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【摘要】 国际数学教育界关于基础数学教育现代化的问题提出了如下观点：“数学教育的现代化，并不只是要进行‘现代数学的教学’，而是要进行‘数学的现代教学’，要把基础数学教育建立在现代数学的思想基础上，并使用现代数学的方法和语言.”这充分体现了对数学思想方法的重视. 而转换和化归是数学思想方法的“主梁”思想和精髓，所以我们有必要对化归作一个全面的了解. 数学思想方法对教学为什么如此重要，而化归又是什么？如何实现化归？实现化归有哪些途径？下面我根据上述问题并结合前人的看法进行一些具体的阐述.
【关键词】 化归；化归思想；化归原则；同化；顺应；辅助问题
一、数学思想方法的再认识
从我们的教学实践来看，中小学数学教育的现代化主要不是内容的现代化，而是数学思想、方法及教学手段的现代化，加强数学思想方法的教学是基础数学教育现代化的关键. 特别是对能力培养这一问题的探讨与摸索，以及社会对数学价值的要求，使我们更进一步地认识到数学思想方法的重要性.
从素质教育的落实来看，创造能力的培养是素质教育的一个重要方面. 而“问题解决”则显然又与创造能力培养有着密切联系. 而化归与转换思想方法中的熟悉化原则、简单化原则、和谐化原则均可以为“问题解决”提供思维导向. “高分低能”是以前常见的一种教育结果. 要想“既高分，又高能”必须实施数学思想方法的教学，注意概念知识的发生、发展、应用过程的揭示与解释，并将这一过程中丰富的思维训练的因素挖掘出来.
从波利亚的学习的认知结构理论来看，数学学习过程其实质是一个数学认知结构的发展变化过程，这个过程是通过同化和顺应两种方式实现的，而数学思想方法对同化和顺应的进行，进而对认知结构的发展起重要作用.
实际上，无论是同化和顺应，都是在原数学认知结构和新的数学内容之间，改造一方去适应另一方，这种改造就是我们所讲的转换或化归，而转换或化归是数学思想方法体系中的“主梁”和精髓. 所以当务之急我们必须要来了解数学思想方法中这种转换或化归思想及实现它的途径.
二、化归的内涵
１. 化归思想
在对问题作细致观察的基础上，展开丰富的联想，以求唤起对有关旧知识的回忆，开启思维的大门，顺利地借助旧知识、旧经验来处理面临的新问题. 这种思想我们称之为“化归思想”，它的实质是通过事物内部的联系和矛盾运动，在转化中实现问题的规范化（熟悉或易于处理），即将待处理问题变化（转化）为规范问题，从而使原问题得到解决，简言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化.
下面我们就从思维方向的角度，来介绍一下化归思想的四种类型：纵向化归思想、横向化归思想、同向化归思想、逆向化归思想.
（１）纵向化归是把面临的新问题通过消元、降格（或降维、降价）等加工手段化归为已经解决了的问题，或是化归为熟悉的、简单的、具体的问题来处理，最后通过对新问题的解决而将原问题解决.
（２）横向化归就是通过对命题的有关量进行转换，各学科知识之间的转换，等价变换命题，运用同构变换等手段将生疏、复杂、困难的问题转换为熟悉、简单、容易的问题来处理.
例1 解关于实数ｘ的方程ｘ４ － ６ｘ３ － ２（ａ － ３）ｘ２ ＋ ２（３ａ ＋ ４）ｘ ＋ ２ａ ＋ ａ２ ＝ ０（ａ∈Ｒ）.
分析 如果直接解关于ｘ的四次方程，这是较困难的，但转换ｘ与ａ的地位形式，把原方程看作关于ａ的二次方程，就可较容易的获得解答.
（３）同向化归思想就是把面临的新问题进行命题分割或分解，化归为某一（或几）个可简捷处理的子问题. 通过解决这一（或几）个子问题，从而也就解决了所有子问题；或在推演中进行同理推导、同解变形化简，等等. 这种化归就是在同一层次上“平行”转化.
例如：我们在证明“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”这条定理时，就用到了命题分割，把证明分割为三种情形，并将这些不同的情形归结为其中的一种情形即图（２）、（３）均化归为（１）的两种组合而获证.
