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摘要：由于道旁麦克风与运动车辆之间具有相对运动，导致采集的信号存在多普勒效应，从而增加了轴承声学故障诊断的难度。针对此问题，提出了一种基于回归离散傅里叶级数的车辆轴承多普勒信号校正方法。该方法通过建立车辆运动学模型，得到车辆发声时刻序列和麦克风收声时刻序列;对麦克风采集到的信号进行时间变换，并对经时间变换的信号进行离散回归傅里叶级数非线性拟合;最后通过Tihonov正则化求解得到校正信号频谱图。相比传统校正方法，本文提出的方法可直接获取校正信号的频域信息，在道旁声学轴承故障诊断中有良好的应用前景。
关键词：多普勒畸变;滚动轴承;离散回归;Tihonov正则化
0引言
滚动轴承不但支撑着车辆整体重量，而且是车辆高速旋转的关键部件，其状态的好坏直接影响着车辆运行的安全性。据美国有关权威部门统计，每年约有50起与轴承相关的车辆发生脱轨事故。因此，实时监控车辆滚动轴承的运行状态并对其产生的故障进行诊断，对车辆的安全运行意义重大。
轴承声音监测系统形成于20世纪80年代。由于采集信号时，麦克风与轴承声源存在着一段不可忽略的垂直距离，导致轴承声源相对麦克风存在横向速度，最终采集到的信号发生了多普勒畸变。这种多普勒畸变信号在信号频域存在频率偏移、频带展拓等问题。因此对麦克风采集的信号进行校正是轴承声音监测系统的重点。
为解决多普勒畸变的问题，国内外学者对此进行了深入研究。Stoianovic等提出了锁相环技术对多普勒声信号进行校正，随后Johnson等在此基础上提出了将DFE算法与锁相环技术相结合的方法，实现了多普勒校正，该方法适用于通信级别的信号校正。杨殿阁等提出了非线性时间映射法，通过建立声场的运动学关系，在时域对多普勒效应进行消除。然而该方法在建立运动学关系时需要诸多预知参数，其适用范围受到限制。张海滨等提出一种基于伪时频分析的方法，对信号的时间中心和特征频率进行估计，进而实现对多普勒信号的校正，但这种方法运算量较大。张翱等提出运用能量重心法来对瞬时频率进行估计，然后对多普勒信号进行校正，但这种方法在噪声大时提取瞬时频率非常困难，参数估计也会因此产生较大偏差。
为了增强在多普勒校正过程中对噪声的鲁棒性，减少在信号处理过程中的谱泄露。本文提出一种基于回归离散傅里叶级数的多普勒校正方法。该方法首先对麦克风采集到的信号进行幅值校正：然后对幅值校正后的信号进行时间变换：最后通过回归离散傅里叶级数进行非线性拟合，并用Tihonov正则化逆求解直接得到校正后的信号频谱。
1车辆的道旁声学运动学模型
车辆道旁声学运动学模型如图1所示。被测车辆轴承声源在t=0时刻从相距麦克风水平距离S处出发，相对于空气介质以速度V沿图示方向运动。现对麦克风测得的声源由A到C之间的信号进行分析。由于车辆车速较高，被研究的信号时间较短，可将A到C的a车辆轴承声源速度V近似视为恒定的。
假设声源在tr时刻到达B点，此时声源振幅为p.声源与麦克风距离为r.该声信号经过dt=R/c（c为声音在空气中的传播速度）时间到达麦克风0点，到达时刻为：
在车辆速度为亚声速的情况下，考虑车辆轴承声源为单级子点声源，并且传播介质为理想流体，即不存在粘滞性，没有能量损耗。根据莫尔斯声学理论，从波动方程和运动关系出发可以推导出以下公式：
其中：P为麦克风处采集到的声压;q为单极子点声源质量总流率;q’=eq/et.t为运行时刻;Y为声源运动直线与麦克风的垂直距离：R为发声时刻声源与麦克风的距离;c为声音在空气中的传播速度：θ为发声时刻声源和麦克风连线与声源运动方向之间的夹角;V为声源的速度，M=V/c为马赫数。式中第二项为小项，可忽略不计。因此，麦克风接收到的声压为：
