论文部分内容阅读
【摘要】新编人教版数学八年级（上册）85页，北师大版数学七年级（下册）196页“试一试”及浙教版八年级上册50页例2，都介绍了“最短路径”问题，又称“将军饮马”问题，而近几年的中考试题中就经常出现求“线段和的最小值”问题.这类题型综合性强、灵活性大，相当一部分考生感到非常棘手，较易丢分.事实上，如果考生能抓住这类问题的特征及解题方法，就会发现这类问题其实并非像想象的那么难.本文以2019年部分省市的中考题为例分类谈谈如何求“线段和的最小值”.
【关键词】探秘;平面图形;最小值
一、在三角形中求线段和的最小值
图1例1 如图1所示，等边三角形ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD边上的动点，E是AC边上一点.若AE=2，则EM CM的最小值为.（运城市）
分析 因为AD是BC边上的中线，所以由等边三角形的对称性知CM=BM，要求EM CM的最小值，就是求EM MB的最小值，由“两点之间，线段最短”知：当点M在线段BE上时，BM EM最小，从而“化折为直”为线段BE的长度即可.
解 如图1所示，因为CM=BM，所以EM CM=BM EM.当点M在BE上时，BM ME=BE.过点E作EF⊥BC，垂足为F.因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在Rt△EFC中，因為∠ECF=60°，所以∠FEC=30°.又因为EC=4，所以FC=12EC=2.EF=EC2-FC2=42-22=23.因为BC=6，FC=2，所以BF=4.在Rt△BEF中，BE=BF2 EF2=42 （23）2=28=27.故填27.
二、在正方形中求线段和的最小值
图2例2 如图2所示，正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在AB，BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC上的一个动点，求PE PF的最小值.（丽江市）
分析 正方形的对角线所在的直线是其对称轴，因此本题可作出点E关于AC的对称点E′，根据对称性及两点之间线段最短的性质，问题即可解决.
解 如图2所示，作点E关于AC的对称点E′，根据对称性，点E′必在AD上，连接E′F交AC于一点，这一点即为满足题设的点P.通过“化折为直”，此时PE PF的最小值恰好为线段E′F的长，故作E′G⊥BC于点G，则E′G=AB=8，FG=8-3-1=4，由勾股定理求得E′F=82 42=45，即PE PF的最小值为45.
三、在圆中求线段和的最小值
图3如图3，已知BC=6 cm，以BC为直径作⊙O，D是半圆BC的一个三等分点，E是半圆BC的一个六等分点，P是直径BC上一动点，连接DP，EP，则DP EP的最小值是cm.（西宁市）
分析 圆的直径所在的直线即为圆的对称轴，因此本题可作出E点关于BC的对称点E′，再依据轴对称性及两点之间线段最短的性质求出最小值.
解 如图3，根据圆的轴对称性，作点E关于BC的对称点E′，故EP=E′P，且点E′在圆上，故线段DE′的长即为DP EP的最小值，在这里，弧EC的度数为30°，则弧E′C的度数也为30°，弧DE′的度数为90°，故圆心角∠DOE′=90°.从而可得△DOE′为等腰直角三角形，即DE′=2OD=32，因此DP EP的最小值是32 cm.
四、在等腰梯形中求线段和的最小值
图4例4 如图4，已知四边形ABCD中，BD=4，直线MN为四边形ABCD的对称轴，P为MN上一动点，求PC PD的最小值.（锦州市）
分析 由于MN为四边形ABCD的对称轴，故连接对角线AC或BD均交于MN上，即交于P点，因此PA=PD，从而可知PC PD的最小值即为线段AC之长，也为BD之长.实现了折线PC PD转化为线段AC或BD的变化.
解 如图4，连接AC，交MN于P，再连接PD，则PD=PA，则PC PD=PC PA.易知BD=AC，所以（PC PD）min=BD=4.
五、在角中求线段和的最小值
图5例5 如图5，已知∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR周长的最小值.（枣庄市）
分析 点P是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一点使三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条线段，求出线段长度即可.
解 分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，易知RP=RP2，QP=QP1.OP1=OP2=OP=10，∠P1OP2=2∠AOB=90°，因而PR RQ QP=RP2 RQ QP1=P1P2，从而实现了化三线段之和为直线段P1P2的长.因此P1P2=OP21 OP22=102 102=102，这就是△PQR周长的最小值.
