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摘要：输电塔具有柔性大、质量轻、阻尼小的特点，属风敏感结构，在输电塔服役阶段，结构构件钢材或零部件的耐久性问题除部分是由环境效应累积引起，更多的是由结构构件风致疲劳破坏所致。本文以某220kV线路格构式输电塔为例，提出了输电塔体系风振疲劳和剩余寿命评估的时域分析方法。通过由时间序列估计功率谱密度的周期图法得到脉动风速的时域模拟样本，进而对输电塔体系进行风振时程动力响应分析；针对结构中疲劳损伤的关键构件，采用雨流计数法对该其进行循环计数统计，进而采用Miner线性累积损伤理论估计结构的剩余寿命。
关键词：输电线路钢结构塔架；风振疲劳；时域分析；疲劳累积损伤
概述
输电线路钢结构塔架是一种重要的生命线电力工程设施。在其服役阶段，结构构件钢材或零部件的耐久性问题除部分是由环境效应累积引起，更多的是由结构构件风致疲劳破坏所致。自然风脉动分量的作用使体系中大部分构件处于随机变幅荷载作用下，特别是在强台风地区，大风暴对结构的不利影响以及由于风速脉动而产生的风振效应显得尤为突出，往往造成输电塔结构在低于设计风荷载的各种水平风荷载往复作用下而失效。因此很有必要对钢结构塔架进行风荷载作用下的疲劳损伤研究，并从理论上粗略估计钢结构塔架的疲劳寿命。通过对某220kV输电线路钢结构塔架的现场检测和有限元动力分析，本文提出了自立格构式输电塔结构体系基于疲劳累计损伤的剩余寿命估算结果，并建立了一整套输电杆塔结构的耐久性评定方法。
1. 输电塔计算模态分析
一般把通过有限元计算而进行模态分析的过程称为计算模态分析，它是对结构固有振动特性的分析，用于确定结构的固有频率和振型。通过计算模态分析弄清结构物在某一易受影响的频率范围内的各阶主要模态的特性，就可以预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下产生的实际振动响应。
1.1 有限元分析模型
某220kV输电线路输电塔塔高31m，根开6.651m，铁塔顶架至下横担高17m，塔身平面形状为正方形。本文使用Midas Gen对其进行计算模态分析，并使用有限元软件Ansys进行了分析比较。该输电塔由等边角钢通过螺栓连接构成，根据结构受力特性，宜考虑使用空间梁杆混合结构体系，即采用梁、杆两种单元计算模式：塔柱、斜撑及横隔处的角钢截面惯性矩相对较大，在结构受力时能承受一部分弯矩，宜采用梁单元模拟；顶架、上中下横担处的角钢截面惯性矩相对较小，在结构设计中往往将其视为二力杆，宜采用桁架单元模拟。但是，通过有限元计算分析，全部使用梁单元与仅主材部分使用梁单元两种方法，结构的整体频率相差很小。另外，由于角钢为单轴对称截面的薄壁构件，且为一肢上偏心连接，再加上输电塔结构的形式多样，对其进行精确的模态分析比较困难。在分析结果不失精确的前提下，对输电塔整体采用梁单元可以保证较高的计算效率。因此，本文采用梁单元对输电塔整体进行有限元建模计算。输电塔的节点板及其他连接构件对结构刚度无影响，在建模中仅考虑其质量。
1.2 固有频率和模态振型
采用两种分析软件计算得到的输电塔前九阶模态频率结果见表1。表中数据表明：常规直线输电塔各阶频率十分接近，使用Midas Gen和Ansys两种有限元软件得到的计算结果差异不大，前二阶的相对误差分别为0.24%和0.34%。图1为使用Ansys计算得出的前九阶振型，图中结果表明：输电塔有横线向（x向）和顺线向（y向）弯曲振型、各种局部弯曲振型以及扭转振型。
2. 结构有限元动力时程分析
2.1 脉动风的模拟
