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德国哲学家黑格尔认为：“数学是科学的大门和钥匙。”信息时代的来临，极大地推动了数学知识的广泛使用，它已成为人们拓展科学领域不可或缺的工具。“代数繁、几何难、三角公式多”已成为不争的事实，也折射出学生对高中数学学习的无耐。如何提高数学学习效果？是我们数学教育工作者共同面临的问题。
一、数学难点的成因探析
教学难点指学生不易理解、难以掌握的知识和技能，导致练习时出错率较高。难点产生的原因主要有：
1.来自教材方面的原因。模块内容划分的不合理，导致知识的连续性受到破坏，如将“平面向量”置于“三角函数”与“三角恒等变换”内容之间，导致学生恒等变换困难。立体几何、函数、极限等内容具有高度的抽象性，教材因受篇幅的限制，以结论来展开阐述，忽视了知识的发展变化过程，学生学起来感到突兀，以致理解困难。
2.来自教师方面的原因。部分教师教学思想陈旧、教学方法单一，忽视了自身的专业化成长，缺乏过硬的专业知识和扎实的基本技能，不去分析学情，不能精准地把握、巧妙地转换教学难点。教师教学方法不当，机械地灌输教学内容，忽视分层教学和小组合作，对学生要求过高，影响了学生对知识的理解。
3.来自学生本身的原因。由于学生的学习基础差、认知结构不够完善、达不到教学内容所需的思维能力，导致其没有办法正确地理解新知识；或缺乏信心，缺少毅力，稍有点困难就退缩不前，久而久之，导致自身学习困难。
二、认知偏差产生的原因
认知偏差是人对客观事件的属性及其具有的规律或虚假现象产生的一些不切实际、不全面的主观反应，从而出现判断失误。教师在教学活动中，往往会对学生产生诸如首轮效应、光环效应、近因效应等认知偏差；学生在学习活动中也会因主观上的个人倾向、情境产生一些非理性的认识，导致学生在教学活动中对某个数学难点的理解不够全面，或者不正确。
三、认知偏差产生解题错误分析
1.概念理解不透彻。数学概念是人们对现实世界的数量关系和空间形式的本质反应，它是学生掌握运算技能、提高逻辑推理能力和培养空间想象能力的前提和基础。由于部分高中生对数学概念理解不清，导致判断失误，产生顾此失彼的现象；或没有掌握性质，做题找不到准确的方法与技巧。
分析：偶函数的定义为：对定义域内任意一个x，都有f（x）=f（-x），那么函数f（x）就叫做偶函数，它是关于y轴对称的，同样奇偶数是关于原点对称的。而在本题中，函数f（x）有意义，必须满足■？叟0，函数的定义域为{x|-1？燮x<1}。由于定义域不关于原点和y轴对称，因而此函数既不是奇函数也不是偶函数。教师要引导学生从错题入手，进一步研究基本概念，理解概念的内涵，厘清概念间的关系。
2.忽略了题目的隐含条件。“明枪易躲，暗箭难防。”所谓“暗箭”就是解题中的隐含条件，它是指数学问题中若明若暗、隐而不露的已知条件，由于其极其隐蔽，或藏于函数的定义域与值域中，或隐于图形的特殊位置，往往为学生所忽视，导致学生纷纷“中箭”，产生认知偏差。
分析：学生在解题时往往根据条件推导结论y≠1，而忽视了指数函数的值域y>0这个隐含条件，导致答案的不完整。教师在教学中要引导学生全面考虑定义与性质，从概念中挖掘隐含条件；或严谨分析求证的结论，从推理中充分挖掘隐含条件。
3.忽视了结论的唯一性。有些数学问题的结论不是能唯一确定的，我们如果把它归为统一的形式加以研究，就忽视了数学学科的严密性，导致结论的不完整。我们要根据题目的特点，采用分类讨论的方法，将问题分成若干个小问题加以解决，逐一突破，寻求问题的结论。