六、在直角坐标系中求线段和的最小值
图6例6 如图6，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B（6，4），点C（0，4），点D（6，2），P（2，4）.点N为线段AO上的动点，又有点M为线段CO上的动点，求线段PM MN ND的最小值.（洛阳市）
分析 要求线段PM MN ND的最小值，只要作出P点关于y轴的对称点P′，作出D点关于x轴的对称点D′，使MN在P′D′上即可.
解 如图6所示，作点D关于x轴的对称点D′，作点P关于y轴的对称点P′，此时由轴对称性知MP′=MP，ND=ND′，连接P′D′，分别交y轴、x轴于M，N两点，此时线段PM MN ND的最小值=MP′ MN ND′=线段P′D′的长度，∴在Rt△P′BD′中，P′D′=BP′2 BD′2=82 62=10，因此线段PM MN ND的最小值为10. 七、在菱形中求线段和的最小值
图7例7 在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，
P是对角线AC上的一个动点，则PE PB的最小值是.（赤峰市）
分析 如图7，在菱形ABCD中，点B与点D关于AC对称，设DE交AC于点P′，则点P运动到点P′时，PE PB的最小值就是线段DE的长，用勾股定理可求出DE的长.
解 因为在菱形ABCD中，AD=AB，∠BAD=60°，
所以△ABD是等边三角形，因为E是AB的中点，
所以∠DEA=90°，AE=12AB=1，
所以DE=AD2-AE2=
22-12=3，
所以PE PB的最小值是3.
八、在矩形中求线段和的最小值
图8例8 如图8，矩形ABCD中，AB=20 cm，BC=10 cm，
若在AC，AB上各取一点M，N，使得MB MN的值最小，求這个最小值.（湖州市）
分析 要使BM MN的值最小，应设法将折线“拉直”，于是从作出B点关于AC的对称点入手.
解 如图8，作B关于AC的对称点B′，连接AB′，交DC于P，则点N关于AC的对称点为AB′上的N′点，这时BM MN的最小值等于BM MN′的最小值，显然等于B到AB′的距离BH.连接BP，则S△ABP=12×20×10=100（cm2），设AP=x，则PC=x，DP=20-x.由x2=102 （20-x）2，解得x=12.5.
过点B作BH⊥AP于H.
∵S△ABP=12·AP·BH=100，∴BH=100×212.5=16（cm）.∴BM MN的最小值为16 cm.
综上所述，求线段和的最小值问题，用得较多的依据是“轴对称性质和两点之间线段最短的性质”，有时还可依据“直线外一点与直线上各点的所连线段中垂线段最短”求解.
附练习题
图91.如图9，已知菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，E是AB的中点，当F在对角线AC上时，FE FB的最小值是.（宿迁市）
（提示：根据菱形的性质，可知B，D两点关于直线AC对称.连接DE交AC于点F，则FE FB=FE FD=DE.因为∠ABC=120°，所以∠DAB=∠ABD=60°，所以△ABD是正三角形，不难求出DE=33，即FE FB的最小值是33.）
图102.如图10，已知点A是半圆MN上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则PA PB的最小值是 .（北海市）
（提示：作点A关于直线MN的对称点A′，根据圆的轴对称性可知A′在⊙O上.连接A′B交MN于点P.不难求出弧A′B的度数等于90°.在Rt△A′OB中，OB=OA′=1，所以A′B=2，即PA PB的最小值是2.）
图113.已知点A是锐角∠MON内的一点，请分别在OM，ON上确定点B、点C，使△ABC的周长最小.如图11，若∠MON=30°，OA=8，则△ABC的周长的最小值是.（温州市）
（提示：仿例5解，△ABC的周长的最小值是8.）
图124.如图12，BC=6，以BC为边作△ABC，点D，E分别是AB，AC边的中点，且BC边上的高为4，BC边上有一动点P，使得△PDE周长最小，请求出△PDE周长的最小值.（信阳市）
（提示：作点E关于BC的对称点E′，求出DE′=5，即可求出△PDE周长的最小值.）
图135.如图13，在边长为1的正方形ABCD中，点M，N，O，P分别在边AB，BC，CD，DA上.如果AM=BM，DP=3AP，求MN NO OP的最小值.（泉州市）
（提示：作点P关于CD的对称点P′，作点M关于BC的对称点M′，P′M′分别交BC，CD于点N，O，则MN NO OP的最小值=P′M′=1 342 1 122=854.）
【参考文献】
[1]于志洪.用抛物线轴对称性求线段和的最小值[J].初中生天地，2017（7）：90-93.