风速观测记录表明瞬时风速包含两种成分：周期一般在十分钟以上的平均风和周期在几秒钟的脉动风。本文采用指数律描述大气边界层高度范围内的平均风速变化规律，而风场的模拟主要是针对脉动风而言的。从对脉动风大量实测记录样本时程曲线的统计分析可知，脉动风速本身可用具有零均值的高斯平稳随机过程来描述，且其具有明显的各态历经性，可用时间的平均代替样本的平均。目前国内最常用的脉动风速数值模拟方法主要有二次滤波法、三角级数法、白噪声滤波法和周期图法等。二次滤波法需要进行滤波器设计，对不同功率谱密度函数的脉动风速，均需设计出合理的滤波器，因而该方法缺乏通用性。三角级数法和白噪声滤波法是将脉动风速看作平稳高斯过程，这显然不完全与实际情况相符，同时它们的计算速度较慢，而且得到的脉动风速样本有一定的误差。
本文采用由时间序列估计功率谱密度的周期图法，该法根据功率谱分别求出频谱的幅值和随机相位，然后再通过傅立叶逆变换（IFFT）得到脉动风速的时域模拟样本。利用以上方法模拟平均风速为31.5m/s时，10m高度处脉动风速时程曲线如图2所示。对该脉动风速时程曲线用周期图法得到的功率谱模拟值与解析值的比较如图3所示。计算结果表明，使用该法模拟精度较高，其计算结果可以作为脉动风速时域输入。
2.2 风向与风速的概率分布
因风速分布是空间的，对于某一钢结构输电塔所在地而言，风的作用可来自任意方向，且每个方向风的强度与出现的频率不同。根据当地的风速资料对不同风向自然风的风速进行统计分析，可以得出当地的风向分布玫瑰图以及风速分布的概率密度函数。有关气象资料表明，广州受季风环流控制，冬半年（9月至翌年3月）处于大陆冷高压的东南侧，盛吹偏北风，其频率基本在15%～40%；夏半年（4月～8月）常吹偏南风，其频率大致在15%～25%；广州市年平均风速为2m/s左右。另由风资源评估方法，我国一类风场年平均风速为10m/s。本文暂不考虑风向强度分布与出现频率的影响，以最不利方式计算，即认为风速全年在风向角β=0（或β=90）的分布概率为100%。
文中算例模拟输电塔从1m到31m全高范围内间隔5m共7处的脉动风速时程，时程长度600s（10min），时间步长1s，再与各点处的平均风速相加，得到空间各点风速时程，同时考虑输电塔结构各高度处的相应挡风面积A（z）和角钢塔架整体风荷载体型系数μs，根据空气动力学理论，由伯努利方程变换可得结构上各点的风荷载时程。 2.3 有限元动力分析
目前工程上的抗风分析大多在频域范围内进行，它根据随机振动理论，建立了输入风荷载谱与输出结构响应谱之间的直接关系，频域法以结构线性化为前提；鉴于输电塔在强风作用下，非线性特征影响较大，本文采用时域法对结构进行动力响应分析。时域法将风荷载模拟成时间函数，然后直接求解运动微分方程，可不必在结构抗风分析中做结构的数学模型简化等大量工作，而直接得出各个风向和风速条件下所考察的塔架关键部位内力时程曲线。
3. 风振疲劳的累积损伤分析和疲劳寿命估算
3.1 S-N曲线的确定
在输电塔的风致破坏事故中，疲劳为主要原因的占了很大比例。表示应力幅S与疲劳寿命N（应力循环次数）之间关系的曲线称为疲劳曲线，即S-N曲线。对钢材及其合金来说，S-N曲线有可能有一水平渐近线，该渐近线对应的纵坐标，就是材料的疲劳极限，理论上构件可经受无限次循环而不破坏。但是，在结构风振疲劳计算中，由于在设计服役期内的应力循环次数往往远远大于107，同时为了计算方便起见，往往不考虑疲劳极限的存在，即认为任何大小的循环应力，都会对构件造成疲劳损伤，显然这种作法也是偏安全的。
（1）
式中，m和K称为材料的疲劳参数，可通过恒幅疲劳试验确定。通过在ANSYS高级疲劳包FE-SAFE中查得Q235的S-N曲线值表如表2所示。Q235号钢的抗拉强度σb为375～500Mpa，本报告取σb=500Mpa进行Q235的S-N曲线回归，得到回归方程和S-N曲线如图6所示。将回归曲线方程转化为S-N最为常用的幂函数曲线经验公式来表达：m=3.7608，K=949.8692。
3.2 Miner线性疲劳累积损伤
