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【摘要】本文以特级教师刘松执教的《倍的认识》一课为例，论述教师在小学数学教学中运用图示开展教学的途径，认为运用图示进行教学能够化抽象为直观，帮助学生建立概念，使学生真正理解“倍”的内涵及本质。
【关键词】小学数学 《倍的认识》 图示
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）04A-0094-03
数学概念是客观事物在数、量、关系和空间形式方面的本质属性在人脑中的反映，是对一类事物的概括和表征。小学数学概念主要有：数的概念、运算的概念、量与计量的概念、几何形体的概念、比和比例的概念、方程的概念以及统计初步知识的有关概念等。概念在小学数学基础知识中占有重要地位，渗透在数学各知识领域中，贯穿于整个数学知识体系。数学概念是学生学习数学的基础、形成数学能力的前提，是小学数学教学的核心。
当前，教师在教学数学概念时存在的主要问题有：一是忽视学生经历概念的形成过程。部分教师没有更新教学理念，认为“概念教学”就是名词解析，于是在课堂上直接出示概念并解释，然后让学生死记硬背，学生没有体验、感悟概念形成的经历;二是没有让学生真正理解概念的本质，学生对概念一知半解甚至不理解，不能活用数学概念解决问题;三是没能有效地设计练习，练习设计缺乏层次性、针对性、趣味性，学生学习兴趣不高、趣味不浓。正如王永春教授所说的：概念不清、判断不明、推理不灵！
数学概念具有高度的抽象性，而小学生的认知特点以形象性为主，这一突出矛盾使得数学概念教学成为一个难点，如何将抽象的思维过程形象化，促使学生更好地理解概念？笔者以刘松老师执教的《倍的认识》一课为例，谈谈对概念教学的感悟与思考。
“倍”在小学数学里是一个重要概念，是在学生学习乘法与除法的基础上学习的，是学生第一次接触“整数倍”的概念，它同时也是学生后续学习小数倍、分数（表示率）、百分数、比的内容的基础。实验版教材将倍的知识分散编排在二年级上、下册，修订后的教材为了让学生更好地建立倍的概念，把这部分内容从表内乘除法中移出，集中安排在三年级上册第五单元进行教学。新修订的教材突出了两个量的比较，让学生清楚地感受到一份和几份之间的关系，把乘法和除法很好地融合在一起。学生活动用圈一圈代替摆的过程，更重视合理利用画图表征，强调通过图形直观，让学生亲身经历“倍”的形成过程，建立倍的表象。
一、概念形成过程直观图式化，建立“倍”的概念模型
概念建立是概念教学的中心环节。小学生建立数学概念有两种基本形式：一是概念的形成，二是概念的同化。由于小学生的思维特点处于由形象思维向抽象思维过渡的阶段，“倍”这个概念以“概念形成”的形式建立。小学数学概念的形成，一般要经过感知具体事物（直观感知）、发现其数学特征（在归类的基础上建立表象）、抽象出这类事物的本质特征、用语言或符号表征（在判断和应用的过程中明确概念的外延）、强化此概念与彼概念的联系与区别。
《义务教育数学课程标准》（2011年版）增加了“课程内容的组织要重视过程”这一项要求，如何在概念的形成上重视过程？这就必须让学生经历从具体到表象再到抽象的过程，克服机械记忆概念的学习方式。
【片段一】读图引入，建立直观模型
1.联系旧知，引出“倍
师（贴出3个△，即△△△）：三角形有3个，是多还是少？
生：不知道跟谁比较。
师（再贴出3个○，即○○○）：这两个量能比较了吗？说说它们之间有什么样的关系？
生：同样多。
师（揭示课题）：还有别的说法吗？其实，它们的关系还有另一种說法——圆形个数是三角形个数的1倍。
