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摘 要:数学错误是普遍存在于数学学习中因学习思维、教学方式等因素形成的对数学知识产生的误读现象。本文即从知识迁移、逻辑错误、概念错误等方面对数学错误的诱因进行了深入分析。
关键词:高中数学常见错误类型诱因
中图分类号:G434 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)04(c)-0061-01
1 高中生数学学习中的常见错误类型
就笔者的教学实践来看,高中生数学学习的常见数学错误类型,可大致定义为以下几类:(1)知识点定义、概念或原理混淆,尤其是概念实质模糊和相似相近概念的混淆引发的数学错误;(2)推理无据,包括由于滥用法则、循环论证或臆造定理等导致数学解题出现错误的现象;(3)忽视概念或约束条件中的隐含条件、定理适用范围等命题条件形成的错误;(4)学习者因知识点掌握不够全面、细致或解题考虑不周等引起的错误,尤为典型的是以偏概全、忽视特例以及审题不当等导致的错误。
2 高中生数学学习常见错误的诱因分析
2.1 数学知识认知的负向迁移
增强学生知识的迁移能力是数学教学的重要教学目标之一,在将所学知识应用至崭新或陌生的数学情境中时,为另一学习过程干扰或抑制的过程,即称为学习的负向迁移。尽管在教学实践中包括教材安排、备课授课,都尽可能地趋向知识的正迁移,但由于学生认知规律的影响,知识负迁移仍不可避免地会出现。就教育心理学而言,依据学习者新接触知识与原认知结构间的包摄、概括水平,可将数学知识学习细分为三类:上位学习(新知识的包摄、概括水平高于原知识结构),并列结合学习(新旧知识间不存在总括或从属关系),下位学习(新知识的包摄、概括水平低于原认知结构)。通常而言,前二者中的负迁移相对严重,尤其是在固有认知结构向新学习知识的迁移过程中表现的尤为明显。
譬如数的扩展是由自然数、分数、有理数直至复数的,前面由自然数至实数的环节都属于顺向思维,包括运算法则、运算等都能类推过来。而复数部分则上升为二元数的运算,思维跨度较大,部分学生可能就会将实数适用的公式应用于复数,导致负迁移。如下题:
方程=0的两虚根满足,试求实数的值。其中学生就有可能对复数的模的定义出现误解,即未能将的涵义作出准确区分,出现这样的错误:∵∴(x1-x2)2=4,由此出现了错误的结论。
而正确答案应为:由题可知,=-0.5,且,所以、的虚部为1。所以=－0.25+i,=-0.25-i,由根与系数的关系可得:a=(-0.25+i)(-0.25-i)=17/16。
出现这种情况的原因,就是由于学生在数的扩展概念的学习中,长期受顺向思维的影响,容易将实数适用的公式直接移植到复数学习中,导致数学错误的发生。而事实上,只需要学生处理好概念推广与运算推广间的意义,区分好实数绝对值的定义与复数概念的差别,即该定义含有实数绝对值的定义(b=0时),但其中也包含b≠0时,z不是非負数这的内涵。学生能准确地区分其中差别,就能在该题中游刃有余了,否则就可能会在知识自下而上的负迁移中出现错误。
2.2 数学学习中的逻辑性错误
这主要指学生在学习数学基础知识及基本技能中因违反逻辑规则出现的错误。可分为两类:由于命题逻辑本身存在的易混性或难解导致的错误;学生对数理公式欠缺深层次认识引发的错误。其表现在高中生的数学学习可区分为以下几类。
(1)已知命题条件中包括部分隐含条件或常用公理性质的。尽管学生已于日常学习中基本熟悉或掌握这些内容,但由于对数学严谨性要求体会较浅、解题急于求成等因素的影响,学生可能得出错误结论。如已知圆:=4与抛物线:无公共点,试求a的取值范围？很多同学就没有注意到图像没有交点与图像自身范围限定间的关联,以致得出错解,直接联立方程,得出,＜0,a＞13/6。在该类存在命题“陷阱”的例习题中,学生只需逐步养成反思的习惯,就能大致改正过来,并思考得出以下正确结论:
抛物线:y2=6x,隐含限制x≥0,因此联立后的方程在x,≥0范围内无实根。这样学生就可根据补集的思想,先求取方程在x≥0内有实根的情况,再求补集。即△≥0,≥0,≥0;或△≥0,≤0,得出-2≤a≤2。进而求取方程在c≥0没有实根时a的范围:a＜-2或a＞2。
(2)因忽视已知条件引申得出的中间条件,取值范围扩张导致的错误。如ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的条件为△≥0,但如果题内的隐含条件包括x＞0,则一旦学生忽视了该中间条件,就会导致△≥0变相地扩大取值范围。