如：已知直线l经过直线l1：2x+y-9=0与直线l2：x-4y=0的交点，若点A（2，0）到直线l的距离为2，求直线的方程。
错解：由方程组2x+y-9=0x-4y=0
得直线l1与l2的交点P（4，1），设直线l的斜率为k，则直线方程为y-1=k（x-4）
分析：过平面上的一点的直线常用点斜式来求解，但其使用条件是此直线必须存在斜率，因此除此解法外，还要分类讨论不存在斜率的情况下是否满足条件。当直线的斜率不存在时，由已知直线l过点P（4，1）且垂直于x轴，故直线方程为x=4，此时也满足点A（2，0）到直线的距离为2。因此直线x=4符合题意。因此直线的方程为x=4或3x+4y-16=0。教师要进行针对性的训练，培养学生的思维的慎密性和深刻性，解决由考虑不周而导致的认知偏差产生的错误。
4.三角函数公式产生混淆。三角函数的诱导公式繁多且符号易于变化，如果教师在授课过程中对诱导公式的来龙去脉讲述不清，不采取有效的策略帮助学生记忆，只要求学生死记硬背、机械记忆，往往会导致学生产生认知偏差，应用混淆不清。
分析：学生对三角函数的诱导公式记忆错误，cos（π-α）=-cosα，正确的结果应该是-■。著名数学家华罗庚认为：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”客观世界的图形和数量之间存在着千丝万缕的联系，数形结合能达到以形助数、以数解形的目的。教师在讲解三角函数诱导公式时，一方面要结合三角函数的背景，借助于平面直角坐标系与圆来理解记忆；另一方面也可借助于口诀“奇变偶不变，符号看象限”来理解，所谓“象限”就是要记住不同象限角的函数值符号为正的情况，即“一全正，二正弦，三正余切，是余弦”。
由于学生对概念和性质的理解、对公式和定理的应用产生偏差，导致解题出错。我们数学教师要针对学生的错题分析学生的认知偏差的成因，采取有效的记忆方法和针对性的训练，提高学生的解题能力。
（作者单位：江苏省南通市海安县实验中学）
一、数学难点的成因探析
教学难点指学生不易理解、难以掌握的知识和技能，导致练习时出错率较高。难点产生的原因主要有：
1.来自教材方面的原因。模块内容划分的不合理，导致知识的连续性受到破坏，如将“平面向量”置于“三角函数”与“三角恒等变换”内容之间，导致学生恒等变换困难。立体几何、函数、极限等内容具有高度的抽象性，教材因受篇幅的限制，以结论来展开阐述，忽视了知识的发展变化过程，学生学起来感到突兀，以致理解困难。
2.来自教师方面的原因。部分教师教学思想陈旧、教学方法单一，忽视了自身的专业化成长，缺乏过硬的专业知识和扎实的基本技能，不去分析学情，不能精准地把握、巧妙地转换教学难点。教师教学方法不当，机械地灌输教学内容，忽视分层教学和小组合作，对学生要求过高，影响了学生对知识的理解。
3.来自学生本身的原因。由于学生的学习基础差、认知结构不够完善、达不到教学内容所需的思维能力，导致其没有办法正确地理解新知识；或缺乏信心，缺少毅力，稍有点困难就退缩不前，久而久之，导致自身学习困难。
二、认知偏差产生的原因
认知偏差是人对客观事件的属性及其具有的规律或虚假现象产生的一些不切实际、不全面的主观反应，从而出现判断失误。教师在教学活动中，往往会对学生产生诸如首轮效应、光环效应、近因效应等认知偏差；学生在学习活动中也会因主观上的个人倾向、情境产生一些非理性的认识，导致学生在教学活动中对某个数学难点的理解不够全面，或者不正确。
三、认知偏差产生解题错误分析