（４）逆向化归思维：从辩证思维的观念出发，从问题或其中的某个方面的另一面入手进行思考，例如针对常规处理方法，针对问题条件、结论、求解程序、推理步骤进行逆向化归，采取顺繁则逆，正难则反的适时化归措施，这就是所谓的逆向化归思想. 逆向化归的形式，常有升格（升维、升次、增项、增元、扩域等）、倒推、反求、反证、举反例等.
２. 化归原则
由未知到已知、由难到易、由复杂到简单的转化，这种重要的思维特点，从方法论的角度来说，也就是所谓的化归原则.
应用化归原则解决问题的一般模式为：
从其基本思想而言，我们可以看出，化归原则与波利亚关于解题过程中应充分利用“辅助问题”的思想是十分一致的，但是与之比较，化归原则更具有很强的目的性、方向性和概括性. 所以化归原则可以看成是对波利亚有关于思想的进一步发挥或发展.
３. 化归方法
这是对化归原则的具体应用. 即如何实现由所要解决的问题向已经解决的或较易解决的问题的转化. 化归方法很多，具体的有：恒等变换法、一般向特殊的化归、影射反演法等.
就化归而言，对化归的内涵的认识是非常重要的，但更加重要的是我们在实际解题时对化归方法的选择和应用.
三、化归方法的定义及主要实现化归的途径
中学数学中许多复杂问题，都可以通过解析式的恒等变换化归成简单问题. 恒等变换是化归的主要途径之一，恒等变换法就是通过解析式的各种恒等变形，将复杂的问题转化为简单的问题的方法. 它包括分割法、配方法、待定系数法等方法. 恒等变换法提供了解题技巧，便于问题的解决.
（１）分割法：把式子（图形）按照可能或需要分割成若干部分，达到化整为零，分散处理的目的，使他们更易于求解，这种方法称为分割法.
分割法流程图：
从上例可以看出，将复杂问题化归到简单问题，分割法确实是一种很好的手段. 分割法不仅体现在代数问题上，还被用在几何问题上. 分割法的核心在于：首先求得局部的解决，再进而求得整体的解决.由于这是一个一般的思维原则，因此在数学中分割法有着更为广泛的应用.
（２）配方法：这是一种较为特殊的恒等变换方法，它是以二次三项式ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ二次项与一次项为准，另配一常数项，使得这个二次三项化为完全平方与某常数之和.
例3 求解方程：ｘ４ － ２ｘ３ － ２４ｘ２ ＋ ８０ｘ － ６４ ＝ ０.
思路分析 可以通过配方法降低方程的阶数，化归为较低阶方程的求解问题.
解 x4 - 2x3 - 24x2 + 80x - 64＝ （ｘ４ － ２ｘ３ ＋ ｘ２） － （２５ｘ２ － ８０ｘ ＋ ６４） ＝ （ｘ２ － ｘ）２ － （５ｘ － ８）２ ＝ （ｘ２ － ６ｘ ＋ ８）（ｘ２ ＋ ４ｘ － ８）＝ ０.
从上例可知，通过“配方法”可将原四次方程的求解化归成两个二次方程的求解问题，从而使问题得到简化.
（３）待定系数法：它是把一个多项式变成另一个多项式时，其中用字母表示未知数，通常叫待定系数. 应用多项式恒等定理，比较恒等式两边对应系数，得出待定系数的方程或方程组，解之得待定系数的值. 这种确定系数的方法称为待定系数法. 也称比称法． 待定系数的实质仍是恒等变化. 利用待定系数法可以分解因式，求多项式的商式和余式，求函数的表达式、解方程，对多项式进行恒等变换等.
当然在数学中，恒等变形常常被用以实现由未知（难、复杂）向已知（易、简单）的化归. 但有时候也会出现一定的“误差”，比如在分式方程“整式化”与无理方程“有理化”的过程中，有可能产生增根；然而，只要我们注意“误差”的纠正（排除增根）. 所说的方法仍然是十分有效的.
