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“求三角函数的单调性”是高中三角函数知识中的重要内容，两年前，我在讲授这一知识的时候是这样设计的：
第四步：变式训练，如求函数f(x)=(12)sinx的单调区间等．
然后，在学生的作业和数学测试中反映出学生对求这类复合函数单调区间的问题掌握得却并不理想．对此我进行了深刻的反思与分析：
我觉得那时我把掌握技能作为教学的主要目标，没有很好地针对学生原有的知识水平，一味地想要学生按照某个固定的程序去解决这一类问题，忽视了知识发生与发展的过程，因而忽视了蕴涵在知识之中的思想方法，忽视了学生的情感与态度．此法简单、快捷，因而可以省出时间用于练习，但学生主要经历的是“接受、模仿与记忆”的学习过程．这反映出我当时对数学教育所持的基本观念：数学学习的主要目的是数学知识的获得与技能的掌握,并能用所学的知识与技能解题，数学学习的主要方式是“接受、模仿与记忆”，并反复练习，强化记忆，数学学习结果优劣主要表现为对文字、符号的理解能力，迅速而准确地运用所学的知识与技能模仿教师(课本)去解决类似的问题．现在我觉得这是行为主义观点指导下的传统教学，它没有发挥教育应有的功能，不符合学生的认知规律，学生不能真正理解问题的本质性东西，掌握不实也就不足为怪了．
基于对上面教学的反思，这次我在上这节习题课时进行了如下改进：
上课伊始，我同样给出上次的一道例题：求函数f(x)=3sin(π6-2x)的单调区间．但这次我不急于介绍复合函数及其单调区间的求解方法，而是先请两位成绩尚可的学生分别板演这个函数的单调递增区间与单调递减区间的求解过程．其中一学生求解单调递增区间，得到如下解法：
这时，我问学生：如在单调递增区间上，取两个值π6，π3，f(π6)与f(π3)大小如何？同学们一致认为f(π6)＜f(π3)．我问为什么？同学们说递增啊．我微笑着不予表态，而是请同学们进行验算，结果f(π6)=-32, f(π3)=-3, f(π6)＞f(π3).“这结果与已知结论矛盾!”有学生叫道．我假装不懂反问：“怎么会这样呢?”大家一脸疑惑，继而开始对这一例题的解法产生了浓厚的兴趣，积极性空前高涨．在我的鼓励下，展开了热烈的讨论．……，最后，同学们豁然开朗，问题的症结在于没有掌握复合函数的单调性规律!我这时把握时机，精练地阐述：求复合函数的单调性时要考虑合成的几个函数相互间的牵扯作用．设函数y=f(u)，u=g(x)都是单调函数，那么复合函数y=f［g(x)］在其定义域上也是单调函数．如果y=f(u)与u=g(x)的单调性相同，则复合函数y=f［g(x)］是增函数；若y=f(u)与u=g(x)的单调性相反，则复合函数y=f［g(x)］是减函数．简言之，即“同增异减”．(同学们课余可按照增减函数定义予以证明)
接着，我问学生：那么，这道例题应该怎样正确求解呢?
……
这节课学生学得主动、积极，在随后的练习反馈中，学生的解答正确率很高，对这节课，我也进行了反思与分析：
从现代认知心理学观点来看，学生的学习是以现有认知发展水平为出发点，以“最近发展区”为定向，在不断的产生错误和纠正错误的过程中进行的．学生只能在错误中学习，只有在成功与失败的亲身体验中才能真正领悟和掌握所学知识的精神实质(特别是思想方法)．因此，在数学课堂教学中，让学生在学习中经历适当的困难，使学生有通过自己的独立思考而克服困难的机会，在克服困难的过程中产生失败与成功的亲身体验，这是学生“学会学习”的根本保证．如果学生在学习过程中遇到困难不大，缺乏在容易产生错误的情景中的亲身体验，那么，在学习过程中的这种无挫折性会掩盖知识理解上的肤浅性、片面性，这就会造成知识记忆的困难，使知识难以灵活运用(特别是难以在复杂情景下运用)．不让学生经历知识的发生发展过程，未经学生独立思考就告诉学生结果(内容和表现形式)，这事实上是剥夺了学生亲身体验学习过程，特别是体验成功与失败的机会，结果必然会大大降低学习的质量，影响学生理解知识的深刻程度和洞察学习错误的敏锐程度．在这次教学设计中我立足于承认学生发展水平的限度，尊重学生现有发展水平，为学生提供了一个宽松自由的学习环境，让学生亲身经历数学知识的发生与发展过程．整节课遵循了学生的认知规律，体现了学生是主体的思想，致力于让学生对数学知识的真正理解，学生经历了“错误——质疑——反思——纠错——寻求合理的解释”等一系列的数学思维活动．学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到了进步和发展．我觉得这是建构主义观点指导下的数学教学，即教学必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上．学生有意义的学习不是一个被动接受知识、强化储存的过程，而是用原有的知识处理各项新的学习任务，通过同化和顺应等心理活动和变化，不断地构建和完善认知结构的过程．在这个过程中，教师不再是简单的知识传授者，而是一个组织者、引导者与合作者．