为了将材料的恒幅疲劳特性用于变幅疲劳计算，还需要用到疲劳累积损伤的概念。本文采用Miner线性累积损伤理论，该理论认为疲劳损伤是可以线性地累加的，各个应力之间相互独立和互不相关，当累加的损伤达到某一数值时，试件或构件就发生疲劳破坏。当含有k个荷载块的加载序列中，如果用ni表示应力幅Si的实际循环次数，用Ni表示该应力幅对应的破坏循环次数，则Miner法则可以用下式表述：
（2）
式中，D为累积损伤值；D=0时，表示材料完好无损，当D=1时，表示材料已经达到它的疲劳寿命，随时可能破坏。
3.3 关键部位的疲劳累积损伤计算
对格构式钢结构输电塔，其风振疲劳一般出现在交替拉应力较大的部位或杆件中。根据输电塔计算模态分析和静力分析结果，分别选取11个单元，分别是主材96、589、399和555单元，斜撑423、511、480和492单元，横隔416和542单元，横担303单元。当然，根据Midas Gen时程分析结果，亦可输出其他任意结构节点的速度、加速度以及任意单元的内力和应力响应时程。不考虑杆件的初始损伤，分析可知单元399是输电塔最大轴向拉应力单元，风向角β=0、平均风速v10=10m/s时的应力响应曲线如图8。
通过脉动风速时程模拟和结构动力计算得到的结构动力响应时程亦是一个随机过程。为了应用Miner公式，最直接的方法就是将应力幅值S的数值细分，统计出各个应力幅值Si出现的循环次数ni。本文采用雨流计数法（又叫塔顶法）进行循环计数统计。该方法的特点是能识别响应时程曲线的各个回转点，并记下完整的滞回环，计算结果得到一个振幅为行，平均值为列的矩阵，对应于每一平均值与振幅可得其滞回环数目，从而获得各应力幅值Si下的实际循环次数ni。
3.4 疲劳寿命估算
针对输电塔底部截面拉应力最大单元（单元399）的应力时程采用雨流法，利用Matlab对该单元10min时段内的结构风振疲劳累积损伤进行统计。图9是用雨流法统计的风向角β=0、平均风速v10=10m/s时，单元399各应力幅值对应的实际循环数。
经统计，10min时段内，单元399各级应力幅值对应的循环总数∑ni=310，累积损伤∑Di=1.07E-07，寿命Y=（1/∑Di）×10min=177.89year，可以近似地认为关键杆件399的疲劳寿命即是输电塔的疲劳寿命。
4.结语
（1）分析表明，塔架中构件位置不同，由于风向、构件受力等因素的影响，其疲劳寿命并不相同，因此在设计中应考虑这些差别，防止构件疲劳破坏的发生。
（2）本文建立的 “输电塔计算模态分析-->风场模拟-->结构有限元动力响应-->风振疲劳的累积损伤分析和疲劳寿命估算”整套输电塔结构体系耐久性分析方法较为合理的评估了输电塔体系的剩余寿命，可为设计人员提供参考。
参考文献
[1]张相庭，工程结构风荷载理论和抗风计算手册（M）.上海：同济大学出版社，1990.
[2]王肇民，高耸结构振动控制（M）.上海：同济大学出版社，1997.
[3]陈绍蕃，钢结构设计原理（M）.科学出版社，1998.
[4]中华人名共和国国家标准.建筑结构荷载规范GB50009-2001（2006年版），北京：中国建筑工业出版社，2002.
[5]中华人名共和国国家标准.钢结构设计规范GB50017-2011，北京：中国建筑工业出版社，2011.
[6]中华人民共和国国家标准.110kV～750kV架空输电线路设计规范GB50545-2010，北京：中国计划出版社，2010.
[7]中华人民共和国电力行业标准.架空送电线路杆塔结构设计技术规定DL/T5154-2002，北京：中国电力出版社，2002.
[8]李桂青，曹宏，著.结构动力可靠度理论及其应用，地震出版社，1993.
[9]欧进萍，王光远，著.结构随机振动，北京：高等教育出版社，1998.
[10]王世村，孙炳楠，叶尹.自立式单杆输电塔顺风向风振疲劳分析[J].浙江大学学报：工学版，2005，39（12）：1880-1884.
[11]瞿伟廉，王锦文，谭亚，等.基于疲劳累积损伤的输电塔结构剩余寿命估算[J].武汉理工大学学报，2007，29（1）：149-152.