总之，化归法无论在教学上还是在科研中都有着重要作用. 但是实现化归的方法多种多样，我们不应把眼光只停留在某几种方法上，应以可变的观点去看待问题，应始终“盯住”目标：（1）有目的，有意识进行化归，应始终“盯住”目标.（2）对于寻找正确的化归途径，应该努力实践，不断探索. （3）努力寻找最佳化归途径.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】 化归；化归思想；化归原则；同化；顺应；辅助问题
一、数学思想方法的再认识
从我们的教学实践来看，中小学数学教育的现代化主要不是内容的现代化，而是数学思想、方法及教学手段的现代化，加强数学思想方法的教学是基础数学教育现代化的关键. 特别是对能力培养这一问题的探讨与摸索，以及社会对数学价值的要求，使我们更进一步地认识到数学思想方法的重要性.
从素质教育的落实来看，创造能力的培养是素质教育的一个重要方面. 而“问题解决”则显然又与创造能力培养有着密切联系. 而化归与转换思想方法中的熟悉化原则、简单化原则、和谐化原则均可以为“问题解决”提供思维导向. “高分低能”是以前常见的一种教育结果. 要想“既高分，又高能”必须实施数学思想方法的教学，注意概念知识的发生、发展、应用过程的揭示与解释，并将这一过程中丰富的思维训练的因素挖掘出来.
从波利亚的学习的认知结构理论来看，数学学习过程其实质是一个数学认知结构的发展变化过程，这个过程是通过同化和顺应两种方式实现的，而数学思想方法对同化和顺应的进行，进而对认知结构的发展起重要作用.
实际上，无论是同化和顺应，都是在原数学认知结构和新的数学内容之间，改造一方去适应另一方，这种改造就是我们所讲的转换或化归，而转换或化归是数学思想方法体系中的“主梁”和精髓. 所以当务之急我们必须要来了解数学思想方法中这种转换或化归思想及实现它的途径.
二、化归的内涵
１. 化归思想
在对问题作细致观察的基础上，展开丰富的联想，以求唤起对有关旧知识的回忆，开启思维的大门，顺利地借助旧知识、旧经验来处理面临的新问题. 这种思想我们称之为“化归思想”，它的实质是通过事物内部的联系和矛盾运动，在转化中实现问题的规范化（熟悉或易于处理），即将待处理问题变化（转化）为规范问题，从而使原问题得到解决，简言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化.
下面我们就从思维方向的角度，来介绍一下化归思想的四种类型：纵向化归思想、横向化归思想、同向化归思想、逆向化归思想.
（１）纵向化归是把面临的新问题通过消元、降格（或降维、降价）等加工手段化归为已经解决了的问题，或是化归为熟悉的、简单的、具体的问题来处理，最后通过对新问题的解决而将原问题解决.
（２）横向化归就是通过对命题的有关量进行转换，各学科知识之间的转换，等价变换命题，运用同构变换等手段将生疏、复杂、困难的问题转换为熟悉、简单、容易的问题来处理.
例1 解关于实数ｘ的方程ｘ４ － ６ｘ３ － ２（ａ － ３）ｘ２ ＋ ２（３ａ ＋ ４）ｘ ＋ ２ａ ＋ ａ２ ＝ ０（ａ∈Ｒ）.
分析 如果直接解关于ｘ的四次方程，这是较困难的，但转换ｘ与ａ的地位形式，把原方程看作关于ａ的二次方程，就可较容易的获得解答.
（３）同向化归思想就是把面临的新问题进行命题分割或分解，化归为某一（或几）个可简捷处理的子问题. 通过解决这一（或几）个子问题，从而也就解决了所有子问题；或在推演中进行同理推导、同解变形化简，等等. 这种化归就是在同一层次上“平行”转化.
例如：我们在证明“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”这条定理时，就用到了命题分割，把证明分割为三种情形，并将这些不同的情形归结为其中的一种情形即图（２）、（３）均化归为（１）的两种组合而获证.
（４）逆向化归思维：从辩证思维的观念出发，从问题或其中的某个方面的另一面入手进行思考，例如针对常规处理方法，针对问题条件、结论、求解程序、推理步骤进行逆向化归，采取顺繁则逆，正难则反的适时化归措施，这就是所谓的逆向化归思想. 逆向化归的形式，常有升格（升维、升次、增项、增元、扩域等）、倒推、反求、反证、举反例等.
