论文部分内容阅读
[摘 要]教学“植树问题”时，创设开放问题，以核心模型“只种一端”为抓手，凸显间隔数与棵数的一一对应，进而沟通各模型间内在的变化与联系，让学生打破原有的思维模式，重建新的知识体系。在这个过程中，学生对原有的解题策略进行了一次全新的扩充，整体建构“植树问题”的数学模型。
[关键词]数学模型;植树问题;应用意识
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2020）35-0061-03
【教学内容】人教版教材五年级上册“数学广角：植树問题”
【教学目标】
1.通过探究、实践等数学活动，理解并掌握植树问题的三种情况及其植树棵数与间隔数之间的关系，能正确解决植树问题。
2.经历植树过程并推广到生活中的类似问题，掌握解决植树问题的多种策略，渗透一一对应、化曲为直等数学思想方法，提高应用数学解决实际问题的能力。
3.经历探究、类比、迁移等活动过程，体验学习成功的乐趣，感悟数学学习的价值，形成学数学、用数学的意识。
【教学实践】
一、谈话：在生活情境中理解“间隔”
师：在数学王国里，植树可是大有学问的。这节课，我们就一起用数学的眼光来探讨“植树问题”。我们在种树过程中，是不是这里一棵、那里一棵的随便乱种呢？
生：不是！一般情况下，每两棵树之间的距离都是相等的。
师：是的，每两棵树之间的距离在数学上有一个专属名词，叫作“间隔”。接下来，我们就按这样的方法来种树。
【设计意图：点题形式的开门见山，拉近数学课堂与生活现实的距离。在生活情境中解读“间隔”，扫除学生的理解障碍，避免学生在下一步解决问题过程中产生认知偏差。】
二、探究：在多重体悟中建构模型
1.自主探究，解决“植树问题”
出示：学校有一条长20米的小路，打算在小路的一边种树，按照每隔5米种1棵的要求，你觉得可能会种几棵？
师：要解决“可能会种几棵”这个问题，首先要明确哪几个信息？
生1：长20米的小路，每隔5米种1棵。
生2：在小路的一边。
师：是的。这里的每隔5米种1棵，就是之前我们理解的“间隔长”。请独立思考，并把你的思考方法在本子上用算式或者线段图的方式表示出来。（学生尝试，教师巡视）
2.反馈交流，凸显“只种一端”
师：在长20米的小路一边种了几棵树？
生3：我种了4棵。
生4：我种了5棵。
师：现在出现了两种方案，分别是4棵和5棵。
生5：按照每隔5米种1棵的要求，也就是说间隔长是5米，20÷5=4（棵）。
师：那按照生5的方法来种树，请看大屏幕。
师：第1个5米种第一棵，第2个5米种第二棵，第3个5米种第三棵，第4个5米种第四棵。你们也是这样想的吗？
生6：我觉得起点还要种1棵，应该是种5棵。
师：生6说应该是种5棵，生5有什么想法吗？
生5：问题中说“你觉得可能会种几棵”，那生活中也有可能起点处不种的。
师：现实生活中，什么时候起点处是不种的？
生5：有障碍物的时候，假如起点处是教学楼，就没法种了。
生6：起点处不能种了，这样就只能是种4棵。
师：像这样，起点或终点处有障碍物的，就把这种植树情况叫作只种一端。只种一端时，间隔数和棵数之间有什么关系呢？
生7：只种一端时，间隔数=棵数。
师：是的。只种一端时，1个间隔对应着1棵树，这样的关系在数学上叫作一一对应。
【设计意图：充分利用问题资源，以“可能”引发思维，以“可能”提升思维。以核心模型“只种一端”为抓手，凸显间隔数与棵数的一一对应，为进一步沟通各模型间内在的变化与联系做好孕伏。】
3. 类比迁移，探究“多元植树”
师：刚才我们研究了“只种一端”的植树情况，还可以怎样植树？
生8：我是种5棵的，用线段图表示，就是在前面起点处再种上1棵。
师：这位同学把每两棵树之间的间隔都标出来了，真棒！两端都要种，应该怎样列算式？
生8：20÷5 1=5（棵）。
师：20除以5的商再加1，这里的商是指什么？
生8：商4表示有4个间隔，每个间隔对应一棵树。