[2]于志洪.应用轴对称变换求线段和的最小值[J].现代中学生，2019（4）：16-18.
[3]胡锦秀.智用轴对称巧求最小值[M].初中数学一点通，2016（2）：12-14.
【关键词】探秘;平面图形;最小值
一、在三角形中求线段和的最小值
图1例1 如图1所示，等边三角形ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD边上的动点，E是AC边上一点.若AE=2，则EM CM的最小值为.（运城市）
分析 因为AD是BC边上的中线，所以由等边三角形的对称性知CM=BM，要求EM CM的最小值，就是求EM MB的最小值，由“两点之间，线段最短”知：当点M在线段BE上时，BM EM最小，从而“化折为直”为线段BE的长度即可.
解 如图1所示，因为CM=BM，所以EM CM=BM EM.当点M在BE上时，BM ME=BE.过点E作EF⊥BC，垂足为F.因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在Rt△EFC中，因為∠ECF=60°，所以∠FEC=30°.又因为EC=4，所以FC=12EC=2.EF=EC2-FC2=42-22=23.因为BC=6，FC=2，所以BF=4.在Rt△BEF中，BE=BF2 EF2=42 （23）2=28=27.故填27.
二、在正方形中求线段和的最小值
图2例2 如图2所示，正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在AB，BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC上的一个动点，求PE PF的最小值.（丽江市）
分析 正方形的对角线所在的直线是其对称轴，因此本题可作出点E关于AC的对称点E′，根据对称性及两点之间线段最短的性质，问题即可解决.
解 如图2所示，作点E关于AC的对称点E′，根据对称性，点E′必在AD上，连接E′F交AC于一点，这一点即为满足题设的点P.通过“化折为直”，此时PE PF的最小值恰好为线段E′F的长，故作E′G⊥BC于点G，则E′G=AB=8，FG=8-3-1=4，由勾股定理求得E′F=82 42=45，即PE PF的最小值为45.
三、在圆中求线段和的最小值
图3如图3，已知BC=6 cm，以BC为直径作⊙O，D是半圆BC的一个三等分点，E是半圆BC的一个六等分点，P是直径BC上一动点，连接DP，EP，则DP EP的最小值是cm.（西宁市）
分析 圆的直径所在的直线即为圆的对称轴，因此本题可作出E点关于BC的对称点E′，再依据轴对称性及两点之间线段最短的性质求出最小值.
解 如图3，根据圆的轴对称性，作点E关于BC的对称点E′，故EP=E′P，且点E′在圆上，故线段DE′的长即为DP EP的最小值，在这里，弧EC的度数为30°，则弧E′C的度数也为30°，弧DE′的度数为90°，故圆心角∠DOE′=90°.从而可得△DOE′为等腰直角三角形，即DE′=2OD=32，因此DP EP的最小值是32 cm.
四、在等腰梯形中求线段和的最小值
图4例4 如图4，已知四边形ABCD中，BD=4，直线MN为四边形ABCD的对称轴，P为MN上一动点，求PC PD的最小值.（锦州市）
分析 由于MN为四边形ABCD的对称轴，故连接对角线AC或BD均交于MN上，即交于P点，因此PA=PD，从而可知PC PD的最小值即为线段AC之长，也为BD之长.实现了折线PC PD转化为线段AC或BD的变化.
解 如图4，连接AC，交MN于P，再连接PD，则PD=PA，则PC PD=PC PA.易知BD=AC，所以（PC PD）min=BD=4.
五、在角中求线段和的最小值
图5例5 如图5，已知∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR周长的最小值.（枣庄市）
分析 点P是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一点使三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条线段，求出线段长度即可.
解 分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，易知RP=RP2，QP=QP1.OP1=OP2=OP=10，∠P1OP2=2∠AOB=90°，因而PR RQ QP=RP2 RQ QP1=P1P2，从而实现了化三线段之和为直线段P1P2的长.因此P1P2=OP21 OP22=102 102=102，这就是△PQR周长的最小值.
六、在直角坐标系中求线段和的最小值
图6例6 如图6，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B（6，4），点C（0，4），点D（6，2），P（2，4）.点N为线段AO上的动点，又有点M为线段CO上的动点，求线段PM MN ND的最小值.（洛阳市）
分析 要求线段PM MN ND的最小值，只要作出P点关于y轴的对称点P′，作出D点关于x轴的对称点D′，使MN在P′D′上即可.