[12]郭勇，孙炳楠，叶尹.大跨越输电塔线体系风振响应的时域分析[J].土木工程学报，2006，39（12），12-17.
[13]阎楚良，卓宁生，高镇同.雨流法实时计数模型[J].北京航空航天大学学报，1998，24（5）：623-624.
[14]徐劲，谢伟平，蒋沧如.城市轨道交通系统轨道结构随机动力响应分析[J].路基工程，2008，1（136）：19-20.
关键词：输电线路钢结构塔架；风振疲劳；时域分析；疲劳累积损伤
概述
输电线路钢结构塔架是一种重要的生命线电力工程设施。在其服役阶段，结构构件钢材或零部件的耐久性问题除部分是由环境效应累积引起，更多的是由结构构件风致疲劳破坏所致。自然风脉动分量的作用使体系中大部分构件处于随机变幅荷载作用下，特别是在强台风地区，大风暴对结构的不利影响以及由于风速脉动而产生的风振效应显得尤为突出，往往造成输电塔结构在低于设计风荷载的各种水平风荷载往复作用下而失效。因此很有必要对钢结构塔架进行风荷载作用下的疲劳损伤研究，并从理论上粗略估计钢结构塔架的疲劳寿命。通过对某220kV输电线路钢结构塔架的现场检测和有限元动力分析，本文提出了自立格构式输电塔结构体系基于疲劳累计损伤的剩余寿命估算结果，并建立了一整套输电杆塔结构的耐久性评定方法。
1. 输电塔计算模态分析
一般把通过有限元计算而进行模态分析的过程称为计算模态分析，它是对结构固有振动特性的分析，用于确定结构的固有频率和振型。通过计算模态分析弄清结构物在某一易受影响的频率范围内的各阶主要模态的特性，就可以预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下产生的实际振动响应。
1.1 有限元分析模型
某220kV输电线路输电塔塔高31m，根开6.651m，铁塔顶架至下横担高17m，塔身平面形状为正方形。本文使用Midas Gen对其进行计算模态分析，并使用有限元软件Ansys进行了分析比较。该输电塔由等边角钢通过螺栓连接构成，根据结构受力特性，宜考虑使用空间梁杆混合结构体系，即采用梁、杆两种单元计算模式：塔柱、斜撑及横隔处的角钢截面惯性矩相对较大，在结构受力时能承受一部分弯矩，宜采用梁单元模拟；顶架、上中下横担处的角钢截面惯性矩相对较小，在结构设计中往往将其视为二力杆，宜采用桁架单元模拟。但是，通过有限元计算分析，全部使用梁单元与仅主材部分使用梁单元两种方法，结构的整体频率相差很小。另外，由于角钢为单轴对称截面的薄壁构件，且为一肢上偏心连接，再加上输电塔结构的形式多样，对其进行精确的模态分析比较困难。在分析结果不失精确的前提下，对输电塔整体采用梁单元可以保证较高的计算效率。因此，本文采用梁单元对输电塔整体进行有限元建模计算。输电塔的节点板及其他连接构件对结构刚度无影响，在建模中仅考虑其质量。
1.2 固有频率和模态振型
采用两种分析软件计算得到的输电塔前九阶模态频率结果见表1。表中数据表明：常规直线输电塔各阶频率十分接近，使用Midas Gen和Ansys两种有限元软件得到的计算结果差异不大，前二阶的相对误差分别为0.24%和0.34%。图1为使用Ansys计算得出的前九阶振型，图中结果表明：输电塔有横线向（x向）和顺线向（y向）弯曲振型、各种局部弯曲振型以及扭转振型。
2. 结构有限元动力时程分析
2.1 脉动风的模拟
风速观测记录表明瞬时风速包含两种成分：周期一般在十分钟以上的平均风和周期在几秒钟的脉动风。本文采用指数律描述大气边界层高度范围内的平均风速变化规律，而风场的模拟主要是针对脉动风而言的。从对脉动风大量实测记录样本时程曲线的统计分析可知，脉动风速本身可用具有零均值的高斯平稳随机过程来描述，且其具有明显的各态历经性，可用时间的平均代替样本的平均。目前国内最常用的脉动风速数值模拟方法主要有二次滤波法、三角级数法、白噪声滤波法和周期图法等。二次滤波法需要进行滤波器设计，对不同功率谱密度函数的脉动风速，均需设计出合理的滤波器，因而该方法缺乏通用性。三角级数法和白噪声滤波法是将脉动风速看作平稳高斯过程，这显然不完全与实际情况相符，同时它们的计算速度较慢，而且得到的脉动风速样本有一定的误差。
