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摘 要 本文是从理解性学习的角度研究高中数学概念的有效教学，提出了促进高中数学概念有效教学的策略，并将策略用于教学实践进行了实验研究。
关键词 有效教学 高中数学概念 理解性学习
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2015.08.060
High School Math Concepts Effective Teaching in
Understanding Learning Perspective
LI Dan
（Putian No.27 Middle School， Putian， Fujian 351164）
Abstract This paper studies of effective teaching of high school math concepts from the perspective of understanding learning， proposed strategies to promote effective teaching high school math concepts and strategies for teaching practice studied.
Key words effective teaching; high school math concept; understanding learning
1 基于理解性学习的高中数学概念有效教学的涵义
1.1 高中数学概念有效教学的涵义
高中数学概念有效教学指的是教师在高中数学概念的教学过程中依据数学的规律方法，高效地进行教学活动，使教学过程中学生收获与概念的内涵与外延相关的丰富的知识，实现相关概念的教学目标，同时使学生的理解能力和水平有所提高，应用意识和创新能力得到发展，充分体现高中数学概念教学的宝贵价值。
1.2 高中数学概念理解性学习的内涵与层次
高中数学概念理解性学习是学习手段、学习目标和学习效果的辩证统一，而且学习者通过这样的学习必须促进对高中数学概念的深刻的理解。本研究将其划分为四个层次：
（1）经验性理解。经验性理解的含义是对某个高中数学概念的起始性的理解，理解的程度往往是由自身经验决定的。自身经验指对真实世界与客观对象的一种体悟和认识。通常发生在接触新概念的时候，含有较多的个人成分，较少的协商性内涵，是一种相对低层次的理解。
（2）形式化理解。在形式化的理解层次的学习是指对自身经验的抽象化的整理和组织，概括和重新表征;对不同的刺激模式分类表征，从中发现不同模式的本质属性和共性加以分化，就达到了对高中数学概念的形式化的理解。
（3）结构化理解。结构化理解着眼于在概念的关系和脉络中把握概念的本质属性和内涵，结构化理解的实质是结构关联化的理解。对一个高中数学概念，结构的复杂、精确程度决定着对其本质的理解程度。
（4）文化感悟与理解。数学文化感悟理解是指，在这一层次的理解是一种综合性的，整体性的理解，是一种居高临下的数学感受与体悟，是一种对数学意义的深层次的认同和一种特别深刻的数学观，并且它不但是一个终极的目标，也是一个不间断发展的过程。
2基于理解性学习的高中数学概念有效教学的策略
（1）利用各种教育技术手段创设有效问题情境，丰富经验性理解。经验性理解层次的学习受环境内容、环境组织和解释方式等与先前经验相关范畴的影响，表现出易错性的特点。同时，由于学习者的认知的多样性，在概念学习过程中，概念的不同外在表征作用于学习者会产生不同的心智表征，人们往往依据占主导作用的心智表征去建构对概念的理解。所以在概念的学习过程中，充分利用技术优势呈现概念不同的表征形式，与学生已有经验和现有知识形成广泛的联系，使技术的优势得以发挥。创设有利于学生自主理解的问题情境，帮助学生学会运用各种手段相互合作解决真正的问题，在问题的探究过程中，形成问题解决的技能，锻炼自主学习能力，提高思维层次及水平，为概念的形式化与结构化的理解奠定基础。
（2）学生充分参与高中数学概念的形成与发展过程，建构形式化的理解。新课改的重要理念之一就是重视知识形成中学生要充分参与，使他们经历知识的形式化建构过程，高中数学概念学习也必然要遵循这个理念。不仅要让学生体会一个高中数学概念产生的历史背景和时代背景，更要知晓其曲折的发展与完善过程，是如何一步一步完成形式化的抽象概括。更为重要的是在自主探索和充分体验的过程中，体会其中蕴含的数学知识技能，提供数学探索能力，收获成功的体验，增进数学学习的兴趣与信心，为结构化的理解提供保障。