式（8）中A为因声源相对麦克风运动而产生的声压幅值调制函数，式（9）中B表示当声源静止在距离声源Y处的声压函数。R/c表示声波从声源处传播到麦克风需要的时间。
2回归离散傅里叶级数（RDFS）
回归离散傅里叶级数（RDFS）拟合方法能够用来处理非均匀的离散数据。相比于经典离散傅里叶变换的方法，回归方法在处理间隔数据中能够降低谱泄露。
回归离散傅里叶级数拟合方法运用最小二乘的方法，将通用的离散傅里叶模型用来拟合非均匀的间隔数据。其表达式为：
式（10）中，p为离散傅里叶级数的频率线;Wnk为系数矩阵;Xk为待求矩阵;εn是实际工况中无法消除的噪声扰动项。式（11）中，ψ为离散傅里叶级数的周期。
3基于RDFS的多普勒校正方法
Tihonov正则化是为了求解反问题的一种逼近方法，这些反问题无法或者难以求得精确解。因此，通过施加约束，使得问题在约束条件下允许O误差内可求解。本文通过L曲线来平衡约束值带来的放大误差，以及近似解与精确解的误差来获取适合的参数值。
Tihonov正则化方法是针对不确定问题提出的，针对公式（11），定义Tihonov泛函数：
式中：ui和vi;分别表示矩阵W的左奇异向量和右奇异向量：σ为矩阵W经奇异值分解后的奇异值：正则化参数α通常在[σr，σ1]之間选取，且α的选取直接关系到正则解xα与精确解X的近似程度。
设麦克风采集到的信号数据为（ts，xs），经幅值解调后的信号为（ts，xr）。而麦克风在t.时刻采集到的信号是由声源在t.时刻发出的，因此再将经幅值解调后的信号转换为（tr，xr），从而得到一组非线性的数据。本文多普勒校正方法的关键在于通过这组非线性的数据直接求得多普勒信号校正的频谱。通过回归离散傅里叶变换将非线性数据进行拟合，最后通过Tihonov正则化进行逆求解直接得到校正频谱。 对麦克风接收到的信号进行多普勒校正分为四个步骤：麦克风信号的幅值校正：经幅值校正后信号的时间还原：基于回归离散傅里叶级数的非线性拟合;基于Tihonov正则化的校正频谱逆求解。本文提出方法的流程如图2所示。首先运用道旁运动学模型推导的幅值调制参数对麦克风信号进行幅值解调，再将采样时间变换为声源发声时间，从而得到一组离散的非线性数据序列，运用离散回归傅里叶级数对其进行非线性拟合并利用Tihonov正则化求解，可得到去除了多普勒效应的信号频谱。
4仿真分析
4.1仿真信号
为了使多普勒畸变效果更突出，本文采用3个频率相近的信号（f1=700Hz.f2=800Hz.f3=900Hz）进行仿真。仿真t=0时刻从相距麦克风水平距离S=10m.麦克风到声源垂直距离Y=2m.声速c=340m/s.声源运动速度v=20m/s.采样频率为5kHz。
4.2仿真结果分析
仿真信号的时域图如图3所示。从图中可以看出幅值随声源运动时间先增大后减小。图4（a）为仿真信号频谱图，可以看出带有多普勒效应的仿真信号频率分布在600Hz至1000Hz之间，其主要频宽△f=288Hz。由图4（b）原始信号STFT时频谱也可看出，原始信号的频率偏移以及频带展拓。因此，仿真信号发生了多普勒畸变。首先对仿真信号进行幅值还原，再将信号均匀收声时间序列变换为非均匀发声时间序列，对由非均匀发声时间序列和幅值还原后的幅值序列构成的信号进行回归离散傅里叶级数非线性拟合，最后利用Tihonov正则化求解，得到校正信号的频谱以及STFT时频谱，如图4（c）和图4（d）所示。从图4（c）可以看到频率偏移以及频带展拓已经消失。从图4（d）可以看到在频率700Hz、800Hz、900Hz处分别出现了一条固定不变的频带。因此，利用本文方法可以消除多普勒效应对原始信号的影响。由表1可以看出，频率700Hz的相对误差为0.014%;频率800Hz的相对误差为0.013%：频率900Hz的相对误差为0%：相对误差相对都很小，从而验证了本方法的可行性。相比于时域插值重采样的方法，本文的方法能够在对多普勒信号校正后直接得出校正后的频谱，而不需要通過校正后的时域信号得到频谱。
