求含参数三次函数的单调区间常涉及二次函数的性质、二次不等式求解、二次方程求根等多方面知识，需要对字母进行分类讨论，是考查分类与讨论思想的热点.
　　常按下列步骤对字母的取值范围进行分类讨论：第一步，求出导函数[y=f(x)]（设原函数为[y=f(x)]）；第二步，算出导函数的判别式[Δ]，并判断判别式[Δ]的正负；第三步，若判别式[Δ]的值不确定，即[Δ]的取值可正可负，则对[Δ]进行讨论.
　　1. 按判别式取值的正负进行分类讨论
　　按[Δ][>0]、[Δ][<0]、[Δ]=0三种情况进行分类讨论求解.
　　例1 已知函数[f(x)=x3+ax2+x+1]，[a∈R]﹒讨论函数[f(x)]的单调区间﹒
　　分析 先求出[f(x)=3x2+2ax+1]，算出其判别式[Δ=4(a2-3)]，再判断[4(a2-3)]的正负，易知[4(a2-3)]的正负不确定，然后按判别式[Δ][>0]、[Δ][<0]、[Δ]=0三种情况进行分类讨论求解﹒
　　解 [f(x)=3x2+2ax+1]，其判别式[Δ][=4(a2-3)].
　　（1）当[Δ][>0]，即[a>3]或[a<-3]时，
　　由[f(x)>0]得，
　　[x>-a+a2-33]或[x<-a-a2-33].
　　由[f(x)<0]得，
　　[-a-a2-33　　故函数[f(x)]在区间[(-∞,-a-a2-33)]和[(-a+a2-33,+∞)]上是增函数，在区间[(-a-a2-33,-a+a2-33)]上是减函数﹒
　　（2）当[Δ][<0]，即[-3　　对所有[x∈R]都有[f(x)>0]，
　　故此时[f(x)]在[R]上是增函数﹒
　　（3）当[Δ][=0]，即[a=±3]时，
　　则[f(-a3)=0]，且对所有的[x≠-a3]都有[f(x)>0]，
　　故此时[f(x)]在[R]上是增函数﹒
　　例2 已知函数[f(x)=x-2x+a(2-lnx)]，[a>0].讨论函数[f(x)]的单调性﹒
　　分析 本题函数[f(x)]虽然不是三次函数，但由于导数[f(x)]的正负值的取值范围与二次函数[g(x)=x2-ax+2]是一样的，对导数[f(x)]值的讨论就可转化为对二次函数[g(x)]值的讨论﹒由于[Δ=a2-8]的值不确定，要按判别式[Δ][>0]、[Δ][<0]、[Δ]=0三种情况进行分类讨论求解﹒
　　解 由题意知，[f(x)]的定义域是[(0,+∞)]﹒
　　[f(x)=1+2x2-ax=x2-ax+2x2]﹒
　　设[g(x)=x2-ax+2]，二次方程[g(x)=0]的判别式[Δ=a2-8]﹒
　　（1）当[Δ][>0]，即[a>22]时，
　　方程[g(x)=0]有两个不同的实根：
　　[x1=a-a2-82],[x2=a+a2-82]，[0　　由[f(x)>0]，即[g(x)>0]且[x>0]得，
　　[x>x2]或[0　　由[f(x)<0]，即[g(x)<0]且[x>0]得，
　　[x1　　函数[f(x)]在[(0,a-a2-82)]和[(a+a2-82,+∞)]上是增函数，在[(a-a2-82,a+a2-82)]上是减函数.
　　（2）当[Δ][<0]，即[0　　对一切[x>0]都有[f(x)>0]，
　　[f(x)]在[(0,+∞)]上是增函数﹒
　　（3）当[Δ][=0]，即[a=22]时，
　　仅[x=2]有[f(x)=0,]对其余的[x>0]都有[f(x)>0,]
　　[f(x)]在[(0,+∞)]上是增函数﹒
　　点拨 例2与例1可以说是形异质同﹒本题的分类讨论思路与例1基本上一样﹒
　　 2. 按两实根相对大小进行分类讨论
　　若[Δ][≥0]，即方程[f(x)=0]有实根，先求出两实根[x1]、[x2]；再按[x1][>][x2]、[x1][<][x2]、[x1]=[x2]三种情况进行分类讨论求解.