（3）合理的高中数学概念教学设计与多角度的诠释概念，形成结构化的理解。形式化理解关注单一的高中数学概念或其他知识，没有把与其有关的概念拿来一起比较、分析，发现其异同或是否有层次关系.所以理解的丰富性的程度和精确性都有所欠缺。所以，当概念的学习具有很强的结构性，紧密复杂的关联性，清晰的脉络时，学习者对此概念的理解就会越来越深刻与精细，更能灵活自如地运用。要求概念的学习一定要有一个结构合理，逻辑严密，思路清晰的教学设计，为形成高中数学概念的结构化理解保驾护航。合理的教学设计是上好一节课的根本保证，教师面对的是一群有自己的知识、观点、经验的活生生的个体，如果没有一个灵活变化的教学设计，学生形成正确的结构化理解更无从谈起了。从概念学习本身的特点来看，对概念的内涵和外延的多角度诠释也是形成良好的概念结构必不可少的，把多角度的诠释合理融入到教学设计中，可以很好地辅助高中数学概念的结构化理解。
（4）对概念学习过程的深刻反思，提升文化感悟与理解。从某种意义上说，高中数学概念学习能达到形式化的理解和结构化的理解，就已经达到了学习的基本要素，高中数学概念理解性学习的深层次的指向是更高一层的学习目标，即达到了对数学的文化感悟与理解。适时地有效反思是高中数学概念理解层次深入进行的根本保障，是提高高中数学概念教学有效性的重要环节。不断地反思成果与失败，才能使理解层次向更深的方向发展。反思是贯穿于整个教学过程中的，也是随着理解层次的提高层层递进不断深入，要引导学生将高中数学概念学习过程中的反思经验运用到日常数学的学习中，乃至各科目的学习中，真正提升学习的素养，使高中数学概念学习更加科学、合理、高效。 3基于理解性学习的高中数学概念有效教学的实验研究
3.1 教材分析
概率的定义分为古典定义，频率定义，主观定义和公理化定义。其中频率定义是指用在多次重复试验中的相对频数来定义事件发生的概率。它是建立在实验基础上的后验的概率，它最能体现随机性的思想，本文主要研究概念的频率定义，选取了随机事件的概率这一节，主要从以下几个方面突破：（1）频率稳定于概率是对大量的随机事件而言的，若实验次数较少，用频率衡量概率就不太好。（2）频率与概率这两个定义既有密切联系又有内在本质区别。（3）稳定于并非常规意义的极限的收敛于。（4）定义中的稳定于的常数本质上是一种理论的推断。
3.2 教学设计
依据基于理解性学习的高中数学概念有效教学的策略，完成了随机事件的概率这一节的教学设计，包含了七个探究问题，四个课内活动和一个课外活动，随机事件的概率必修三第三章概率第3.1.1节在初中九年级上册第二十五章概率初步中，学生已经学习了随机事件、必然事件和不可能事件高中的学习使初中的进一步抽象，理解也应该更加准确深刻，重视实际意义，通过实验和自主探究生成对概念的理解。通过学生实验计算机软件的辅助，使学生突破理解“随机事件的概率和概率的频率定义”这一难点。概率的频率定义：在随机试验中，若事件A出现的频率随着实验次数的增加，稳定于一个常数P。其中，则定义事件A的概率为P。概率的频率定义赋予了概率一个可供参考的具体值，这是概率的频率定义最有价值的地方。要理解概率频率定义的这一难点，主要从以下几个方面突破：（1）频率稳定于概率是对大量的随机事件而言的，若实验次数较少，用频率估计概率就不太合理;（2）频率与概率这两个定义既有密切联系又有内在本质区别;（3）稳定于并非常规意义的极限的收敛于;（4）定义中的稳定于的常数本质上是一种理论的推断。教材选择抛掷硬币的实验引入概率的频率定义，抛硬币实验的优点有：第一，从学生的生活经验来考虑，硬币正面朝上的概率是0.5，是众所周知的生活常识，可以避免对于稳定于的常数是什么的疑虑，可以借此实验体会频率具有稳定性可用频率来估计概率。第二，操作起来容易，比较贴近教学实际。第三，可以站在巨人的肩膀上研究此问题，因为历史上有很多权威的实验数据可以利用。当然抛硬币的实验也有缺点，初中学习随机实验这一节时就用了抛硬币的实验，实验过程基本与高中必修三教材中的设计相类似，由于学生已经了解了过程和结果。如果重复同样的实验，不但消耗课堂大量的宝贵时间，而且学生追求未知事物的热情度必然会下降，学生疲于应付对学生的概念的理解更无帮助。由于篇幅限制教学设计在本文不能全部展示。
3.3 实验的结论