解 如图6所示，作点D关于x轴的对称点D′，作点P关于y轴的对称点P′，此时由轴对称性知MP′=MP，ND=ND′，连接P′D′，分别交y轴、x轴于M，N两点，此时线段PM MN ND的最小值=MP′ MN ND′=线段P′D′的长度，∴在Rt△P′BD′中，P′D′=BP′2 BD′2=82 62=10，因此线段PM MN ND的最小值为10. 七、在菱形中求线段和的最小值
图7例7 在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，
P是对角线AC上的一个动点，则PE PB的最小值是.（赤峰市）
分析 如图7，在菱形ABCD中，点B与点D关于AC对称，设DE交AC于点P′，则点P运动到点P′时，PE PB的最小值就是线段DE的长，用勾股定理可求出DE的长.
解 因为在菱形ABCD中，AD=AB，∠BAD=60°，
所以△ABD是等边三角形，因为E是AB的中点，
所以∠DEA=90°，AE=12AB=1，
所以DE=AD2-AE2=
22-12=3，
所以PE PB的最小值是3.
八、在矩形中求线段和的最小值
图8例8 如图8，矩形ABCD中，AB=20 cm，BC=10 cm，
若在AC，AB上各取一点M，N，使得MB MN的值最小，求這个最小值.（湖州市）
分析 要使BM MN的值最小，应设法将折线“拉直”，于是从作出B点关于AC的对称点入手.
解 如图8，作B关于AC的对称点B′，连接AB′，交DC于P，则点N关于AC的对称点为AB′上的N′点，这时BM MN的最小值等于BM MN′的最小值，显然等于B到AB′的距离BH.连接BP，则S△ABP=12×20×10=100（cm2），设AP=x，则PC=x，DP=20-x.由x2=102 （20-x）2，解得x=12.5.
过点B作BH⊥AP于H.
∵S△ABP=12·AP·BH=100，∴BH=100×212.5=16（cm）.∴BM MN的最小值为16 cm.
综上所述，求线段和的最小值问题，用得较多的依据是“轴对称性质和两点之间线段最短的性质”，有时还可依据“直线外一点与直线上各点的所连线段中垂线段最短”求解.
附练习题
图91.如图9，已知菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，E是AB的中点，当F在对角线AC上时，FE FB的最小值是.（宿迁市）
（提示：根据菱形的性质，可知B，D两点关于直线AC对称.连接DE交AC于点F，则FE FB=FE FD=DE.因为∠ABC=120°，所以∠DAB=∠ABD=60°，所以△ABD是正三角形，不难求出DE=33，即FE FB的最小值是33.）
图102.如图10，已知点A是半圆MN上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则PA PB的最小值是 .（北海市）
（提示：作点A关于直线MN的对称点A′，根据圆的轴对称性可知A′在⊙O上.连接A′B交MN于点P.不难求出弧A′B的度数等于90°.在Rt△A′OB中，OB=OA′=1，所以A′B=2，即PA PB的最小值是2.）
图113.已知点A是锐角∠MON内的一点，请分别在OM，ON上确定点B、点C，使△ABC的周长最小.如图11，若∠MON=30°，OA=8，则△ABC的周长的最小值是.（温州市）
（提示：仿例5解，△ABC的周长的最小值是8.）
图124.如图12，BC=6，以BC为边作△ABC，点D，E分别是AB，AC边的中点，且BC边上的高为4，BC边上有一动点P，使得△PDE周长最小，请求出△PDE周长的最小值.（信阳市）
（提示：作点E关于BC的对称点E′，求出DE′=5，即可求出△PDE周长的最小值.）
图135.如图13，在边长为1的正方形ABCD中，点M，N，O，P分别在边AB，BC，CD，DA上.如果AM=BM，DP=3AP，求MN NO OP的最小值.（泉州市）
（提示：作点P关于CD的对称点P′，作点M关于BC的对称点M′，P′M′分别交BC，CD于点N，O，则MN NO OP的最小值=P′M′=1 342 1 122=854.）
【参考文献】
[1]于志洪.用抛物线轴对称性求线段和的最小值[J].初中生天地，2017（7）：90-93.
[2]于志洪.应用轴对称变换求线段和的最小值[J].现代中学生，2019（4）：16-18.
[3]胡锦秀.智用轴对称巧求最小值[M].初中数学一点通，2016（2）：12-14.