　　例3 已知函数[f(x)][=x3+ax2-a2x+1]，[a∈R]. 求函数[f(x)]的单调区间﹒
　　分析 先求出[f(x)][=3x2+2ax-a2]，再算出其判别式[Δ=16a2]﹒由于[Δ=16a2≥0]，求出方程[f(x)=0]的两根得：[x1=a3]，[x2=-a]﹒由于[a3]、[-a]的大小不确定，所以要按[a3>-a]、[a3<-a]、[a3=-a]三种情况分类讨论求解﹒
　　解 [f(x)][=3x2+2ax-a2]，
　　方程[f(x)][=0]的判别式[Δ=16a2≥0]﹒
　　求方程[f(x)=0]的两根得[x1=a3]，[x2=-a]﹒
　　（1）当[a3>-a]，即[a>0]时，
　　由[f(x)>0]得，[x>a3]或[x<-a].
　　由[f(x)<0]得，[-a　　函数[f(x)]在[(-∞,-a)]和[(a3,+∞)]上是增函数；在[(-a,a3)]上是减函数﹒
　　（2）当[a3<-a]，即[a<0]时，
　　由[f(x)>0]得，[x>-a]或[x　　由[f(x)<0]得，[a3　　函数[f(x)]在[(-∞,a3)]和[(-a,+∞)]上是增函数，在[(a3,-a)]上是减函数﹒
　　（3）当[a3=-a]，即[a=0]时，
　　仅对[x=0]有[f(x)=0]，对所有的[x≠0]都有[f(x)>0]，
　　[∴f(x)]在[R]上是增函数﹒
　　例4 已知函数[f(x)][=(x2+ax-2a2+3a)ex]，其中[a∈R]﹒求函数[f(x)]的单调区间﹒
　　分析 本题函数[f(x)]也不是三次函数﹒导数[f(x)]的正负值的取值范围与二次函数[h(x)]是一样的，对导数[f(x)]值的讨论就可转化为对二次函数[h(x)]值的讨论﹒由于[h(x)]的判别式[Δ=(3a-2)2≥0]，方程[h(x)=0]的两根[-2a]、[a-2]的大小不确定，本题就得按[-2a>a-2]、[-2a　　解 [f(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex]﹒
　　设[h(x)][=x2+(a+2)x-2a2+4a]，方程[h(x)=0]的判别式[Δ=(3a-2)2≥0]，求方程[h(x)=0]的两根得[x1=-2a]，[x2=a-2]﹒
　　（1）当[x1>x2]，即[a<23]时，
　　由[f(x)>0]，即[h(x)>0]得，
　　[x>-2a]或[x　　由[f(x)>0]，即[h(x)<0]得，
　　[a-2　　函数[f(x)]在[(-∞,a-2)]和[(-2a,+∞)]上是增函数，在[(a-2,-2a)]上是减函数﹒
　　（2）当[x123]时，
　　由[f(x)>0]，即[h(x)>0]得，
　　[x>a-2]或[x<-2a].
　　由[f(x)<0]，即[h(x)<0]得，
　　[-2a　　函数[f(x)]在[(-∞,-2a)]和[(a-2,+∞)]上是增函数，在[(-2a,a-2)]上是减函数﹒
　　（3）当[x1=x2]，即[a=23]时，
　　仅对[x=-43]有[f(x)=0]，对所有的[x≠-43]都有[f(x)>0]，
　　[∴f(x)]在[R]上是增函数﹒
　　点拨 本题的分类讨论思路基本上同例3一样﹒例4与例3也是形异质同，我们在解题时要抓住这一点﹒
　　1. 已知函数[f(x)=x-1x-alnx(a∈R)]﹒讨论[f(x)]的单调性﹒
　　2. 已知函数[f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1]，[x∈R]，其中[t∈R]﹒当[t≠0]时，求[f(x)]的单调区间﹒
　　1. （1）当[a≤2]时，[f(x)]在[(0,+∞)]上单调递增.
　　（2）当[a<-2]时，[f(x)]在[(0,+∞)]上单调递增﹒
　　（3）当[a>2]时，[fx]分别在[(0,x1)和(x2,+∞)]上单调递增，在[(x1,x2)]上单调递减﹒
　　2. 当[t<0]时，在[(-∞,t2)]和[(-t,+∞)]上单调递增，在[(t2,-t)]上单调递减；
　　当[t>0]时，在[(-∞,-t)]，[(t2,+∞)]上单调递增，在[(-t,t2)]上单调递减﹒