:N。
(2)寻找垂线、垂面、或构造垂面。平面BMN无垂线,无垂面,所以要去构造垂面来得到垂线。下面构造垂面。如图c,做EG⊥BM,连接GN。因为BM⊥GE,BM⊥NE(线线垂直),GE∩NE=E,GE,NE 面GNE,所以 (线面垂直),又因为BM 面BMN,所以面BMN⊥面GNE(面面垂直)。
(3)确定垂线、垂足、投影线、角。过E做EH⊥GN。因为面BMN⊥面GNE,面BMN∩面GNC=GN,HE 面GNE,EH⊥GN,所以HE⊥面BMN。垂线:EH,垂足:H,投影线:HN。所以∠ENH为EN与平面BMN所成角。
构造平面BMN的垂面思路:线线垂直 (BM⊥GE,BM⊥NE)→线面垂直(BM⊥面GNE)→面面垂直(面BMN⊥面GNE)
(2012北京理)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=
3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2。
(I)求证:A1C⊥面BCDE;
(II)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;
(III)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由。
分析:我们直接来看第二小题:求CM与平面A1BE所成角的大小。
(1)确定斜线、平面、斜足。先确定CM和平面A1BE的交点。延长CD,BE交与F,连接A1F,延长CM交A1F与G。斜线:CG,平面:A1BF,斜足:G。
(2)寻找垂线、垂面、或构造垂面。平面A1BF无现成的垂线,垂面,所以要构造平面A1BF的垂面。下面构造垂面。做CH⊥FB,连接A1H。如图b, , ;图a,A1C=2√3,A1B=√21,在△A1CH中可得 ;因此A1H2+BH2=A1B2即A1H
⊥BF,又因为CH⊥BF(线线垂直),CH∩A1H=H,CH,A1H 面A1HC所以BF⊥面A1HC(线面垂直)。所以面A1HC⊥面A1BF(面面垂直)。
(3)确定垂线、垂足、投影线、角。过C做CI⊥A1H,连接GI。因为面A1HC⊥面A1BF,面A1HC∩面A1BF=A1H,CI 面A1HC,CI⊥A1H,所以CI⊥面A1BF。
垂线:CI,垂足:I,投影线:IG。所以∠CGI为CM与平面A1BE所成角。
线面角问题对学生来说难点在于线面角的寻找,下面我们分三个层次谈谈如何寻找线面角。
线面角的确定关键是确定斜线的投影线,投影线确定的关键是确定面的垂线(一招)。面的垂线确定有三种情况:第一种(一式),有现成的面的垂线。第二种(二式),没有现成的面的垂线但是有现成的垂面。第三种(三式),即没有垂线,也没有垂面。
第一种(垂线法),如果有现成的面的垂线,只需要把垂足和斜足一连,则线面角自然就呈现出来了。
(2012浙江文)如图,在侧棱垂直
底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD
∥BC,AD⊥AB,AB=√2。AD=2,BC=
4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点。
(I)证明:(1)EF⊥A1D1;(2)BA1⊥B1C1EF;
(II)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。
分析:(I)(1)略(2)略
(II)(1)确定斜线、平面、斜足。斜线:BC1,平面:B1C1EF,斜足:C1
(2)寻找垂线。平面B1C1EF的垂线:BA1,第一小题已经证明过。
(3)确定垂线、垂足、投影线、角。垂线:BA1,垂足:O,投影线:OC1。所以∠BC1O就是BC1与平面B1C1EF所成的角。
(2012湖南理)如图,在四棱锥P-ABCD
中,PA⊥面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,
∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点。
(Ⅰ)证明:CD⊥面PAE;
(Ⅱ)若直线PB与平面PAE所成的角
和直线PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积。
分析:(I)略。
(Ⅱ)有两个线面角。
(a)直线PB与平面ABCD所成的角。
1.确定斜线、平面、斜足。斜线:PB,平
面: ABCD,斜足:B。
2.寻找垂线。平面ABCD垂线:PA。
3.确定垂线、垂足、投影线、角。垂线:PA,垂足:A,投影线:AB。所以∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角。
(b) 直线PB与平面PAE所成的角。
1.确定斜线、平面、斜足。斜线:PB,平面:PAE,斜足:P。
2.寻找垂线。平面PAE的垂线现成的为CD(第一小题已经证明),所以过B做BG∥CD,交AE与F,连接PF。所以BF⊥面PAE。垂线:BF。
3.确定垂线、垂足、投影线、角。垂线:BF,垂足:F,投影线:PF。所以∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角。
第二种(垂面法),如果没有现成的面的垂线,那么就需要去构造面的垂线。如何构造面的垂线?由立体几何知识体系:线线垂直
线面垂直 面面垂直,可知线面垂直 面面垂直。所以可以通过面面垂直来构造面的垂线。
(2012天津文)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2√3,PD=CD=2。
(I)求异面直线PA与BC所成角的正切值;
(II)证明平面PDC⊥平面ABCD;
(III)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