2.突出几个几，强化认识“倍”
师：为什么说圆形的个数是三角形个数的1倍？看！三角形有几个？我们可以把3个看作1份，圆形有这样的几份？（教师圈出来，完成板书如图1）
师（在3个圆形的基础上，再分别添加1个、2个、3个圆形）：现在它们的关系是怎样的呢？你能用今天学的“倍”来说下它们的关系吗？你是怎么想的？你怎么看出是2倍？把你的想法圈一圈好吗？（完成板书如图2）
师（在6个圆形的基础上，再继续分别添加1个、2个、3个圆形）：现在呢？9个圆形的时候，你是怎么看出是3倍的？请上来圈一圈。（板书如图3）
师：三角形看作1份，圆形有这样的1份就是它的1倍，有这样的2份就是它的2倍，有这样的3份就是它的3倍。
师：圆形有几个？三角形有几个？9里面有几个3？（9÷3=3）
刘老师先从实物入手，借助实物的直观与数量的叠加变化帮助学生理解“倍”的概念。在“倍”的概念的建立过程中，注重将所比较的事物的数量关系直观化，即每3个三角形为一组圈出来作为标准，比较量里包含几个标准量就是“几倍”，直观形象地展示了两个数量之间的倍比关系，把“倍”抽象的概念直观化，思维可视化，感受“倍”是一份一份地比，从而帮助学生构建“倍”的模型。
二、注重多元表征，理解概念
有研究表明，对数学概念的表征水平与数学成绩呈正相关。表征是信息在头脑中的呈现方式，多元表征是加强学生理解能力的有效方式。在建立“倍”的概念环节，即教学片段一中，刘老师通过让学生用眼看图、用手圈图、用语言表达思维过程，引导学生通过语言表征、图形表征、算式表征等多种方式表征“倍”这个概念。同时，还要回归数学本质，也就是沟通除法与“倍”的关系，如“9里面有几个3？（9÷3=3）”，让学生从除法的角度去理解“倍”，认识到倍的本质是两个量在相互比较，即一个量里包含了几个标准量就是它的几倍，建立起完整的“倍”的概念。
三、变式练习图式化，强化中理解概念的本质属性
“变式”是指本质属性不变而非本质属性发生变化。学生对概念的掌握不是一次就能完成的，要由具体到抽象，再由抽象到具体多次往复。当学生初步建立概念后还需要运用多种方法，促进概念在学生认知结构中的保持，并通过不断运用使新建立的概念得以巩固。著名特级教师曹培英在《提高小学数学练习设计有效性的研究（一）》一文中指出：“一般地，练习具有促进理解、巩固所学知识，形成技能、发展能力的功能。这是泛学科的共识。”可见，练习是课堂永远无法割舍的重要组成部分。学生的练习并非是反复地做题，“习题”应逐步被“练习活动”所替代。教师应精心设计富有挑战性、参与性、研究性、综合性与发展性的“练习活动”。刘老师在《倍的认识》一课中增加变式练习，通过设计开放题等方式加深学生对“倍”概念的本质属性的理解。 【片段二】以图式出现对比练习，理解“倍”的本质属性
师：请用笔先圈一圈，再填空。
师：请你来汇报。
师：圆形分别有6个、9个、12个，为什么都是三角形个数的3倍呢？四人小组讨论。
“对比”是一种很好的揭示概念属性的方法。在直观图式的基础上，刘老师让学生通过圈图、填空、汇报，然后再四人小组讨论，点燃了学生的思维火花，目的在于引导学生探索在不同的事物背后隐藏着的相同点，引导学生“舍弃各种不相干的因素”，在比较辨析中自主感悟总结出“都是这样的3份，所以都是3倍”。只要先确定把誰看作1份，另一个量里有这样的几份，就是几倍。从而更为深入地揭示现象的本质，让学生感悟标准量、比较量和倍数之间变与不变的关系，在对比中理解“倍”的本质属性。
【片段三】课件图式演示，经历从直观到抽象的过程，突出“倍”的本质属性
