论文部分内容阅读
【摘要】 本文从反思答案是否准确无误、方法能否一题多解、题目能否一题多变、规律能否进行建模四个方面引导学生进行解题后反思，“解题后反思”既能促进学生巩固所学的数学知识和思想方法，又能提高学生的学习能力和培育学生的数学素养.
【关键词】 反思;引导;解题
在开展课题研究过程中，笔者引导学生进行解题后的反思，深刻体会到：反思促进学生高效解决数学问题.
一、反思概念界定
本文所说的反思是指学生以自己的高中数学学习活动为思考对象，自觉主动地对自己的数学学习行为、方法以及由此产生的数学结果进行审视和调控的一种行为，是学生 顺利进行数学学习活动以及提升数学素养的一条有效途径.
二、反思理论基础
20世纪70年代美国儿童心理学家弗莱维尔提出了元认知的概念，他认为元认知就是对认知的认知，即以认知作为研究对象的认知.这一概念包括三个方面的内容：元认知知识、元认知体验和元认知监控[1].可见元认知理论的形成，深化并拓展了反思的观念，不仅使反思的内涵与步骤更加清晰、更易理解和把握，而且使反思由昔日单纯的心理现象变成一种实践行为.
三、引导学生进行解题后反思
美籍匈牙利数学教育家乔治·波利亚曾说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾;如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面.”因此，学生在解完数学问题以后，有必要回顾和检查自己的解题过程，并进行深入的反思.笔者从以下四个方面引导学生进行解题后反思.
（一）反思答案是否准确无误
每当学生解完题后，教师要引导学生反思答案是否有误和疏漏的地方，并加以总结应该注意的方面：答案是否与题中隐含条件相抵触，是否有其他可能情况，是否掉入了命题者所设置的陷阱等.
在学生学习选修2-1中椭圆概念时，笔者让学生思考问题：已知点A（-1，0），B（1，0），如果点P满足|PA| |PB|=2，那么点P的轨迹是什么？学生会轻率地做出错误的判断：椭圆.学生容易记住本质条件，但往往忽略了附加条件，从而造成运用时出现错误，因而，在学生解完题后，教师要引导学生反思错误原因.
（二）反思方法能否一题多解
不少数学问题具有灵活多样的解法，因此，在学生解完题目以后，教师应及时引导学生对解题方法进行反思，鼓勵学生积极寻求解题的多种途径，促进学生对问题有更深层次的理解.
人民教育出版社A版选修2-1的第73页第6题：直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A，B，点O是原点，求证：OA⊥OB.
经过教师的引导，学生就可以想出以下三种解决方法.
方法一：引导学生观察题设，直线和抛物线的方程是确定的，联立方程组即可求出A，B两点的坐标，要证明OA⊥OB，学生很容易想到kOA·kOB=-1（斜率显然存在）.
方法二：引导学生思考第一种思路是否可以优化.不用考虑斜率是否存在，尽量减少计算量，不求出A，B点坐标，启发学生联想两个向量垂直，运用向量坐标化，学生很快想到：OA ⊥OB x1x2 y1y2=0.
方法三：引导学生充分利用平面几何性质，“OA⊥OB”等价于“以AB为直径的圆过原点O”，可以运用有关圆的知识来解决.
通过一题多解，促进学生多角度地思考问题，提高了学生学习数学的兴趣和积极性，培养了学生反思意识，发展了学生创新思维.
（三）反思题目能否一题多变
教师引导学生从适当改变原题的条件或结论，对原题进行改造，做出适当变形或变式，使一题变多题，把一道题 变成一类题，有利于学生拓宽思路，开阔视野，提高应变能力.笔者从以下四个角度引导学生对以上教材习题进行变 式.
1.引导学生进行等价化变式
教师引导学生观察分析题目中的条件和结论，寻找它们的等价条件和等价结论，学生比较容易想到变式命题1：过点（2，0）且斜率为1的直线与抛物线y2=2x相交于点A，B，点O是原点，求证：以AB为直径的圆过原点O.
2.引导学生进行一般化变式
教师引导学生思考能否将题中的特殊条件一般化，启发学生利用数形结合变换直线位置，学生能很快想到利用对称性找到符合条件的直线，教师进一步鼓励学生大胆猜想：是否过定点（2，0）的任意直线l都符合？经过验证，进而得到变式命题2：过点（2，0）的直线l与抛物线y2=2x相交于点A，B，点O是原点，求证：OA⊥OB.
3.引导学生进行互逆化变式
教师引导学生进行逆向思维，启发学生分别将命题2的条件和结论相互交换，可得到变式命题3：直线l与抛物线y2=2x相交于点A，B，点O是原点，OA⊥OB，求证：直线l过定点（2，0）.
4.引导学生进行类比化变式
教师引导学生进行类比思考：能否将抛物线类比到椭圆或双曲线也有这样的结论？鼓励学生大胆猜想，引导学生先从特殊的椭圆及其特殊点进行探索，结合图形技术加以验证，经过小组合作讨论，再通过证明，得到变式命题4：直线l与椭圆 x2 4 y2=1相交于点A，B，点P是椭圆的左顶点，PA⊥PB，求证：直线l过定点.