5试验验证
为进一步有效验证本方法的可行性，本文对车辆滚动轴承内圈故障信号进行试验验证。轴承型号为SKF6016.其相关参数如表2所示。图5（a）为静态轴承故障实验台，图5（b）为扬声器放置位置。轴承在2N的负载下，设置电机转速为158r/rain（对应实验车辆48km/h的车速）产生声音信号。动态试验使用型号为INV3060V的数据采集设备，采集软件为DASP-V10.采样频率为10.24kHz。实验将扬声器固定在移动的汽车上，麦克风与汽车行驶直线的垂直距离为1.5m.汽车以恒定V=48km/h速度行驶，用固定的麦克风采集扬声器产生的声音信号。图6为动态试验现场图，
本文分析麦克风采集信号中心时刻前后0.6s的信号。根据轴承故障特征频率计算公式，求得内圈故障特征频率理论值为20.97Hz。由于内圈故障特征频率理论值较小，因此本文只分析信号频率范围为[0.100Hz]。
图7为采集到的内圈故障信号。图7（a）为故障信号时域图，图7（b）为故障信号频域图，图7（c）为故障信号时频图。由图7可以看出信号发生了多普勒畸变。在图7（b）中可以观察出在内圈特征频率20.97Hz附近出现了△f=1.96Hz的频带展拓。
通过本文校正方法进行校正，由图8（a）可以观察到校正后信号的频谱图中出现了内圈故障特征频率fo=20.94Hz.与理论值20.97Hz很接近;图8（b）校正信号时频图也可看出信号的多普勒效应已被有效去除。试验结果表明了本文方法的有效性。
6结束语
本文提出了一种基于回归离散傅里叶级数的车辆轴承多普勒信号校正方法。首先对仿真结果分析，从校正后的频域图可以看到频率偏移以及频带展拓已经消失。通过试验证明，校正后信号的频谱图中出现了内圈故障特征频率fo=20.94Hz.与理论值20.97Hz很接近。因此仿真和试验表明该方法完全可以运用于车辆轴承多普勒信号的校正中，且能对多普勒信号有效校正。
关键词：多普勒畸变;滚动轴承;离散回归;Tihonov正则化
0引言
滚动轴承不但支撑着车辆整体重量，而且是车辆高速旋转的关键部件，其状态的好坏直接影响着车辆运行的安全性。据美国有关权威部门统计，每年约有50起与轴承相关的车辆发生脱轨事故。因此，实时监控车辆滚动轴承的运行状态并对其产生的故障进行诊断，对车辆的安全运行意义重大。
轴承声音监测系统形成于20世纪80年代。由于采集信号时，麦克风与轴承声源存在着一段不可忽略的垂直距离，导致轴承声源相对麦克风存在横向速度，最终采集到的信号发生了多普勒畸变。这种多普勒畸变信号在信号频域存在频率偏移、频带展拓等问题。因此对麦克风采集的信号进行校正是轴承声音监测系统的重点。
为解决多普勒畸变的问题，国内外学者对此进行了深入研究。Stoianovic等提出了锁相环技术对多普勒声信号进行校正，随后Johnson等在此基础上提出了将DFE算法与锁相环技术相结合的方法，实现了多普勒校正，该方法适用于通信级别的信号校正。杨殿阁等提出了非线性时间映射法，通过建立声场的运动学关系，在时域对多普勒效应进行消除。然而该方法在建立运动学关系时需要诸多预知参数，其适用范围受到限制。张海滨等提出一种基于伪时频分析的方法，对信号的时间中心和特征频率进行估计，进而实现对多普勒信号的校正，但这种方法运算量较大。张翱等提出运用能量重心法来对瞬时频率进行估计，然后对多普勒信号进行校正，但这种方法在噪声大时提取瞬时频率非常困难，参数估计也会因此产生较大偏差。
