谈解析几何解答题运算的张弛

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  摘要:解析几何解答题的特点是思路往往明晰、计算充斥繁复,“会而不对、对而不全”是学生的一贯状态。数学想拿高分,此题是必须要攻克的堡垒,故学生对其是又爱又恨。本文尝试从面对的心理、训练的方法、计算的技巧等几个层面进行剖析,以期实现破局。
  关键词:张弛;保三争二;心理预期;强化训练;等量代换;算理;架构
  中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2017)04-0100
  自从浙江省高考数学试卷的解答题从六道缩减成五道后,我们一直倡导的答题策略是“保三争二”:要确保前三个解答题必须全对,后两题一定要达到温饱线,争取到达小康线。而解析几何位列第四题,是属于争取的范畴。
  岂料,2015年浙江省高考数学试卷却放了一支冷箭:第三大题变成了二次函数加绝对值问题。这是一种新的题型,当年全省(乃至全国)各地这么多联考、高考试卷里都没有出现此类题目,是陌生题,学生做得差实属正常。即便从去年下半年开始到现在,我们不断地进行强化,但因其可变性实在是大,学生很难掌控,训练效果仍然不令人满意。
  相较而言,第四题的解析几何题,程序化强,操控性好,于是我们便把目光聚焦到了这里。那么,把第四题作为“保三”题之一,是否真的就可以放心了呢?绝对不是!选择它纯属无奈,仅仅是因为与第三题比,它的解题思路更容易发现而已。可是,学生做解析几何题,有一个致命软肋——运算能力差。
  平面解析几何是解析化的平面几何,即用坐标的方式来研究和解决平面几何问题。尽管仍属几何,但更突出了纯代数运算,并且大都是字母的运算。纵观历年全国各地高考、联考试卷中的解析几何大题,运算量都不小,“越算越繁”是其标签,“会而不对”是其常态,“对而不全”是其结局。
  尤其是近几年的浙江卷,繁复程度不一般,成为学生做之不易、丢之不舍的一个大题,真是“看上去很美,想说爱你不容易”。请看2015年的考题:
  【示例】(2015·浙江·理19)已知椭圆■ y2=1上两个不同的点A、B关于直线y=mx ■对称。
  (1)求实数m的取值范围;
  (2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)。
  解:(1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-■x b.
  由■ y2=1y=-■x b,消去y,得(■ ■)x2-■x b2-1=0
  ∵直线与椭圆有两个不同的交点,∴Δ=-2b2 2 ■≥0 ①
  将AB中点M(■,■)代入直线方程y=mx ■,得b=-■ ②
  由①②得:m<-■或m>■
  (2)由(1)得x1 x2=■,x1x2=■,令t=■∈(-■,0)∪(0,■),
  则AB=■x1-x2=■■=■·■,且O到直线AB的距离为d=■.
  设△AOB的面积为S(t),则S(t)=■AB·d=■■ 2≤■,当且仅当t2=■时,等号成立.
  故△AOB面积的最大值为■.
  上述解题过程中,如果不把■换元成t,运算将更繁琐;并且已经作了一定量的删减,倘若原原本本写出来,篇幅会更长。
  面对这种无从改变、无法左右的残酷现实,我们应该怎么做呢?
  首先,要让学生有客观正确的心理预期。
  平时教学中,要不断宣传与灌输这种思想:解析几何大题就是考查运算能力的,所以运算复杂是肯定的,运算量大是肯定的。改变能够改变的,适应无法改变的,在心里真正接受这个事实,而不是排斥和抗拒它。总是说“太繁了”“繁死了”,这种消极的心理暗示,不仅于事无补,还会适得其反。相反,应该让学生养成“遇繁则繁,我不怕繁”的良好心态,去面对解析几何大题。
  其次,要对学生进行有针对性的运算训练。
  學生的运算能力,不是我们嘴巴讲讲就能提高的,也不是他们看看板书就能提高的,是需要他们自己一题一题、一天一天训练出来的。所以,无论是上课的例子,还是课后的作业,除了运算量一般的题目外,一定还要选择部分运算特别复杂的题给他们做,做到烦了也得做,做到吐了也得做。只有草稿纸一张一张用去,运算能力才会一点一点提升,别无他法,没有捷径。
  同时要经常给学生讲讲解析几何题的评分标准,使他们明了联考、高考应该怎样去有效得分。这样做,有利于促进他们书写的规范,更能激发他们运算下去的兴趣、勇气和动力。
  再次,要教给学生一些常用的运算技巧。
  众所周知,所有的运算都是有“算理”的。不是说自己拥有强大的运算能力,就每个题目都去做繁杂的运算。硬碰硬,这不是上策。总有这样的题目,使用一些运算技巧后,解题过程会变得灵动无比。所以,我们要灵活对待,删去繁复,留下清简,裁去冗长,留下素淡,虽篇幅不长,却生动传神,让学生看了,不能相忘。比如:
  1. 熟记一些特殊的结论
  【例1】已知椭圆C1:■ ■=1(a>0)与抛物线C2:y2=2ax相交于A、B两点,且两曲线的焦点F重合。
  (1)求C1、C2的方程;
  (2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M、Q两点,与抛物线分别交于P、N两点,是否存在斜率为k(k≠0)的直线l,使■=2?若存在,求出k的值。
  略解:(2)由y2=4xy=k(x-1)得k2x2-(2k2 4)x k2=0,x1 x4=■,
  x1 x4=1,∴PN=■·■=■.