（四）反思规律能否进行建模
教师让学生思考这个问题：不等式2x2 （4k l）x 2k2-1
【关键词】 反思;引导;解题
在开展课题研究过程中，笔者引导学生进行解题后的反思，深刻体会到：反思促进学生高效解决数学问题.
一、反思概念界定
本文所说的反思是指学生以自己的高中数学学习活动为思考对象，自觉主动地对自己的数学学习行为、方法以及由此产生的数学结果进行审视和调控的一种行为，是学生 顺利进行数学学习活动以及提升数学素养的一条有效途径.
二、反思理论基础
20世纪70年代美国儿童心理学家弗莱维尔提出了元认知的概念，他认为元认知就是对认知的认知，即以认知作为研究对象的认知.这一概念包括三个方面的内容：元认知知识、元认知体验和元认知监控[1].可见元认知理论的形成，深化并拓展了反思的观念，不仅使反思的内涵与步骤更加清晰、更易理解和把握，而且使反思由昔日单纯的心理现象变成一种实践行为.
三、引导学生进行解题后反思
美籍匈牙利数学教育家乔治·波利亚曾说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾;如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面.”因此，学生在解完数学问题以后，有必要回顾和检查自己的解题过程，并进行深入的反思.笔者从以下四个方面引导学生进行解题后反思.
（一）反思答案是否准确无误
每当学生解完题后，教师要引导学生反思答案是否有误和疏漏的地方，并加以总结应该注意的方面：答案是否与题中隐含条件相抵触，是否有其他可能情况，是否掉入了命题者所设置的陷阱等.
在学生学习选修2-1中椭圆概念时，笔者让学生思考问题：已知点A（-1，0），B（1，0），如果点P满足|PA| |PB|=2，那么点P的轨迹是什么？学生会轻率地做出错误的判断：椭圆.学生容易记住本质条件，但往往忽略了附加条件，从而造成运用时出现错误，因而，在学生解完题后，教师要引导学生反思错误原因.
（二）反思方法能否一题多解
不少数学问题具有灵活多样的解法，因此，在学生解完题目以后，教师应及时引导学生对解题方法进行反思，鼓勵学生积极寻求解题的多种途径，促进学生对问题有更深层次的理解.
人民教育出版社A版选修2-1的第73页第6题：直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A，B，点O是原点，求证：OA⊥OB.
经过教师的引导，学生就可以想出以下三种解决方法.
方法一：引导学生观察题设，直线和抛物线的方程是确定的，联立方程组即可求出A，B两点的坐标，要证明OA⊥OB，学生很容易想到kOA·kOB=-1（斜率显然存在）.
方法二：引导学生思考第一种思路是否可以优化.不用考虑斜率是否存在，尽量减少计算量，不求出A，B点坐标，启发学生联想两个向量垂直，运用向量坐标化，学生很快想到：OA ⊥OB x1x2 y1y2=0.
方法三：引导学生充分利用平面几何性质，“OA⊥OB”等价于“以AB为直径的圆过原点O”，可以运用有关圆的知识来解决.
通过一题多解，促进学生多角度地思考问题，提高了学生学习数学的兴趣和积极性，培养了学生反思意识，发展了学生创新思维.
（三）反思题目能否一题多变
教师引导学生从适当改变原题的条件或结论，对原题进行改造，做出适当变形或变式，使一题变多题，把一道题 变成一类题，有利于学生拓宽思路，开阔视野，提高应变能力.笔者从以下四个角度引导学生对以上教材习题进行变 式.
1.引导学生进行等价化变式
教师引导学生观察分析题目中的条件和结论，寻找它们的等价条件和等价结论，学生比较容易想到变式命题1：过点（2，0）且斜率为1的直线与抛物线y2=2x相交于点A，B，点O是原点，求证：以AB为直径的圆过原点O.
2.引导学生进行一般化变式
教师引导学生思考能否将题中的特殊条件一般化，启发学生利用数形结合变换直线位置，学生能很快想到利用对称性找到符合条件的直线，教师进一步鼓励学生大胆猜想：是否过定点（2，0）的任意直线l都符合？经过验证，进而得到变式命题2：过点（2，0）的直线l与抛物线y2=2x相交于点A，B，点O是原点，求证：OA⊥OB.
3.引导学生进行互逆化变式
教师引导学生进行逆向思维，启发学生分别将命题2的条件和结论相互交换，可得到变式命题3：直线l与抛物线y2=2x相交于点A，B，点O是原点，OA⊥OB，求证：直线l过定点（2，0）.
4.引导学生进行类比化变式
教师引导学生进行类比思考：能否将抛物线类比到椭圆或双曲线也有这样的结论？鼓励学生大胆猜想，引导学生先从特殊的椭圆及其特殊点进行探索，结合图形技术加以验证，经过小组合作讨论，再通过证明，得到变式命题4：直线l与椭圆 x2 4 y2=1相交于点A，B，点P是椭圆的左顶点，PA⊥PB，求证：直线l过定点.
（四）反思规律能否进行建模
教师让学生思考这个问题：不等式2x2 （4k l）x 2k2-1