2.3 数学概念性错误
由于概念认知散碎或理解模糊,都可能致使解题时出现张冠李戴、应用失当等情况,常见的概念性错误可分为如下几类。
(1)邻近概念的混淆。即陈述接近、内涵差别较小等概念在应用上出现的混淆情况。知识点之间的低区分度是引发学生概念混淆的关键问题。(2)日常概念的影响。主要指科学概念与生活经验混为一谈,尤其是生活概念的宽泛性与模糊性,很容易造成数学概念应用上的错误。(3)概念的内涵和外延被混淆,概念的内涵定义被扩大或缩小。概念教学通常以实例来引导学生总结归纳出概念的本质,但学生在后续学习中依旧有可能因概念的内涵过于丰富或严格而出现概念性的错误。如函数的值域概念,在类似,x∈[0,3]等值域的求取中,学生就可能会因忽视函数定义域,对称轴的位置而出现数学错误。(4)概念发展的错误。知识的学习具有积累性特征,在学生的学习由此阶段转向另一阶段的过程中,如认知结构未与层次实现同步转变,就会导致学习概念的错误。譬如说初中阶段函数的概念理解为:某变化过程中,变量X在某一范围内确定值,Y均有唯一的确定值相对应,称为Y是X的函数。而高中阶段我们更为强调函数的对应的定义,从A到B的映射f:A→B称为函数,y＝f(x),其中x∈A,y∈B。如果学生不能对初中函数运动变化的定义理解清楚,那么要真正理解高中阶段函数的对应定义就比较困难了。
3 结语
综上所述,在高中生数学错误类型及成因分析的基础上,要最大限度地发掘其中的数学错误的教学意蕴,就应从以下几点着重落实:一是通过预测、课堂提问等诊断性评价手段,针对学生的固有认知结构与学习需求,巩固和提高学生对新知的认识;二是将数学错转化为教学资源并作有效整合,以数学错误专题练习等形式构设出符合学生需求的元认知环境,促进学生的自我诊断、反思与治疗,实现数学思维能力的提高。
参考文献
[1] 郑毓信.认知科学建构主义与数学教育[M].上海:上海教育出版社,2002.
[2] 陈峰.数学课堂有效活动的设计与实施[J].上海教育科研,2009(8).
[3] 贾香玉.高中数学思维障碍的成因及解决[D].大连:辽宁师范大学,2006.
[4] 唐绚红.利用数学“错误资源”,促进学生能力发展[J].教育科研论坛,2008(1).
关键词:高中数学常见错误类型诱因
中图分类号:G434 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)04(c)-0061-01
1 高中生数学学习中的常见错误类型
就笔者的教学实践来看,高中生数学学习的常见数学错误类型,可大致定义为以下几类:(1)知识点定义、概念或原理混淆,尤其是概念实质模糊和相似相近概念的混淆引发的数学错误;(2)推理无据,包括由于滥用法则、循环论证或臆造定理等导致数学解题出现错误的现象;(3)忽视概念或约束条件中的隐含条件、定理适用范围等命题条件形成的错误;(4)学习者因知识点掌握不够全面、细致或解题考虑不周等引起的错误,尤为典型的是以偏概全、忽视特例以及审题不当等导致的错误。
2 高中生数学学习常见错误的诱因分析
2.1 数学知识认知的负向迁移
增强学生知识的迁移能力是数学教学的重要教学目标之一,在将所学知识应用至崭新或陌生的数学情境中时,为另一学习过程干扰或抑制的过程,即称为学习的负向迁移。尽管在教学实践中包括教材安排、备课授课,都尽可能地趋向知识的正迁移,但由于学生认知规律的影响,知识负迁移仍不可避免地会出现。就教育心理学而言,依据学习者新接触知识与原认知结构间的包摄、概括水平,可将数学知识学习细分为三类:上位学习(新知识的包摄、概括水平高于原知识结构),并列结合学习(新旧知识间不存在总括或从属关系),下位学习(新知识的包摄、概括水平低于原认知结构)。通常而言,前二者中的负迁移相对严重,尤其是在固有认知结构向新学习知识的迁移过程中表现的尤为明显。
譬如数的扩展是由自然数、分数、有理数直至复数的,前面由自然数至实数的环节都属于顺向思维,包括运算法则、运算等都能类推过来。而复数部分则上升为二元数的运算,思维跨度较大,部分学生可能就会将实数适用的公式应用于复数,导致负迁移。如下题:
方程=0的两虚根满足,试求实数的值。其中学生就有可能对复数的模的定义出现误解,即未能将的涵义作出准确区分,出现这样的错误:∵∴(x1-x2)2=4,由此出现了错误的结论。