  由■ ■=1y=k(x-1),得(3 4k2)x2-8k2x 4k2-12=0,则x2 x3=■,
  x2 x3=■,∴MQ=■·■=■。
  若■=2,则■=2×■,解得k=±■。
  【评注】这是一道随堂练,比较基础,学生都会做。以上是大部分学生采用的解法。我们知道:弦长公式的使用是导致解析几何题运算量增加的一个主因,而上面的解答竟然还用了两次弦长公式,肯定不是最优的解法。那么,应该怎样简化计算呢?由题意可知,两条弦都是焦点弦,是较为特殊的弦,直接利用焦点弦的长度计算公式:PN=x1 x2 p、MQ=3a e(x1 x2)。这样求解,关于弦长的代数式中既没有根号,也没有二次,明显要简洁明快得多。在平时的教学中,有意识地指导学生多记忆一些教材中没有出现,却很实用的公式和结论,用于解题,提高效率。   2. 使用一些重要的计算方法
  【例2】已知椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为■且经过点(1,■)。
  (1)求椭圆C的标准方程;
  (2)线段PQ是椭圆过点F2的弦,且■=λ■,求△PF1Q内切圆面积最大时实数λ的值。
  略解:(2)将直线的方程代入椭圆方程得:
  (3m2 4)y2 6my-9=0,y1 y2=■,y1y2=■。
  ∴S△=y1-y2=■=■,令■=t(t≥1),
  则S△=■=■∈(0,3],当t=1,即m=0时取到最大.
  设△PF1Q内切圆半径为r,则S△PF1Q=■(PF1 QF1 PQ1)·r=4r≤3
  即rmax=■,此时直线PQ与x轴垂直,∴■=λ■,∴λ=1。
  【评注】此题颇具难度,当时是选作课内的例题。①题中的内切圆方程是无法求出来的,要计算内切圆面积的最大值,势必得转化为求△PF1Q面积的最大值;②如果用底乘高来求PF1Q的面积,需要用到弦长公式、点线距公式,不如用分割法巧妙;③倘若直线PQ的方程设为点斜式,则应分斜率存在、斜率不存在两种情况进行讨论,现在设成x=my 1,可有效避免分类讨论;④△PF1Q面积表示式是比较繁的,直接求最大值无疑困难重重,通过换元,整个架构变得清晰起来:是一个“耐克函数”,求最大值就轻而易举了。
  上述求解,集众多重要的思想方法于一身,才使解题过程如此简洁完美,否则或无从下手,或解不出来,都将功亏一篑。
  3. 进行一些等量代换
  【例3】抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线上一定点Q(1,2)。
  (1)求抛物线C的方程及准线l的方程;
  (2)过焦点F的直线(不过点Q)与抛物线交于A、B两点,与准线l交于点M,记QA、QB、QM的斜率分别为k1、k2、k3,问是否存在常数λ,使得k1 k2=λk3成立。若存在λ,求出λ的值。
  【分析】(2)可知M(-1,-2k),Q(1,2),
  ∴k3=■=k 1.又k1=■,k2=■,
  ∴k1 k2=■ ■=■
  上式的分母已经可以直接用韦达定理代入了,分子则不行,其中的每一个都要用y1=k(x1 1)代入,再展开,整理成x1 x2、x1x2后,再用韦达定理。看到这里,你还有继续算下去的勇敢的心吗?你还有继续算下去的毅力和能力吗?无怪乎当时上交的作业中,有些学生的计算就到此为止了。现在让我们转换一下思维,请看:
  k1 k2=■ ■=■ ■-■
  =2k-■=2k 2
  ∴存在常数λ=2,使得k1 k2=λk3成立.
  首先对两个分式同时实施“分离常数”,再利用四点共线时斜率两两相等进行等量代换,轻松消去yi,只剩下xi,计算就简便许多。
  诚然,计算的技巧远不只此,限于篇幅,不作一一赘述。
  总之,笔者愿通过这篇拙文,与大家一起探讨、交流,试图解决学生在解析几何题上以怎样的心态面对,以怎样的方式训练,以怎样的方法简化。多管齐下,遇繁则繁,能简则简,两手都要抓,两手都要硬,使解析几何题能够成为学生稳稳拿高分,甚至拿满分的一道大题,为数学考出高分奠定扎实的基礎。
  倘若真能如此,足矣。
  (作者单位:浙江省金华市磐安中学 322300)
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