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摘要：2008年全国Ⅰ（理）第10题在把握新课改本质的基础上，以新颖的视角、创新的手法进行精心的构思和艺术化的剪裁，以问题为中心，知识为纽带，横纵之间相互渗透，各种思想方法融会贯通，充分体现了以“能力立意”的命题宗旨. 本文将对该题一些有代表性的解法进行讨论汇总，以期引玉.
关键词：客观题；精妙；解法；汇总
一个问题的价值取向并不在于它的深奥，而在于它的功效；剖析问题最合理的途径就是对问题进行迁移和转化，而迁移和转化方式的不同则取决于对问题情境的感受程度的不同. 2008年全国Ⅰ（理）第10题在解析几何、三角函数、不等式三方面知识的交汇点处进行设计，立意新颖，毫无赘言，思维开放度高，解法多样，充分体现了知识与技巧并重、基础与能力并举.
试题若直线+=1通过点M（cosα，sinα），则（）
A. ?摇a2+b2≤1 B. a2+b2≥1
C. +≤1 D. +≥1
解法1利用直线与圆的位置关系
由点M（cosα，sinα）的坐标特征可知，点M为单位圆x2+y2=1上任意一点. 依题意，直线+=1与圆x2+y2=1有公共点，即直线与圆相交或相切，故圆心到直线的距离d=≤1，从而+≥1，故答案为D.
点评此法的关键是根据点的特征联想到单位圆上的点，把问题转化为直线与圆有交点，这可能是命题人的出发点.
解法2利用排除法
本题需要判断a2+b2，+与1的大小关系，由于直线在坐标轴上的截距a，b和单位圆上的点M都具有任意性，故可用特殊位置来排除错误选项，如图1、图2所示.
图1
图2
由图1可得a2+b2<1，+>1，故B、C答案错误. 由图2可得a2+b2>1，故答案A错误. 排除答案A、B、C，故答案为D.
点评高考数学的选择题是单项选择，如果不能很快形成直接解题的思路，便可通过排除错误选项来间接得到正确的答案.
解法3利用三角函数的有界性
把点M（cosα，sinα）代入直线方程+=1得+=1，+=•cosα+sinα=sin（α+φ）（其中tanφ=）.
因为+=1，而sin（α+φ）≤1，所以≥1，从而+≥1. 故答案为D.
点评此法的关键在于通过将式子转化为一个角的三角函数，并利用正弦函数的有界性，巧妙地找出正确选项.
解法4利用向量的数量积
把点M（cosα，sinα）代入直线方程+=1得+=1，构造向量m=，，n=（cosα，sinα），则m•n=•cosα+sinα，而m=，n==1. 因为m•n≤m•n，所以1=cosα+sinα≤，从而+≥1. 故答案为D.
点评此法通过构造向量，实现了向量数量积与向量的模之间的不等转化.
解法5利用基本不等式
把点M（cosα，sinα）代入直线方程+=1得+=1. 两边平方得++=1，而=2••≤+.
因为+++=+=+，所以+≥1. 故答案为D.
点评此法利用了基本不等式s2+t2≥2st及“1”的等价变形sin2α+cos2α=1.
解法6利用消元法
把点M（cosα，sinα）代入直线方程+=1得+=1，则=.
所以+=+=
==≥1，从而+≥1. 故答案为D.
?摇点评此法利用了消元法来减少变量，并通过配方，利用完全平方的非负性进行证明.
解法7利用柯西不等式
把点M（cosα，sinα）代入直线方程+=1得+=1. 由柯西不等式得+=+•（cos2α+sin2α）≥+2=1，故答案为D.
点评此题利用柯西不等式，结合sin2α+cos2α=1这一条件，实现快速解答.
解法8利用参数方程
把点M（cosα，sinα）代入直线方程+=1得+=1. 令+=λ2（λ≠0），设=λcosθ，=λsinθ，
所以λcosθcosα+λsinθsinα=1，即λcos（θ－α）=1.
因为cos（θ－α）≤1，
所以λ≥1，从而+≥1.
故答案为D.
点评此法通过引入参数，借助参数方程，并利用三角函数的有界性进行了证明.