师：是啊！每个间隔都与1棵树对应，4个间隔就对应4棵树，为什么要加1呢？
生8：因为现在是两端都要种，我们要加上起点或终点处的那1棵，所以一共种5棵。
师：两端都种时，间隔数与棵数之间又有怎样的关系？
生9：两端都种，间隔数 1=棵数。
生10：如果两端都有障碍物，是不是可以理解为“两端不种”？
师：其他同学认为呢？
生11：两端不种，就是不但起点的1棵不种，终点的1棵也不种。因此，间隔数-1=棵数，列式是20÷5-1=3（棵）。
师：看来大家思维大爆发。在一条20米长的小路上，每隔5米种1棵树，我们研究出了几种方案？它们又有什么异同？
【设计意图：把三种情况整合在一个开放的问题情境中，放在一起让学生辨析，学生发散了思维，拓宽了思路，使得数学思想方法真正得以渗透，整体建构起“植树问题”的数学模型。】
4.深入探究，在变中找关联
师：对于“在一条长20米的小路一边植树”，还有不同的想法吗？
生12：我有个疑问，题目中并没有说明这条路是一条笔直的线段，难道这条路不可以是一个封闭图形吗？比如说，围成一个圈。 师：你的思考太有价值了！现实中，这条路完全有可能是一个封闭图形！比如，圆形草坪的外面有一条小路，周长是20米，这时该怎么植树呢？
生13：20÷5=4（棵），我是通过画图得到的。
师：在圆形草坪周围植树，间隔数和棵数有什么关系？
生14：间隔数=棵数。只要把圆形草坪外的小路展开，得到一条线段，就很清楚了。
师：可以看到，起点和终点正好重合了，也就是“只种一端”。
（课件演示;师生张开双臂模拟）
师：通过刚才的研究，我们发现在圆形草坪周围植树，棵数正好等于间隔数。那么，其他封闭图形是不是也存在这样的规律呢？比如，正方形、椭圆形、五边形……
生15：所有的封闭图形都可以像圆一样，只要断开后拉直，就得到一条线段。而这个断开的点既是线段的起点，也是线段的终点。
生16：在封闭图形中植树，与在一条线段上只种一端的植树相同，棵数正好等于间隔数。
师：对！“封闭图形中的植树问题”就相当于“在一条线段上植树”的“只种一端”。在这里，什么相当于路长？
生17：周长相当于路长。
强化板书：
（1）只種一端
[关键词]数学模型;植树问题;应用意识
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2020）35-0061-03
【教学内容】人教版教材五年级上册“数学广角：植树問题”
【教学目标】
1.通过探究、实践等数学活动，理解并掌握植树问题的三种情况及其植树棵数与间隔数之间的关系，能正确解决植树问题。
2.经历植树过程并推广到生活中的类似问题，掌握解决植树问题的多种策略，渗透一一对应、化曲为直等数学思想方法，提高应用数学解决实际问题的能力。
3.经历探究、类比、迁移等活动过程，体验学习成功的乐趣，感悟数学学习的价值，形成学数学、用数学的意识。
【教学实践】
一、谈话：在生活情境中理解“间隔”
师：在数学王国里，植树可是大有学问的。这节课，我们就一起用数学的眼光来探讨“植树问题”。我们在种树过程中，是不是这里一棵、那里一棵的随便乱种呢？
生：不是！一般情况下，每两棵树之间的距离都是相等的。
师：是的，每两棵树之间的距离在数学上有一个专属名词，叫作“间隔”。接下来，我们就按这样的方法来种树。
【设计意图：点题形式的开门见山，拉近数学课堂与生活现实的距离。在生活情境中解读“间隔”，扫除学生的理解障碍，避免学生在下一步解决问题过程中产生认知偏差。】
二、探究：在多重体悟中建构模型
1.自主探究，解决“植树问题”
出示：学校有一条长20米的小路，打算在小路的一边种树，按照每隔5米种1棵的要求，你觉得可能会种几棵？
师：要解决“可能会种几棵”这个问题，首先要明确哪几个信息？
生1：长20米的小路，每隔5米种1棵。
生2：在小路的一边。
师：是的。这里的每隔5米种1棵，就是之前我们理解的“间隔长”。请独立思考，并把你的思考方法在本子上用算式或者线段图的方式表示出来。（学生尝试，教师巡视）