1.概念理解不透彻。数学概念是人们对现实世界的数量关系和空间形式的本质反应，它是学生掌握运算技能、提高逻辑推理能力和培养空间想象能力的前提和基础。由于部分高中生对数学概念理解不清，导致判断失误，产生顾此失彼的现象；或没有掌握性质，做题找不到准确的方法与技巧。
分析：偶函数的定义为：对定义域内任意一个x，都有f（x）=f（-x），那么函数f（x）就叫做偶函数，它是关于y轴对称的，同样奇偶数是关于原点对称的。而在本题中，函数f（x）有意义，必须满足■？叟0，函数的定义域为{x|-1？燮x<1}。由于定义域不关于原点和y轴对称，因而此函数既不是奇函数也不是偶函数。教师要引导学生从错题入手，进一步研究基本概念，理解概念的内涵，厘清概念间的关系。
2.忽略了题目的隐含条件。“明枪易躲，暗箭难防。”所谓“暗箭”就是解题中的隐含条件，它是指数学问题中若明若暗、隐而不露的已知条件，由于其极其隐蔽，或藏于函数的定义域与值域中，或隐于图形的特殊位置，往往为学生所忽视，导致学生纷纷“中箭”，产生认知偏差。
分析：学生在解题时往往根据条件推导结论y≠1，而忽视了指数函数的值域y>0这个隐含条件，导致答案的不完整。教师在教学中要引导学生全面考虑定义与性质，从概念中挖掘隐含条件；或严谨分析求证的结论，从推理中充分挖掘隐含条件。
3.忽视了结论的唯一性。有些数学问题的结论不是能唯一确定的，我们如果把它归为统一的形式加以研究，就忽视了数学学科的严密性，导致结论的不完整。我们要根据题目的特点，采用分类讨论的方法，将问题分成若干个小问题加以解决，逐一突破，寻求问题的结论。
如：已知直线l经过直线l1：2x+y-9=0与直线l2：x-4y=0的交点，若点A（2，0）到直线l的距离为2，求直线的方程。
错解：由方程组2x+y-9=0x-4y=0
得直线l1与l2的交点P（4，1），设直线l的斜率为k，则直线方程为y-1=k（x-4）
分析：过平面上的一点的直线常用点斜式来求解，但其使用条件是此直线必须存在斜率，因此除此解法外，还要分类讨论不存在斜率的情况下是否满足条件。当直线的斜率不存在时，由已知直线l过点P（4，1）且垂直于x轴，故直线方程为x=4，此时也满足点A（2，0）到直线的距离为2。因此直线x=4符合题意。因此直线的方程为x=4或3x+4y-16=0。教师要进行针对性的训练，培养学生的思维的慎密性和深刻性，解决由考虑不周而导致的认知偏差产生的错误。
4.三角函数公式产生混淆。三角函数的诱导公式繁多且符号易于变化，如果教师在授课过程中对诱导公式的来龙去脉讲述不清，不采取有效的策略帮助学生记忆，只要求学生死记硬背、机械记忆，往往会导致学生产生认知偏差，应用混淆不清。
分析：学生对三角函数的诱导公式记忆错误，cos（π-α）=-cosα，正确的结果应该是-■。著名数学家华罗庚认为：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”客观世界的图形和数量之间存在着千丝万缕的联系，数形结合能达到以形助数、以数解形的目的。教师在讲解三角函数诱导公式时，一方面要结合三角函数的背景，借助于平面直角坐标系与圆来理解记忆；另一方面也可借助于口诀“奇变偶不变，符号看象限”来理解，所谓“象限”就是要记住不同象限角的函数值符号为正的情况，即“一全正，二正弦，三正余切，是余弦”。
由于学生对概念和性质的理解、对公式和定理的应用产生偏差，导致解题出错。我们数学教师要针对学生的错题分析学生的认知偏差的成因，采取有效的记忆方法和针对性的训练，提高学生的解题能力。
（作者单位：江苏省南通市海安县实验中学）