刘老师利用课件演示（如图5）：3朵红花1朵黄花为一组，共三组的横排实物情境图，通过“变变变”，把三组情境图由横排转变成竖排，由竖排渐变成条形色块图，最后抽象成线段图。
抽象是另一种重要的数学思维与学习数学的方式，适度抽象也是贯穿小学数学教学始终的基本教学策略。刘老师设计这道练习有两个作用，一是让学生经历“实物情境图（横排到竖排）→条形色块图→线段图”的过程，引导学生一步步把关注的对象从比较实物过渡到比较量，使学生真正做到“完全舍弃事物或现象的质的内容，而仅仅着眼于它们的量性特征”，借助形象的图式理解抽象的“倍”，让学生经历由直观到抽象的过程，积累一定的学习活动经验，为以后学习线段图做准备;二是让学生感悟到标准量的位置、顺序、形状都是可变的，只要把标准量确定了，有几份标准量就是几倍，再次突出“倍”的本质属性。
【片段四】设计图式开放题，进一步理解“倍”概念的内涵
教师出示习题如下。
想一想，画一画，圈一圈，填一填。你能想出几种？试一试。
三角形：？
圆 形：○○○○○○
圆形的个数是三角形的（ ）倍。
在这道题中，圆形的个数不变，三角形的个数可以是1个、2个、3个、6个，让学生亲自画一画、圈一圈，探究倍数发生变化的原因，感受比的标准的重要性，在“变化”中借助直观操作，更进一步理解“倍”概念的内涵，同时培养学生的数形结合思想。
“倍”的概念涉及两个量之间的比较，十分抽象，学生第一次接触难以理解。刘老师设计了多个层次的活动，有效地运用图式建立概念模型，让学生通过图示理解概念，再通过图式变化进行强化练习、突出概念的本质。整节课有效运用图式，化抽象为直观，把概念抽象的思维过程可视化、形象化，促使学生更好地理解概念，激发学生学习的兴趣，促进学生对概念本质的理解，从而建构完善的知识结构。
作者简介：黄金爱（1975— ），女，壮族，广西横县人，中小学高级教师，1994年至2010年在南宁市横县石塘镇中心学校任教，2010年10月开始任南宁市横县小学数学教研员，研究方向：小学数学教学。
（责编 刘小瑗）
【关键词】小学数学 《倍的认识》 图示
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）04A-0094-03
数学概念是客观事物在数、量、关系和空间形式方面的本质属性在人脑中的反映，是对一类事物的概括和表征。小学数学概念主要有：数的概念、运算的概念、量与计量的概念、几何形体的概念、比和比例的概念、方程的概念以及统计初步知识的有关概念等。概念在小学数学基础知识中占有重要地位，渗透在数学各知识领域中，贯穿于整个数学知识体系。数学概念是学生学习数学的基础、形成数学能力的前提，是小学数学教学的核心。
当前，教师在教学数学概念时存在的主要问题有：一是忽视学生经历概念的形成过程。部分教师没有更新教学理念，认为“概念教学”就是名词解析，于是在课堂上直接出示概念并解释，然后让学生死记硬背，学生没有体验、感悟概念形成的经历;二是没有让学生真正理解概念的本质，学生对概念一知半解甚至不理解，不能活用数学概念解决问题;三是没能有效地设计练习，练习设计缺乏层次性、针对性、趣味性，学生学习兴趣不高、趣味不浓。正如王永春教授所说的：概念不清、判断不明、推理不灵！
数学概念具有高度的抽象性，而小学生的认知特点以形象性为主，这一突出矛盾使得数学概念教学成为一个难点，如何将抽象的思维过程形象化，促使学生更好地理解概念？笔者以刘松老师执教的《倍的认识》一课为例，谈谈对概念教学的感悟与思考。