２. 化归原则
由未知到已知、由难到易、由复杂到简单的转化，这种重要的思维特点，从方法论的角度来说，也就是所谓的化归原则.
应用化归原则解决问题的一般模式为：
从其基本思想而言，我们可以看出，化归原则与波利亚关于解题过程中应充分利用“辅助问题”的思想是十分一致的，但是与之比较，化归原则更具有很强的目的性、方向性和概括性. 所以化归原则可以看成是对波利亚有关于思想的进一步发挥或发展.
３. 化归方法
这是对化归原则的具体应用. 即如何实现由所要解决的问题向已经解决的或较易解决的问题的转化. 化归方法很多，具体的有：恒等变换法、一般向特殊的化归、影射反演法等.
就化归而言，对化归的内涵的认识是非常重要的，但更加重要的是我们在实际解题时对化归方法的选择和应用.
三、化归方法的定义及主要实现化归的途径
中学数学中许多复杂问题，都可以通过解析式的恒等变换化归成简单问题. 恒等变换是化归的主要途径之一，恒等变换法就是通过解析式的各种恒等变形，将复杂的问题转化为简单的问题的方法. 它包括分割法、配方法、待定系数法等方法. 恒等变换法提供了解题技巧，便于问题的解决.
（１）分割法：把式子（图形）按照可能或需要分割成若干部分，达到化整为零，分散处理的目的，使他们更易于求解，这种方法称为分割法.
分割法流程图：
从上例可以看出，将复杂问题化归到简单问题，分割法确实是一种很好的手段. 分割法不仅体现在代数问题上，还被用在几何问题上. 分割法的核心在于：首先求得局部的解决，再进而求得整体的解决.由于这是一个一般的思维原则，因此在数学中分割法有着更为广泛的应用.
（２）配方法：这是一种较为特殊的恒等变换方法，它是以二次三项式ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ二次项与一次项为准，另配一常数项，使得这个二次三项化为完全平方与某常数之和.
例3 求解方程：ｘ４ － ２ｘ３ － ２４ｘ２ ＋ ８０ｘ － ６４ ＝ ０.
思路分析 可以通过配方法降低方程的阶数，化归为较低阶方程的求解问题.
解 x4 - 2x3 - 24x2 + 80x - 64＝ （ｘ４ － ２ｘ３ ＋ ｘ２） － （２５ｘ２ － ８０ｘ ＋ ６４） ＝ （ｘ２ － ｘ）２ － （５ｘ － ８）２ ＝ （ｘ２ － ６ｘ ＋ ８）（ｘ２ ＋ ４ｘ － ８）＝ ０.
从上例可知，通过“配方法”可将原四次方程的求解化归成两个二次方程的求解问题，从而使问题得到简化.
（３）待定系数法：它是把一个多项式变成另一个多项式时，其中用字母表示未知数，通常叫待定系数. 应用多项式恒等定理，比较恒等式两边对应系数，得出待定系数的方程或方程组，解之得待定系数的值. 这种确定系数的方法称为待定系数法. 也称比称法． 待定系数的实质仍是恒等变化. 利用待定系数法可以分解因式，求多项式的商式和余式，求函数的表达式、解方程，对多项式进行恒等变换等.
当然在数学中，恒等变形常常被用以实现由未知（难、复杂）向已知（易、简单）的化归. 但有时候也会出现一定的“误差”，比如在分式方程“整式化”与无理方程“有理化”的过程中，有可能产生增根；然而，只要我们注意“误差”的纠正（排除增根）. 所说的方法仍然是十分有效的.
总之，化归法无论在教学上还是在科研中都有着重要作用. 但是实现化归的方法多种多样，我们不应把眼光只停留在某几种方法上，应以可变的观点去看待问题，应始终“盯住”目标：（1）有目的，有意识进行化归，应始终“盯住”目标.（2）对于寻找正确的化归途径，应该努力实践，不断探索. （3）努力寻找最佳化归途径.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文