为了增强在多普勒校正过程中对噪声的鲁棒性，减少在信号处理过程中的谱泄露。本文提出一种基于回归离散傅里叶级数的多普勒校正方法。该方法首先对麦克风采集到的信号进行幅值校正：然后对幅值校正后的信号进行时间变换：最后通过回归离散傅里叶级数进行非线性拟合，并用Tihonov正则化逆求解直接得到校正后的信号频谱。
1车辆的道旁声学运动学模型
车辆道旁声学运动学模型如图1所示。被测车辆轴承声源在t=0时刻从相距麦克风水平距离S处出发，相对于空气介质以速度V沿图示方向运动。现对麦克风测得的声源由A到C之间的信号进行分析。由于车辆车速较高，被研究的信号时间较短，可将A到C的a车辆轴承声源速度V近似视为恒定的。
假设声源在tr时刻到达B点，此时声源振幅为p.声源与麦克风距离为r.该声信号经过dt=R/c（c为声音在空气中的传播速度）时间到达麦克风0点，到达时刻为：
在车辆速度为亚声速的情况下，考虑车辆轴承声源为单级子点声源，并且传播介质为理想流体，即不存在粘滞性，没有能量损耗。根据莫尔斯声学理论，从波动方程和运动关系出发可以推导出以下公式：
其中：P为麦克风处采集到的声压;q为单极子点声源质量总流率;q’=eq/et.t为运行时刻;Y为声源运动直线与麦克风的垂直距离：R为发声时刻声源与麦克风的距离;c为声音在空气中的传播速度：θ为发声时刻声源和麦克风连线与声源运动方向之间的夹角;V为声源的速度，M=V/c为马赫数。式中第二项为小项，可忽略不计。因此，麦克风接收到的声压为：
式（8）中A为因声源相对麦克风运动而产生的声压幅值调制函数，式（9）中B表示当声源静止在距离声源Y处的声压函数。R/c表示声波从声源处传播到麦克风需要的时间。
2回归离散傅里叶级数（RDFS）
回归离散傅里叶级数（RDFS）拟合方法能够用来处理非均匀的离散数据。相比于经典离散傅里叶变换的方法，回归方法在处理间隔数据中能够降低谱泄露。
回归离散傅里叶级数拟合方法运用最小二乘的方法，将通用的离散傅里叶模型用来拟合非均匀的间隔数据。其表达式为：
式（10）中，p为离散傅里叶级数的频率线;Wnk为系数矩阵;Xk为待求矩阵;εn是实际工况中无法消除的噪声扰动项。式（11）中，ψ为离散傅里叶级数的周期。
3基于RDFS的多普勒校正方法
Tihonov正则化是为了求解反问题的一种逼近方法，这些反问题无法或者难以求得精确解。因此，通过施加约束，使得问题在约束条件下允许O误差内可求解。本文通过L曲线来平衡约束值带来的放大误差，以及近似解与精确解的误差来获取适合的参数值。
Tihonov正则化方法是针对不确定问题提出的，针对公式（11），定义Tihonov泛函数：
式中：ui和vi;分别表示矩阵W的左奇异向量和右奇异向量：σ为矩阵W经奇异值分解后的奇异值：正则化参数α通常在[σr，σ1]之間选取，且α的选取直接关系到正则解xα与精确解X的近似程度。
设麦克风采集到的信号数据为（ts，xs），经幅值解调后的信号为（ts，xr）。而麦克风在t.时刻采集到的信号是由声源在t.时刻发出的，因此再将经幅值解调后的信号转换为（tr，xr），从而得到一组非线性的数据。本文多普勒校正方法的关键在于通过这组非线性的数据直接求得多普勒信号校正的频谱。通过回归离散傅里叶变换将非线性数据进行拟合，最后通过Tihonov正则化进行逆求解直接得到校正频谱。 对麦克风接收到的信号进行多普勒校正分为四个步骤：麦克风信号的幅值校正：经幅值校正后信号的时间还原：基于回归离散傅里叶级数的非线性拟合;基于Tihonov正则化的校正频谱逆求解。本文提出方法的流程如图2所示。首先运用道旁运动学模型推导的幅值调制参数对麦克风信号进行幅值解调，再将采样时间变换为声源发声时间，从而得到一组离散的非线性数据序列，运用离散回归傅里叶级数对其进行非线性拟合并利用Tihonov正则化求解，可得到去除了多普勒效应的信号频谱。