“倍”在小学数学里是一个重要概念，是在学生学习乘法与除法的基础上学习的，是学生第一次接触“整数倍”的概念，它同时也是学生后续学习小数倍、分数（表示率）、百分数、比的内容的基础。实验版教材将倍的知识分散编排在二年级上、下册，修订后的教材为了让学生更好地建立倍的概念，把这部分内容从表内乘除法中移出，集中安排在三年级上册第五单元进行教学。新修订的教材突出了两个量的比较，让学生清楚地感受到一份和几份之间的关系，把乘法和除法很好地融合在一起。学生活动用圈一圈代替摆的过程，更重视合理利用画图表征，强调通过图形直观，让学生亲身经历“倍”的形成过程，建立倍的表象。
一、概念形成过程直观图式化，建立“倍”的概念模型
概念建立是概念教学的中心环节。小学生建立数学概念有两种基本形式：一是概念的形成，二是概念的同化。由于小学生的思维特点处于由形象思维向抽象思维过渡的阶段，“倍”这个概念以“概念形成”的形式建立。小学数学概念的形成，一般要经过感知具体事物（直观感知）、发现其数学特征（在归类的基础上建立表象）、抽象出这类事物的本质特征、用语言或符号表征（在判断和应用的过程中明确概念的外延）、强化此概念与彼概念的联系与区别。
《义务教育数学课程标准》（2011年版）增加了“课程内容的组织要重视过程”这一项要求，如何在概念的形成上重视过程？这就必须让学生经历从具体到表象再到抽象的过程，克服机械记忆概念的学习方式。
【片段一】读图引入，建立直观模型
1.联系旧知，引出“倍
师（贴出3个△，即△△△）：三角形有3个，是多还是少？
生：不知道跟谁比较。
师（再贴出3个○，即○○○）：这两个量能比较了吗？说说它们之间有什么样的关系？
生：同样多。
师（揭示课题）：还有别的说法吗？其实，它们的关系还有另一种說法——圆形个数是三角形个数的1倍。
2.突出几个几，强化认识“倍”
师：为什么说圆形的个数是三角形个数的1倍？看！三角形有几个？我们可以把3个看作1份，圆形有这样的几份？（教师圈出来，完成板书如图1）
师（在3个圆形的基础上，再分别添加1个、2个、3个圆形）：现在它们的关系是怎样的呢？你能用今天学的“倍”来说下它们的关系吗？你是怎么想的？你怎么看出是2倍？把你的想法圈一圈好吗？（完成板书如图2）
师（在6个圆形的基础上，再继续分别添加1个、2个、3个圆形）：现在呢？9个圆形的时候，你是怎么看出是3倍的？请上来圈一圈。（板书如图3）
师：三角形看作1份，圆形有这样的1份就是它的1倍，有这样的2份就是它的2倍，有这样的3份就是它的3倍。
师：圆形有几个？三角形有几个？9里面有几个3？（9÷3=3）
刘老师先从实物入手，借助实物的直观与数量的叠加变化帮助学生理解“倍”的概念。在“倍”的概念的建立过程中，注重将所比较的事物的数量关系直观化，即每3个三角形为一组圈出来作为标准，比较量里包含几个标准量就是“几倍”，直观形象地展示了两个数量之间的倍比关系，把“倍”抽象的概念直观化，思维可视化，感受“倍”是一份一份地比，从而帮助学生构建“倍”的模型。
二、注重多元表征，理解概念
有研究表明，对数学概念的表征水平与数学成绩呈正相关。表征是信息在头脑中的呈现方式，多元表征是加强学生理解能力的有效方式。在建立“倍”的概念环节，即教学片段一中，刘老师通过让学生用眼看图、用手圈图、用语言表达思维过程，引导学生通过语言表征、图形表征、算式表征等多种方式表征“倍”这个概念。同时，还要回归数学本质，也就是沟通除法与“倍”的关系，如“9里面有几个3？（9÷3=3）”，让学生从除法的角度去理解“倍”，认识到倍的本质是两个量在相互比较，即一个量里包含了几个标准量就是它的几倍，建立起完整的“倍”的概念。
三、变式练习图式化，强化中理解概念的本质属性
