浅谈判断互质数的几种方法

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  人教课标版六年制小学数学第十册第二单元《倍数、约数》中,学习求最公因数时出现了互质数,熟练地掌握互质数,对以后学习求最公因数、最小公倍数、通分和化简比等数学知识都起着极为重要的作用,因此怎样掌握互质数和判定互质数是难点,怎样突破这个难点呢?
  首先,掌握各种数的概念,如什么是自然数,一个自然数有几个相邻的数?我们把“0、1、2、3、4、5......”这样的数叫做自然数,每一个自然数(除‘1’外)都有两个相邻的数,并让学生理清什么是质数,什么是合数。(质数就是一个数除了“1”和它本身外再没有其它因数的数;合数就是一个数除了“1”和它本身外还有其它因数的数)。并要求学生熟练掌握1到20内的质数和合数。
  在学生掌握以上几种数的概念和数与数之间关系的基础上,还要了解什么是公因数(公因数就是几个数之间公有的因数),再讲什么是互质数;就是两个数之间除了“1”以外再没有其它公因数时,这两个数被称为互质数。学生虽然了解了互质数的概念,在实际解决问题时有许多学生还不能很快地判断出互质数,有时判断不正确,还有一些学生把质数和互质数混淆不清,应当明确质数是指单独的一个非零的自然数,而互质数则指两个自然数之间的关系。
  除了理清各种数的概念和数与数之间的关系外,还要找规律,不管是什么样的数,或数与数的关系都有一定的规律可寻。那么互质数的判定有哪些规律和方法呢?我在多年的数学教学中总结出以下五种快速判断互质数的方法,供大家在学习中参考。
  一、相邻的两个自然数必定是互质数,如;“8”和“9”、“15”和“16”、“24”和25等。因为相邻的两个自然数,不管是质数还是合数,它们之间除了‘1‘以外再不可能有其它公约数,如果还有其它公因数就不是相邻的数,因此肯定相邻的两个自然数,不管它们的大小,它们肯定是互质数。
  二、“1”和其它任何一个非零自然数都是互质数。因为“1”本身除了1以外再没有其它因数,那么,“1”和任何非零自然数之间的公因数也只有一个,所以“1”和任何一个非零自然数都是互质数。
  三、质数是指因数只有“1”和它本身的非零自然数,而两个质数之间除了“1”以外再没有第二个公因数,所以,两个质数必定是互质数。如“7”和“11”、“23”和“61”都是互质数。
  四、前面我们已经肯定了相邻的两个自然数之间除1以外,再没有其它公约数,那相邻两个自然数的平方和立方之间也不可能有其它公约数(除1外),因此相邻两个自然数的平方和立方必定是互质数。如“2”和“3”是相邻的两个自然数“2”平方等于“4”,“3”平方等于“9”,而“4”和“9”是互质数,所以我们肯定两数如果是互质数,那么这两个数平方或立方后的得数仍是互质数
  五、如果一个质数和一个合数之间不是倍数关系,那么这两个自然数必定是互质数,因为一个质数和一个合数如果不是倍数关系,这两数之间的公约数除了“1”以外再没有第二。那么怎样判定一个质数和一个合数是否是倍数关系呢?首先要掌握能被“2”、“3”、“5”、三个数整除的数的特点。能被“2”整除的数的个位上是“0”、“2”、“4”、“6”、“8”、,能被“5”整除的数的个位上是“0”、或“5”、。一个数各位上数的和如果能被3整除,那么这个数就被3整除。只有掌握了2、3、5、这三个数整除的数的特点,就能比较容易的判断出一个质数和一个合数是否是倍数关系,如果质数和合数不是倍数关系,那么这两个数肯定是互质数。如“5”和“24”肯定是互质数。还有如“3”和“14”、“7”和“36”等都是质数和合数,它们都是互质数。
  能很快的判定出两个数是否是互质数,对以后学习求最大公因数,求最小公倍数有很大帮助。如果两个数是互质数,那么这两个数的最大公因数是“1”,最小公倍数是这两个数的积;如果分子和分母是互质数这个分数就是最简分数;如果比的前项和后项是互质数这个比就是最简整数比。所以,熟练掌握互质数及互质数的判定方法,对以后学习数学知识有很大的帮助。
  因此,我们在数学教学中应引导学生不断的研究,不断的探索,就能找出一些规律和方法,只有找出好的方法,学习起来就简便,而且也容易掌握数学知识,还能拓宽思维能力,扩大知识面。同时也能提高学生的学习能力。
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