4仿真分析
4.1仿真信号
为了使多普勒畸变效果更突出，本文采用3个频率相近的信号（f1=700Hz.f2=800Hz.f3=900Hz）进行仿真。仿真t=0时刻从相距麦克风水平距离S=10m.麦克风到声源垂直距离Y=2m.声速c=340m/s.声源运动速度v=20m/s.采样频率为5kHz。
4.2仿真结果分析
仿真信号的时域图如图3所示。从图中可以看出幅值随声源运动时间先增大后减小。图4（a）为仿真信号频谱图，可以看出带有多普勒效应的仿真信号频率分布在600Hz至1000Hz之间，其主要频宽△f=288Hz。由图4（b）原始信号STFT时频谱也可看出，原始信号的频率偏移以及频带展拓。因此，仿真信号发生了多普勒畸变。首先对仿真信号进行幅值还原，再将信号均匀收声时间序列变换为非均匀发声时间序列，对由非均匀发声时间序列和幅值还原后的幅值序列构成的信号进行回归离散傅里叶级数非线性拟合，最后利用Tihonov正则化求解，得到校正信号的频谱以及STFT时频谱，如图4（c）和图4（d）所示。从图4（c）可以看到频率偏移以及频带展拓已经消失。从图4（d）可以看到在频率700Hz、800Hz、900Hz处分别出现了一条固定不变的频带。因此，利用本文方法可以消除多普勒效应对原始信号的影响。由表1可以看出，频率700Hz的相对误差为0.014%;频率800Hz的相对误差为0.013%：频率900Hz的相对误差为0%：相对误差相对都很小，从而验证了本方法的可行性。相比于时域插值重采样的方法，本文的方法能够在对多普勒信号校正后直接得出校正后的频谱，而不需要通過校正后的时域信号得到频谱。
5试验验证
为进一步有效验证本方法的可行性，本文对车辆滚动轴承内圈故障信号进行试验验证。轴承型号为SKF6016.其相关参数如表2所示。图5（a）为静态轴承故障实验台，图5（b）为扬声器放置位置。轴承在2N的负载下，设置电机转速为158r/rain（对应实验车辆48km/h的车速）产生声音信号。动态试验使用型号为INV3060V的数据采集设备，采集软件为DASP-V10.采样频率为10.24kHz。实验将扬声器固定在移动的汽车上，麦克风与汽车行驶直线的垂直距离为1.5m.汽车以恒定V=48km/h速度行驶，用固定的麦克风采集扬声器产生的声音信号。图6为动态试验现场图，
本文分析麦克风采集信号中心时刻前后0.6s的信号。根据轴承故障特征频率计算公式，求得内圈故障特征频率理论值为20.97Hz。由于内圈故障特征频率理论值较小，因此本文只分析信号频率范围为[0.100Hz]。
图7为采集到的内圈故障信号。图7（a）为故障信号时域图，图7（b）为故障信号频域图，图7（c）为故障信号时频图。由图7可以看出信号发生了多普勒畸变。在图7（b）中可以观察出在内圈特征频率20.97Hz附近出现了△f=1.96Hz的频带展拓。
通过本文校正方法进行校正，由图8（a）可以观察到校正后信号的频谱图中出现了内圈故障特征频率fo=20.94Hz.与理论值20.97Hz很接近;图8（b）校正信号时频图也可看出信号的多普勒效应已被有效去除。试验结果表明了本文方法的有效性。
6结束语
本文提出了一种基于回归离散傅里叶级数的车辆轴承多普勒信号校正方法。首先对仿真结果分析，从校正后的频域图可以看到频率偏移以及频带展拓已经消失。通过试验证明，校正后信号的频谱图中出现了内圈故障特征频率fo=20.94Hz.与理论值20.97Hz很接近。因此仿真和试验表明该方法完全可以运用于车辆轴承多普勒信号的校正中，且能对多普勒信号有效校正。