本文采用由时间序列估计功率谱密度的周期图法，该法根据功率谱分别求出频谱的幅值和随机相位，然后再通过傅立叶逆变换（IFFT）得到脉动风速的时域模拟样本。利用以上方法模拟平均风速为31.5m/s时，10m高度处脉动风速时程曲线如图2所示。对该脉动风速时程曲线用周期图法得到的功率谱模拟值与解析值的比较如图3所示。计算结果表明，使用该法模拟精度较高，其计算结果可以作为脉动风速时域输入。
2.2 风向与风速的概率分布
因风速分布是空间的，对于某一钢结构输电塔所在地而言，风的作用可来自任意方向，且每个方向风的强度与出现的频率不同。根据当地的风速资料对不同风向自然风的风速进行统计分析，可以得出当地的风向分布玫瑰图以及风速分布的概率密度函数。有关气象资料表明，广州受季风环流控制，冬半年（9月至翌年3月）处于大陆冷高压的东南侧，盛吹偏北风，其频率基本在15%～40%；夏半年（4月～8月）常吹偏南风，其频率大致在15%～25%；广州市年平均风速为2m/s左右。另由风资源评估方法，我国一类风场年平均风速为10m/s。本文暂不考虑风向强度分布与出现频率的影响，以最不利方式计算，即认为风速全年在风向角β=0（或β=90）的分布概率为100%。
文中算例模拟输电塔从1m到31m全高范围内间隔5m共7处的脉动风速时程，时程长度600s（10min），时间步长1s，再与各点处的平均风速相加，得到空间各点风速时程，同时考虑输电塔结构各高度处的相应挡风面积A（z）和角钢塔架整体风荷载体型系数μs，根据空气动力学理论，由伯努利方程变换可得结构上各点的风荷载时程。 2.3 有限元动力分析
目前工程上的抗风分析大多在频域范围内进行，它根据随机振动理论，建立了输入风荷载谱与输出结构响应谱之间的直接关系，频域法以结构线性化为前提；鉴于输电塔在强风作用下，非线性特征影响较大，本文采用时域法对结构进行动力响应分析。时域法将风荷载模拟成时间函数，然后直接求解运动微分方程，可不必在结构抗风分析中做结构的数学模型简化等大量工作，而直接得出各个风向和风速条件下所考察的塔架关键部位内力时程曲线。
3. 风振疲劳的累积损伤分析和疲劳寿命估算
3.1 S-N曲线的确定
在输电塔的风致破坏事故中，疲劳为主要原因的占了很大比例。表示应力幅S与疲劳寿命N（应力循环次数）之间关系的曲线称为疲劳曲线，即S-N曲线。对钢材及其合金来说，S-N曲线有可能有一水平渐近线，该渐近线对应的纵坐标，就是材料的疲劳极限，理论上构件可经受无限次循环而不破坏。但是，在结构风振疲劳计算中，由于在设计服役期内的应力循环次数往往远远大于107，同时为了计算方便起见，往往不考虑疲劳极限的存在，即认为任何大小的循环应力，都会对构件造成疲劳损伤，显然这种作法也是偏安全的。
（1）
式中，m和K称为材料的疲劳参数，可通过恒幅疲劳试验确定。通过在ANSYS高级疲劳包FE-SAFE中查得Q235的S-N曲线值表如表2所示。Q235号钢的抗拉强度σb为375～500Mpa，本报告取σb=500Mpa进行Q235的S-N曲线回归，得到回归方程和S-N曲线如图6所示。将回归曲线方程转化为S-N最为常用的幂函数曲线经验公式来表达：m=3.7608，K=949.8692。
3.2 Miner线性疲劳累积损伤
为了将材料的恒幅疲劳特性用于变幅疲劳计算，还需要用到疲劳累积损伤的概念。本文采用Miner线性累积损伤理论，该理论认为疲劳损伤是可以线性地累加的，各个应力之间相互独立和互不相关，当累加的损伤达到某一数值时，试件或构件就发生疲劳破坏。当含有k个荷载块的加载序列中，如果用ni表示应力幅Si的实际循环次数，用Ni表示该应力幅对应的破坏循环次数，则Miner法则可以用下式表述：
（2）
式中，D为累积损伤值；D=0时，表示材料完好无损，当D=1时，表示材料已经达到它的疲劳寿命，随时可能破坏。