本题在知识的交汇处设计，以最常见、最美观的形式展现，考查了最基本、最重要的知识点，解决问题的思路活、途径广，考生应试很容易“入题”，也不难寻求正确答案，区别主要在于解决问题所花时间的长短. 此题在朴实中凸显能力，不愧为一道精妙的高考试题.
关键词：客观题；精妙；解法；汇总
一个问题的价值取向并不在于它的深奥，而在于它的功效；剖析问题最合理的途径就是对问题进行迁移和转化，而迁移和转化方式的不同则取决于对问题情境的感受程度的不同. 2008年全国Ⅰ（理）第10题在解析几何、三角函数、不等式三方面知识的交汇点处进行设计，立意新颖，毫无赘言，思维开放度高，解法多样，充分体现了知识与技巧并重、基础与能力并举.
试题若直线+=1通过点M（cosα，sinα），则（）
A. ?摇a2+b2≤1 B. a2+b2≥1
C. +≤1 D. +≥1
解法1利用直线与圆的位置关系
由点M（cosα，sinα）的坐标特征可知，点M为单位圆x2+y2=1上任意一点. 依题意，直线+=1与圆x2+y2=1有公共点，即直线与圆相交或相切，故圆心到直线的距离d=≤1，从而+≥1，故答案为D.
点评此法的关键是根据点的特征联想到单位圆上的点，把问题转化为直线与圆有交点，这可能是命题人的出发点.
解法2利用排除法
本题需要判断a2+b2，+与1的大小关系，由于直线在坐标轴上的截距a，b和单位圆上的点M都具有任意性，故可用特殊位置来排除错误选项，如图1、图2所示.
图1
图2
由图1可得a2+b2<1，+>1，故B、C答案错误. 由图2可得a2+b2>1，故答案A错误. 排除答案A、B、C，故答案为D.
点评高考数学的选择题是单项选择，如果不能很快形成直接解题的思路，便可通过排除错误选项来间接得到正确的答案.
解法3利用三角函数的有界性
把点M（cosα，sinα）代入直线方程+=1得+=1，+=•cosα+sinα=sin（α+φ）（其中tanφ=）.
因为+=1，而sin（α+φ）≤1，所以≥1，从而+≥1. 故答案为D.
点评此法的关键在于通过将式子转化为一个角的三角函数，并利用正弦函数的有界性，巧妙地找出正确选项.
解法4利用向量的数量积
把点M（cosα，sinα）代入直线方程+=1得+=1，构造向量m=，，n=（cosα，sinα），则m•n=•cosα+sinα，而m=，n==1. 因为m•n≤m•n，所以1=cosα+sinα≤，从而+≥1. 故答案为D.
点评此法通过构造向量，实现了向量数量积与向量的模之间的不等转化.
解法5利用基本不等式
把点M（cosα，sinα）代入直线方程+=1得+=1. 两边平方得++=1，而=2••≤+.
因为+++=+=+，所以+≥1. 故答案为D.
点评此法利用了基本不等式s2+t2≥2st及“1”的等价变形sin2α+cos2α=1.
解法6利用消元法
把点M（cosα，sinα）代入直线方程+=1得+=1，则=.
所以+=+=
==≥1，从而+≥1. 故答案为D.
?摇点评此法利用了消元法来减少变量，并通过配方，利用完全平方的非负性进行证明.
解法7利用柯西不等式
把点M（cosα，sinα）代入直线方程+=1得+=1. 由柯西不等式得+=+•（cos2α+sin2α）≥+2=1，故答案为D.
点评此题利用柯西不等式，结合sin2α+cos2α=1这一条件，实现快速解答.
解法8利用参数方程
把点M（cosα，sinα）代入直线方程+=1得+=1. 令+=λ2（λ≠0），设=λcosθ，=λsinθ，
所以λcosθcosα+λsinθsinα=1，即λcos（θ－α）=1.
因为cos（θ－α）≤1，
所以λ≥1，从而+≥1.
故答案为D.
点评此法通过引入参数，借助参数方程，并利用三角函数的有界性进行了证明.
本题在知识的交汇处设计，以最常见、最美观的形式展现，考查了最基本、最重要的知识点，解决问题的思路活、途径广，考生应试很容易“入题”，也不难寻求正确答案，区别主要在于解决问题所花时间的长短. 此题在朴实中凸显能力，不愧为一道精妙的高考试题.