分析:在这题中跳过第一第二小题,直接来看第三小题:求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
1.确定斜线、平面、斜足。斜线:PB,平面:ABCD,斜足:B
2.寻找垂线,或者寻找垂面。平面ABCD无现成垂线,寻找平面ABCD的垂面,从图中可以观察出应该为平面PCD。因为AD⊥PD, AD
⊥DC,PD∩DC=D,PDDC 面PDC,所以AD⊥面PDC,又因为AD 面ABCD,因此平面ABCD⊥面PDC,垂面:PDC。
3.确定垂线、垂足、投影线、角。过P在平面PDC内做PE⊥DC,连接EB、ED,如图。因为平面ABCD⊥面PDC,平面ABCD∩面PDC=EC,PE 面PDC,PE⊥EC,所以PE⊥面ABCD,垂线:PE,垂足:E,投影线:BE,所以 为直线PB与平面ABCD所成角。
(2012四川理)如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC。
(Ⅰ)求直线PC与平面ABC所成角的大小;
(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小。
分析:只看第一小题:求直线PC与平面ABC所成角。
1.确定斜线、平面、斜足。斜线:PC,平面:ABC, 斜足:C。
2.寻找垂线,或者寻找垂面。平面ABC无现成的垂线,寻找平面ABC的垂面。平面ABC的一个垂面为平面PAB。垂面:PAB
3.确定垂线、垂足、投影线、角。过P点做PO⊥AB,连接OC。因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PO 面PAB,PO⊥AB,所以PO⊥面ABC。垂线:PO,垂足:O,投影线:OC,所以∠PCO为直线PC与平面ABC所成角。
第三种(构造垂面法),几何体中没有现成的垂线,也没有现成的垂面,依然需要去构造面的垂线。如何构造面的垂线?由本文的第二种情况可知,只要我们能构造出垂面,那么剩下的问题就可以转化成第二种情况来处理了。那么如何去构造垂面呢?由立体几何知识体系:线线垂直 线面垂直 面面垂直,可知面面垂直
线面垂直,可以构造一个面和已知面内的直线垂直来实现。
(2012湖北理)如图1,∠ACB=45°,BC=3,过动点A作AD⊥BC,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿AD将△ABD折起,使∠BDC=90°(如图2)。 (Ⅰ)当BD的长为多少时,三棱锥A-BCD的体积最大;
(Ⅱ)当三棱锥A-BCD的体积最大时,设点E,M分别为棱BC,AC的中点,试在棱CD上确定一点N,使得EN⊥BM,并求EN与平面BMN所成角的大小。
分析:第一小题很容易求出当BD=1,DC=2时,三棱锥体积最大。下面来看第二小题:EN与平面BMN所成的角大小。
(1)确定斜线、平面、斜足。确定N点则可以确定平面BMN,斜线NE,斜足为N。下面确定N点。
如图a,取DC中点为F,连接MF,BF,易知AD⊥面BDC,所以MF⊥面BDC,又因为NE 面BDC,所以MF⊥NE,同时BM⊥NE,BM∩MF=M,BM,MF 面BMF,因此NE⊥面BMF。因为BF 面BMF,所以NE⊥BF。
如图b,取平面BDC的平面图形,如图添线。可知BDFP为正方形,因此BF⊥DP,又因为BF⊥NE,所以N为DF的中点。
斜线:NE,平面:BMN,斜足:N。
(2)寻找垂线、垂面、或构造垂面。平面BMN无垂线,无垂面,所以要去构造垂面来得到垂线。下面构造垂面。如图c,做EG⊥BM,连接GN。因为BM⊥GE,BM⊥NE(线线垂直),GE∩NE=E,GE,NE 面GNE,所以 (线面垂直),又因为BM 面BMN,所以面BMN⊥面GNE(面面垂直)。
(3)确定垂线、垂足、投影线、角。过E做EH⊥GN。因为面BMN⊥面GNE,面BMN∩面GNC=GN,HE 面GNE,EH⊥GN,所以HE⊥面BMN。垂线:EH,垂足:H,投影线:HN。所以∠ENH为EN与平面BMN所成角。
构造平面BMN的垂面思路:线线垂直 (BM⊥GE,BM⊥NE)→线面垂直(BM⊥面GNE)→面面垂直(面BMN⊥面GNE)
(2012北京理)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=
3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2。
(I)求证:A1C⊥面BCDE;
(II)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;
(III)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由。
分析:我们直接来看第二小题:求CM与平面A1BE所成角的大小。
(1)确定斜线、平面、斜足。先确定CM和平面A1BE的交点。延长CD,BE交与F,连接A1F,延长CM交A1F与G。斜线:CG,平面:A1BF,斜足:G。
(2)寻找垂线、垂面、或构造垂面。平面A1BF无现成的垂线,垂面,所以要构造平面A1BF的垂面。下面构造垂面。做CH⊥FB,连接A1H。如图b, , ;图a,A1C=2√3,A1B=√21,在△A1CH中可得 ;因此A1H2+BH2=A1B2即A1H
⊥BF,又因为CH⊥BF(线线垂直),CH∩A1H=H,CH,A1H 面A1HC所以BF⊥面A1HC(线面垂直)。所以面A1HC⊥面A1BF(面面垂直)。
(3)确定垂线、垂足、投影线、角。过C做CI⊥A1H,连接GI。因为面A1HC⊥面A1BF,面A1HC∩面A1BF=A1H,CI 面A1HC,CI⊥A1H,所以CI⊥面A1BF。
垂线:CI,垂足:I,投影线:IG。所以∠CGI为CM与平面A1BE所成角。