3.3 关键部位的疲劳累积损伤计算
对格构式钢结构输电塔，其风振疲劳一般出现在交替拉应力较大的部位或杆件中。根据输电塔计算模态分析和静力分析结果，分别选取11个单元，分别是主材96、589、399和555单元，斜撑423、511、480和492单元，横隔416和542单元，横担303单元。当然，根据Midas Gen时程分析结果，亦可输出其他任意结构节点的速度、加速度以及任意单元的内力和应力响应时程。不考虑杆件的初始损伤，分析可知单元399是输电塔最大轴向拉应力单元，风向角β=0、平均风速v10=10m/s时的应力响应曲线如图8。
通过脉动风速时程模拟和结构动力计算得到的结构动力响应时程亦是一个随机过程。为了应用Miner公式，最直接的方法就是将应力幅值S的数值细分，统计出各个应力幅值Si出现的循环次数ni。本文采用雨流计数法（又叫塔顶法）进行循环计数统计。该方法的特点是能识别响应时程曲线的各个回转点，并记下完整的滞回环，计算结果得到一个振幅为行，平均值为列的矩阵，对应于每一平均值与振幅可得其滞回环数目，从而获得各应力幅值Si下的实际循环次数ni。
3.4 疲劳寿命估算
针对输电塔底部截面拉应力最大单元（单元399）的应力时程采用雨流法，利用Matlab对该单元10min时段内的结构风振疲劳累积损伤进行统计。图9是用雨流法统计的风向角β=0、平均风速v10=10m/s时，单元399各应力幅值对应的实际循环数。
经统计，10min时段内，单元399各级应力幅值对应的循环总数∑ni=310，累积损伤∑Di=1.07E-07，寿命Y=（1/∑Di）×10min=177.89year，可以近似地认为关键杆件399的疲劳寿命即是输电塔的疲劳寿命。
4.结语
（1）分析表明，塔架中构件位置不同，由于风向、构件受力等因素的影响，其疲劳寿命并不相同，因此在设计中应考虑这些差别，防止构件疲劳破坏的发生。
（2）本文建立的 “输电塔计算模态分析-->风场模拟-->结构有限元动力响应-->风振疲劳的累积损伤分析和疲劳寿命估算”整套输电塔结构体系耐久性分析方法较为合理的评估了输电塔体系的剩余寿命，可为设计人员提供参考。
参考文献
[1]张相庭，工程结构风荷载理论和抗风计算手册（M）.上海：同济大学出版社，1990.
[2]王肇民，高耸结构振动控制（M）.上海：同济大学出版社，1997.
[3]陈绍蕃，钢结构设计原理（M）.科学出版社，1998.
[4]中华人名共和国国家标准.建筑结构荷载规范GB50009-2001（2006年版），北京：中国建筑工业出版社，2002.
[5]中华人名共和国国家标准.钢结构设计规范GB50017-2011，北京：中国建筑工业出版社，2011.
[6]中华人民共和国国家标准.110kV～750kV架空输电线路设计规范GB50545-2010，北京：中国计划出版社，2010.
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[8]李桂青，曹宏，著.结构动力可靠度理论及其应用，地震出版社，1993.
[9]欧进萍，王光远，著.结构随机振动，北京：高等教育出版社，1998.
[10]王世村，孙炳楠，叶尹.自立式单杆输电塔顺风向风振疲劳分析[J].浙江大学学报：工学版，2005，39（12）：1880-1884.
[11]瞿伟廉，王锦文，谭亚，等.基于疲劳累积损伤的输电塔结构剩余寿命估算[J].武汉理工大学学报，2007，29（1）：149-152.
[12]郭勇，孙炳楠，叶尹.大跨越输电塔线体系风振响应的时域分析[J].土木工程学报，2006，39（12），12-17.
[13]阎楚良，卓宁生，高镇同.雨流法实时计数模型[J].北京航空航天大学学报，1998，24（5）：623-624.
[14]徐劲，谢伟平，蒋沧如.城市轨道交通系统轨道结构随机动力响应分析[J].路基工程，2008，1（136）：19-20.