而正确答案应为:由题可知,=-0.5,且,所以、的虚部为1。所以=－0.25+i,=-0.25-i,由根与系数的关系可得:a=(-0.25+i)(-0.25-i)=17/16。
出现这种情况的原因,就是由于学生在数的扩展概念的学习中,长期受顺向思维的影响,容易将实数适用的公式直接移植到复数学习中,导致数学错误的发生。而事实上,只需要学生处理好概念推广与运算推广间的意义,区分好实数绝对值的定义与复数概念的差别,即该定义含有实数绝对值的定义(b=0时),但其中也包含b≠0时,z不是非負数这的内涵。学生能准确地区分其中差别,就能在该题中游刃有余了,否则就可能会在知识自下而上的负迁移中出现错误。
2.2 数学学习中的逻辑性错误
这主要指学生在学习数学基础知识及基本技能中因违反逻辑规则出现的错误。可分为两类:由于命题逻辑本身存在的易混性或难解导致的错误;学生对数理公式欠缺深层次认识引发的错误。其表现在高中生的数学学习可区分为以下几类。
(1)已知命题条件中包括部分隐含条件或常用公理性质的。尽管学生已于日常学习中基本熟悉或掌握这些内容,但由于对数学严谨性要求体会较浅、解题急于求成等因素的影响,学生可能得出错误结论。如已知圆:=4与抛物线:无公共点,试求a的取值范围？很多同学就没有注意到图像没有交点与图像自身范围限定间的关联,以致得出错解,直接联立方程,得出,＜0,a＞13/6。在该类存在命题“陷阱”的例习题中,学生只需逐步养成反思的习惯,就能大致改正过来,并思考得出以下正确结论:
抛物线:y2=6x,隐含限制x≥0,因此联立后的方程在x,≥0范围内无实根。这样学生就可根据补集的思想,先求取方程在x≥0内有实根的情况,再求补集。即△≥0,≥0,≥0;或△≥0,≤0,得出-2≤a≤2。进而求取方程在c≥0没有实根时a的范围:a＜-2或a＞2。
(2)因忽视已知条件引申得出的中间条件,取值范围扩张导致的错误。如ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的条件为△≥0,但如果题内的隐含条件包括x＞0,则一旦学生忽视了该中间条件,就会导致△≥0变相地扩大取值范围。
2.3 数学概念性错误
由于概念认知散碎或理解模糊,都可能致使解题时出现张冠李戴、应用失当等情况,常见的概念性错误可分为如下几类。
(1)邻近概念的混淆。即陈述接近、内涵差别较小等概念在应用上出现的混淆情况。知识点之间的低区分度是引发学生概念混淆的关键问题。(2)日常概念的影响。主要指科学概念与生活经验混为一谈,尤其是生活概念的宽泛性与模糊性,很容易造成数学概念应用上的错误。(3)概念的内涵和外延被混淆,概念的内涵定义被扩大或缩小。概念教学通常以实例来引导学生总结归纳出概念的本质,但学生在后续学习中依旧有可能因概念的内涵过于丰富或严格而出现概念性的错误。如函数的值域概念,在类似,x∈[0,3]等值域的求取中,学生就可能会因忽视函数定义域,对称轴的位置而出现数学错误。(4)概念发展的错误。知识的学习具有积累性特征,在学生的学习由此阶段转向另一阶段的过程中,如认知结构未与层次实现同步转变,就会导致学习概念的错误。譬如说初中阶段函数的概念理解为:某变化过程中,变量X在某一范围内确定值,Y均有唯一的确定值相对应,称为Y是X的函数。而高中阶段我们更为强调函数的对应的定义,从A到B的映射f:A→B称为函数,y＝f(x),其中x∈A,y∈B。如果学生不能对初中函数运动变化的定义理解清楚,那么要真正理解高中阶段函数的对应定义就比较困难了。
3 结语
综上所述,在高中生数学错误类型及成因分析的基础上,要最大限度地发掘其中的数学错误的教学意蕴,就应从以下几点着重落实:一是通过预测、课堂提问等诊断性评价手段,针对学生的固有认知结构与学习需求,巩固和提高学生对新知的认识;二是将数学错转化为教学资源并作有效整合,以数学错误专题练习等形式构设出符合学生需求的元认知环境,促进学生的自我诊断、反思与治疗,实现数学思维能力的提高。
参考文献
[1] 郑毓信.认知科学建构主义与数学教育[M].上海:上海教育出版社,2002.
[2] 陈峰.数学课堂有效活动的设计与实施[J].上海教育科研,2009(8).
[3] 贾香玉.高中数学思维障碍的成因及解决[D].大连:辽宁师范大学,2006.
[4] 唐绚红.利用数学“错误资源”,促进学生能力发展[J].教育科研论坛,2008(1).