2.反馈交流，凸显“只种一端”
师：在长20米的小路一边种了几棵树？
生3：我种了4棵。
生4：我种了5棵。
师：现在出现了两种方案，分别是4棵和5棵。
生5：按照每隔5米种1棵的要求，也就是说间隔长是5米，20÷5=4（棵）。
师：那按照生5的方法来种树，请看大屏幕。
师：第1个5米种第一棵，第2个5米种第二棵，第3个5米种第三棵，第4个5米种第四棵。你们也是这样想的吗？
生6：我觉得起点还要种1棵，应该是种5棵。
师：生6说应该是种5棵，生5有什么想法吗？
生5：问题中说“你觉得可能会种几棵”，那生活中也有可能起点处不种的。
师：现实生活中，什么时候起点处是不种的？
生5：有障碍物的时候，假如起点处是教学楼，就没法种了。
生6：起点处不能种了，这样就只能是种4棵。
师：像这样，起点或终点处有障碍物的，就把这种植树情况叫作只种一端。只种一端时，间隔数和棵数之间有什么关系呢？
生7：只种一端时，间隔数=棵数。
师：是的。只种一端时，1个间隔对应着1棵树，这样的关系在数学上叫作一一对应。
【设计意图：充分利用问题资源，以“可能”引发思维，以“可能”提升思维。以核心模型“只种一端”为抓手，凸显间隔数与棵数的一一对应，为进一步沟通各模型间内在的变化与联系做好孕伏。】
3. 类比迁移，探究“多元植树”
师：刚才我们研究了“只种一端”的植树情况，还可以怎样植树？
生8：我是种5棵的，用线段图表示，就是在前面起点处再种上1棵。
师：这位同学把每两棵树之间的间隔都标出来了，真棒！两端都要种，应该怎样列算式？
生8：20÷5 1=5（棵）。
师：20除以5的商再加1，这里的商是指什么？
生8：商4表示有4个间隔，每个间隔对应一棵树。
师：是啊！每个间隔都与1棵树对应，4个间隔就对应4棵树，为什么要加1呢？
生8：因为现在是两端都要种，我们要加上起点或终点处的那1棵，所以一共种5棵。
师：两端都种时，间隔数与棵数之间又有怎样的关系？
生9：两端都种，间隔数 1=棵数。
生10：如果两端都有障碍物，是不是可以理解为“两端不种”？
师：其他同学认为呢？
生11：两端不种，就是不但起点的1棵不种，终点的1棵也不种。因此，间隔数-1=棵数，列式是20÷5-1=3（棵）。
师：看来大家思维大爆发。在一条20米长的小路上，每隔5米种1棵树，我们研究出了几种方案？它们又有什么异同？
【设计意图：把三种情况整合在一个开放的问题情境中，放在一起让学生辨析，学生发散了思维，拓宽了思路，使得数学思想方法真正得以渗透，整体建构起“植树问题”的数学模型。】
4.深入探究，在变中找关联
师：对于“在一条长20米的小路一边植树”，还有不同的想法吗？
生12：我有个疑问，题目中并没有说明这条路是一条笔直的线段，难道这条路不可以是一个封闭图形吗？比如说，围成一个圈。 师：你的思考太有价值了！现实中，这条路完全有可能是一个封闭图形！比如，圆形草坪的外面有一条小路，周长是20米，这时该怎么植树呢？
生13：20÷5=4（棵），我是通过画图得到的。
师：在圆形草坪周围植树，间隔数和棵数有什么关系？
生14：间隔数=棵数。只要把圆形草坪外的小路展开，得到一条线段，就很清楚了。
师：可以看到，起点和终点正好重合了，也就是“只种一端”。
（课件演示;师生张开双臂模拟）
师：通过刚才的研究，我们发现在圆形草坪周围植树，棵数正好等于间隔数。那么，其他封闭图形是不是也存在这样的规律呢？比如，正方形、椭圆形、五边形……
生15：所有的封闭图形都可以像圆一样，只要断开后拉直，就得到一条线段。而这个断开的点既是线段的起点，也是线段的终点。
生16：在封闭图形中植树，与在一条线段上只种一端的植树相同，棵数正好等于间隔数。
师：对！“封闭图形中的植树问题”就相当于“在一条线段上植树”的“只种一端”。在这里，什么相当于路长？
生17：周长相当于路长。
强化板书：
（1）只種一端