本实验在福建省莆田某普通高中高一年段进行，高一（1）班和高一（2）班分别作为实验班和对照班。首先，两个班级都是平行班，都由同一名数学教师来执教，保证每一个概念要注意的关键问题保持同步，习题和作业也基本保持相同，课外辅导书也完全相同，尽量排除其他因素的影响。进行前后测实验，实验数据使用SPSS17软件进行统计分析。在有关学生实验前概率频率定义的前测试卷的统计结果中，对照班和实验班的平均成绩分别为83.75和83.5625，中值、众数、标准差、最高分、最低分也没有很大的差异。经过独立样本T检验，发现齐性检验的显著水平位0.799>0.05，说明方差齐性没有特别显著的差异，取独立样本T检验的第一行假设方差相等的结果0.943>0.05，所以有95%的置信度，说明对照班和实验班的前测成绩没有明显的差异。以上检验说明，在进行基于理解性学习的高中数学概念有效教学之前，对照班和实验班的学生的概率频率定义学习水平没有明显的差异，基本上相同。
在概率的频率定义的理解情况后测试卷的统计中，对照组与实验组的平均成绩分别为82.1563和88.7500。经过独立样本T检验，发现齐性检验的显著水平位0.405>0.05，说明方差齐性没有特别显著的差异，取独立样本T检验的第一行假设方差相等的结果0.005<0.05，所以有95%的置信度，说明对照班和实验班的前测成绩有明显的差异。学生对概率的频率定义的理解水平有明显的不同，明显实验班的理解比对照班的更深刻，更能灵活运用，说明基于理解性学习的高中数学概念有效教学的策略是有效的。
4 研究的启示
本文主要从理解性学习的层次提升中探讨高中数学概念的有效教学，还有很多因素也影响着高中数学概念教学的有效性，也是很有价值的研究课题。如在本研究的实验过程中发现，学生的非智力因素，教师的专业素养，和谐的师生关系也影响着有效教学的实施。另外，如何因材施教，如何提高学生兴趣也会促进有效教学的进行，都是具有实用价值的研究。最后，希望本文的观点能为高中数学概念教学的有效实施提供借鉴，真正成为服务于教学实践的研究。
参考文献
[1] 加里.D.鲍里奇.有效教学方法[M].南京：江苏教育出版社，2002.
[2] 余文森.有效教学十讲[M].上海：华东师范大学出版版社，2009.
[3] 李士琦.PME：数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2001.
[4] 马复.试论数学理解的两种类型[J].数学教育学报，2001（3）：50-53.
[5] 黄燕玲，喻平.对数学理解的再认识[J].数学教育学报，2002（8）：40-43.
[6] 喻平.数学教育心理学[M].南宁：广西教育出版社，2004.
关键词 有效教学 高中数学概念 理解性学习
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2015.08.060
High School Math Concepts Effective Teaching in
Understanding Learning Perspective
LI Dan
（Putian No.27 Middle School， Putian， Fujian 351164）
Abstract This paper studies of effective teaching of high school math concepts from the perspective of understanding learning， proposed strategies to promote effective teaching high school math concepts and strategies for teaching practice studied.
Key words effective teaching; high school math concept; understanding learning
1 基于理解性学习的高中数学概念有效教学的涵义
1.1 高中数学概念有效教学的涵义
高中数学概念有效教学指的是教师在高中数学概念的教学过程中依据数学的规律方法，高效地进行教学活动，使教学过程中学生收获与概念的内涵与外延相关的丰富的知识，实现相关概念的教学目标，同时使学生的理解能力和水平有所提高，应用意识和创新能力得到发展，充分体现高中数学概念教学的宝贵价值。
1.2 高中数学概念理解性学习的内涵与层次
高中数学概念理解性学习是学习手段、学习目标和学习效果的辩证统一，而且学习者通过这样的学习必须促进对高中数学概念的深刻的理解。本研究将其划分为四个层次：
（1）经验性理解。经验性理解的含义是对某个高中数学概念的起始性的理解，理解的程度往往是由自身经验决定的。自身经验指对真实世界与客观对象的一种体悟和认识。通常发生在接触新概念的时候，含有较多的个人成分，较少的协商性内涵，是一种相对低层次的理解。