“变式”是指本质属性不变而非本质属性发生变化。学生对概念的掌握不是一次就能完成的，要由具体到抽象，再由抽象到具体多次往复。当学生初步建立概念后还需要运用多种方法，促进概念在学生认知结构中的保持，并通过不断运用使新建立的概念得以巩固。著名特级教师曹培英在《提高小学数学练习设计有效性的研究（一）》一文中指出：“一般地，练习具有促进理解、巩固所学知识，形成技能、发展能力的功能。这是泛学科的共识。”可见，练习是课堂永远无法割舍的重要组成部分。学生的练习并非是反复地做题，“习题”应逐步被“练习活动”所替代。教师应精心设计富有挑战性、参与性、研究性、综合性与发展性的“练习活动”。刘老师在《倍的认识》一课中增加变式练习，通过设计开放题等方式加深学生对“倍”概念的本质属性的理解。 【片段二】以图式出现对比练习，理解“倍”的本质属性
师：请用笔先圈一圈，再填空。
师：请你来汇报。
师：圆形分别有6个、9个、12个，为什么都是三角形个数的3倍呢？四人小组讨论。
“对比”是一种很好的揭示概念属性的方法。在直观图式的基础上，刘老师让学生通过圈图、填空、汇报，然后再四人小组讨论，点燃了学生的思维火花，目的在于引导学生探索在不同的事物背后隐藏着的相同点，引导学生“舍弃各种不相干的因素”，在比较辨析中自主感悟总结出“都是这样的3份，所以都是3倍”。只要先确定把誰看作1份，另一个量里有这样的几份，就是几倍。从而更为深入地揭示现象的本质，让学生感悟标准量、比较量和倍数之间变与不变的关系，在对比中理解“倍”的本质属性。
【片段三】课件图式演示，经历从直观到抽象的过程，突出“倍”的本质属性
刘老师利用课件演示（如图5）：3朵红花1朵黄花为一组，共三组的横排实物情境图，通过“变变变”，把三组情境图由横排转变成竖排，由竖排渐变成条形色块图，最后抽象成线段图。
抽象是另一种重要的数学思维与学习数学的方式，适度抽象也是贯穿小学数学教学始终的基本教学策略。刘老师设计这道练习有两个作用，一是让学生经历“实物情境图（横排到竖排）→条形色块图→线段图”的过程，引导学生一步步把关注的对象从比较实物过渡到比较量，使学生真正做到“完全舍弃事物或现象的质的内容，而仅仅着眼于它们的量性特征”，借助形象的图式理解抽象的“倍”，让学生经历由直观到抽象的过程，积累一定的学习活动经验，为以后学习线段图做准备;二是让学生感悟到标准量的位置、顺序、形状都是可变的，只要把标准量确定了，有几份标准量就是几倍，再次突出“倍”的本质属性。
【片段四】设计图式开放题，进一步理解“倍”概念的内涵
教师出示习题如下。
想一想，画一画，圈一圈，填一填。你能想出几种？试一试。
三角形：？
圆 形：○○○○○○
圆形的个数是三角形的（ ）倍。
在这道题中，圆形的个数不变，三角形的个数可以是1个、2个、3个、6个，让学生亲自画一画、圈一圈，探究倍数发生变化的原因，感受比的标准的重要性，在“变化”中借助直观操作，更进一步理解“倍”概念的内涵，同时培养学生的数形结合思想。
“倍”的概念涉及两个量之间的比较，十分抽象，学生第一次接触难以理解。刘老师设计了多个层次的活动，有效地运用图式建立概念模型，让学生通过图示理解概念，再通过图式变化进行强化练习、突出概念的本质。整节课有效运用图式，化抽象为直观，把概念抽象的思维过程可视化、形象化，促使学生更好地理解概念，激发学生学习的兴趣，促进学生对概念本质的理解，从而建构完善的知识结构。
作者简介：黄金爱（1975— ），女，壮族，广西横县人，中小学高级教师，1994年至2010年在南宁市横县石塘镇中心学校任教，2010年10月开始任南宁市横县小学数学教研员，研究方向：小学数学教学。
（责编 刘小瑗）