（2）形式化理解。在形式化的理解层次的学习是指对自身经验的抽象化的整理和组织，概括和重新表征;对不同的刺激模式分类表征，从中发现不同模式的本质属性和共性加以分化，就达到了对高中数学概念的形式化的理解。
（3）结构化理解。结构化理解着眼于在概念的关系和脉络中把握概念的本质属性和内涵，结构化理解的实质是结构关联化的理解。对一个高中数学概念，结构的复杂、精确程度决定着对其本质的理解程度。
（4）文化感悟与理解。数学文化感悟理解是指，在这一层次的理解是一种综合性的，整体性的理解，是一种居高临下的数学感受与体悟，是一种对数学意义的深层次的认同和一种特别深刻的数学观，并且它不但是一个终极的目标，也是一个不间断发展的过程。
2基于理解性学习的高中数学概念有效教学的策略
（1）利用各种教育技术手段创设有效问题情境，丰富经验性理解。经验性理解层次的学习受环境内容、环境组织和解释方式等与先前经验相关范畴的影响，表现出易错性的特点。同时，由于学习者的认知的多样性，在概念学习过程中，概念的不同外在表征作用于学习者会产生不同的心智表征，人们往往依据占主导作用的心智表征去建构对概念的理解。所以在概念的学习过程中，充分利用技术优势呈现概念不同的表征形式，与学生已有经验和现有知识形成广泛的联系，使技术的优势得以发挥。创设有利于学生自主理解的问题情境，帮助学生学会运用各种手段相互合作解决真正的问题，在问题的探究过程中，形成问题解决的技能，锻炼自主学习能力，提高思维层次及水平，为概念的形式化与结构化的理解奠定基础。
（2）学生充分参与高中数学概念的形成与发展过程，建构形式化的理解。新课改的重要理念之一就是重视知识形成中学生要充分参与，使他们经历知识的形式化建构过程，高中数学概念学习也必然要遵循这个理念。不仅要让学生体会一个高中数学概念产生的历史背景和时代背景，更要知晓其曲折的发展与完善过程，是如何一步一步完成形式化的抽象概括。更为重要的是在自主探索和充分体验的过程中，体会其中蕴含的数学知识技能，提供数学探索能力，收获成功的体验，增进数学学习的兴趣与信心，为结构化的理解提供保障。
（3）合理的高中数学概念教学设计与多角度的诠释概念，形成结构化的理解。形式化理解关注单一的高中数学概念或其他知识，没有把与其有关的概念拿来一起比较、分析，发现其异同或是否有层次关系.所以理解的丰富性的程度和精确性都有所欠缺。所以，当概念的学习具有很强的结构性，紧密复杂的关联性，清晰的脉络时，学习者对此概念的理解就会越来越深刻与精细，更能灵活自如地运用。要求概念的学习一定要有一个结构合理，逻辑严密，思路清晰的教学设计，为形成高中数学概念的结构化理解保驾护航。合理的教学设计是上好一节课的根本保证，教师面对的是一群有自己的知识、观点、经验的活生生的个体，如果没有一个灵活变化的教学设计，学生形成正确的结构化理解更无从谈起了。从概念学习本身的特点来看，对概念的内涵和外延的多角度诠释也是形成良好的概念结构必不可少的，把多角度的诠释合理融入到教学设计中，可以很好地辅助高中数学概念的结构化理解。
（4）对概念学习过程的深刻反思，提升文化感悟与理解。从某种意义上说，高中数学概念学习能达到形式化的理解和结构化的理解，就已经达到了学习的基本要素，高中数学概念理解性学习的深层次的指向是更高一层的学习目标，即达到了对数学的文化感悟与理解。适时地有效反思是高中数学概念理解层次深入进行的根本保障，是提高高中数学概念教学有效性的重要环节。不断地反思成果与失败，才能使理解层次向更深的方向发展。反思是贯穿于整个教学过程中的，也是随着理解层次的提高层层递进不断深入，要引导学生将高中数学概念学习过程中的反思经验运用到日常数学的学习中，乃至各科目的学习中，真正提升学习的素养，使高中数学概念学习更加科学、合理、高效。 3基于理解性学习的高中数学概念有效教学的实验研究
3.1 教材分析
概率的定义分为古典定义，频率定义，主观定义和公理化定义。其中频率定义是指用在多次重复试验中的相对频数来定义事件发生的概率。它是建立在实验基础上的后验的概率，它最能体现随机性的思想，本文主要研究概念的频率定义，选取了随机事件的概率这一节，主要从以下几个方面突破：（1）频率稳定于概率是对大量的随机事件而言的，若实验次数较少，用频率衡量概率就不太好。（2）频率与概率这两个定义既有密切联系又有内在本质区别。（3）稳定于并非常规意义的极限的收敛于。（4）定义中的稳定于的常数本质上是一种理论的推断。
3.2 教学设计
依据基于理解性学习的高中数学概念有效教学的策略，完成了随机事件的概率这一节的教学设计，包含了七个探究问题，四个课内活动和一个课外活动，随机事件的概率必修三第三章概率第3.1.1节在初中九年级上册第二十五章概率初步中，学生已经学习了随机事件、必然事件和不可能事件高中的学习使初中的进一步抽象，理解也应该更加准确深刻，重视实际意义，通过实验和自主探究生成对概念的理解。通过学生实验计算机软件的辅助，使学生突破理解“随机事件的概率和概率的频率定义”这一难点。概率的频率定义：在随机试验中，若事件A出现的频率随着实验次数的增加，稳定于一个常数P。其中，则定义事件A的概率为P。概率的频率定义赋予了概率一个可供参考的具体值，这是概率的频率定义最有价值的地方。要理解概率频率定义的这一难点，主要从以下几个方面突破：（1）频率稳定于概率是对大量的随机事件而言的，若实验次数较少，用频率估计概率就不太合理;（2）频率与概率这两个定义既有密切联系又有内在本质区别;（3）稳定于并非常规意义的极限的收敛于;（4）定义中的稳定于的常数本质上是一种理论的推断。教材选择抛掷硬币的实验引入概率的频率定义，抛硬币实验的优点有：第一，从学生的生活经验来考虑，硬币正面朝上的概率是0.5，是众所周知的生活常识，可以避免对于稳定于的常数是什么的疑虑，可以借此实验体会频率具有稳定性可用频率来估计概率。第二，操作起来容易，比较贴近教学实际。第三，可以站在巨人的肩膀上研究此问题，因为历史上有很多权威的实验数据可以利用。当然抛硬币的实验也有缺点，初中学习随机实验这一节时就用了抛硬币的实验，实验过程基本与高中必修三教材中的设计相类似，由于学生已经了解了过程和结果。如果重复同样的实验，不但消耗课堂大量的宝贵时间，而且学生追求未知事物的热情度必然会下降，学生疲于应付对学生的概念的理解更无帮助。由于篇幅限制教学设计在本文不能全部展示。
3.3 实验的结论
本实验在福建省莆田某普通高中高一年段进行，高一（1）班和高一（2）班分别作为实验班和对照班。首先，两个班级都是平行班，都由同一名数学教师来执教，保证每一个概念要注意的关键问题保持同步，习题和作业也基本保持相同，课外辅导书也完全相同，尽量排除其他因素的影响。进行前后测实验，实验数据使用SPSS17软件进行统计分析。在有关学生实验前概率频率定义的前测试卷的统计结果中，对照班和实验班的平均成绩分别为83.75和83.5625，中值、众数、标准差、最高分、最低分也没有很大的差异。经过独立样本T检验，发现齐性检验的显著水平位0.799>0.05，说明方差齐性没有特别显著的差异，取独立样本T检验的第一行假设方差相等的结果0.943>0.05，所以有95%的置信度，说明对照班和实验班的前测成绩没有明显的差异。以上检验说明，在进行基于理解性学习的高中数学概念有效教学之前，对照班和实验班的学生的概率频率定义学习水平没有明显的差异，基本上相同。
在概率的频率定义的理解情况后测试卷的统计中，对照组与实验组的平均成绩分别为82.1563和88.7500。经过独立样本T检验，发现齐性检验的显著水平位0.405>0.05，说明方差齐性没有特别显著的差异，取独立样本T检验的第一行假设方差相等的结果0.005<0.05，所以有95%的置信度，说明对照班和实验班的前测成绩有明显的差异。学生对概率的频率定义的理解水平有明显的不同，明显实验班的理解比对照班的更深刻，更能灵活运用，说明基于理解性学习的高中数学概念有效教学的策略是有效的。
4 研究的启示
本文主要从理解性学习的层次提升中探讨高中数学概念的有效教学，还有很多因素也影响着高中数学概念教学的有效性，也是很有价值的研究课题。如在本研究的实验过程中发现，学生的非智力因素，教师的专业素养，和谐的师生关系也影响着有效教学的实施。另外，如何因材施教，如何提高学生兴趣也会促进有效教学的进行，都是具有实用价值的研究。最后，希望本文的观点能为高中数学概念教学的有效实施提供借鉴，真正成为服务于教学实践的研究。
参考文献
[1] 加里.D.鲍里奇.有效教学方法[M].南京：江苏教育出版社，2002.
[2] 余文森.有效教学十讲[M].上海：华东师范大学出版版社，2009.
[3] 李士琦.PME：数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2001.
[4] 马复.试论数学理解的两种类型[J].数学教育学报，2001（3）：50-53.
[5] 黄燕玲，喻平.对数学理解的再认识[J].数学教育学报，2002（8）：40-43.
[6] 喻平.数学教育心理学[M].南宁：广西教育出版社，2004.