有一位教育学专家说过这样一段有意思的话：在今天中国的教室里坐着的是学生，站着的是先生，而在精神上，这种局面恰恰打了个颠倒——站着的先生占据着至尊之位，而坐着的学生的躯体内，却掩藏着一个战战兢兢的站着、甚至跪着的灵魂．长期以来，这种教育理念导致的一个直接恶果就是，教育者不是把受教育者看作活生生的人，而是把他们当作简单的知识容器．这严重摧残学生的心理，扼杀学生的个性和创造力．事实上，学生并不是一无所知地进入教室的，他们对待新问题总是用自己已有的知识经验来解释，从他们的知识背景出发作出合乎自己逻辑的假设．学生的学习活动不是由教师向学生传递知识，而是学生对外界信息进行选择和加工，通过新旧知识反复的、双向的相互作用在原有知识经验基础上对新信息进行编码，构建自己的理解，并且原有的经验又因新知识的进入而发生调整和改变．因此教学应当是知识的处理和转换，而不是灌输，教师不能无视或忽视学生的知识经验而另起炉灶，硬性从外部填充新知识，而应当视学生已有的知识经验为新知识学习的“生长点”，引导学生从原有的知识背景中“生长”出新的知识．
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
第四步：变式训练，如求函数f(x)=(12)sinx的单调区间等．
然后，在学生的作业和数学测试中反映出学生对求这类复合函数单调区间的问题掌握得却并不理想．对此我进行了深刻的反思与分析：
我觉得那时我把掌握技能作为教学的主要目标，没有很好地针对学生原有的知识水平，一味地想要学生按照某个固定的程序去解决这一类问题，忽视了知识发生与发展的过程，因而忽视了蕴涵在知识之中的思想方法，忽视了学生的情感与态度．此法简单、快捷，因而可以省出时间用于练习，但学生主要经历的是“接受、模仿与记忆”的学习过程．这反映出我当时对数学教育所持的基本观念：数学学习的主要目的是数学知识的获得与技能的掌握,并能用所学的知识与技能解题，数学学习的主要方式是“接受、模仿与记忆”，并反复练习，强化记忆，数学学习结果优劣主要表现为对文字、符号的理解能力，迅速而准确地运用所学的知识与技能模仿教师(课本)去解决类似的问题．现在我觉得这是行为主义观点指导下的传统教学，它没有发挥教育应有的功能，不符合学生的认知规律，学生不能真正理解问题的本质性东西，掌握不实也就不足为怪了．
基于对上面教学的反思，这次我在上这节习题课时进行了如下改进：
上课伊始，我同样给出上次的一道例题：求函数f(x)=3sin(π6-2x)的单调区间．但这次我不急于介绍复合函数及其单调区间的求解方法，而是先请两位成绩尚可的学生分别板演这个函数的单调递增区间与单调递减区间的求解过程．其中一学生求解单调递增区间，得到如下解法：
这时，我问学生：如在单调递增区间上，取两个值π6，π3，f(π6)与f(π3)大小如何？同学们一致认为f(π6)＜f(π3)．我问为什么？同学们说递增啊．我微笑着不予表态，而是请同学们进行验算，结果f(π6)=-32, f(π3)=-3, f(π6)＞f(π3).“这结果与已知结论矛盾!”有学生叫道．我假装不懂反问：“怎么会这样呢?”大家一脸疑惑，继而开始对这一例题的解法产生了浓厚的兴趣，积极性空前高涨．在我的鼓励下，展开了热烈的讨论．……，最后，同学们豁然开朗，问题的症结在于没有掌握复合函数的单调性规律!我这时把握时机，精练地阐述：求复合函数的单调性时要考虑合成的几个函数相互间的牵扯作用．设函数y=f(u)，u=g(x)都是单调函数，那么复合函数y=f［g(x)］在其定义域上也是单调函数．如果y=f(u)与u=g(x)的单调性相同，则复合函数y=f［g(x)］是增函数；若y=f(u)与u=g(x)的单调性相反，则复合函数y=f［g(x)］是减函数．简言之，即“同增异减”．(同学们课余可按照增减函数定义予以证明)
接着，我问学生：那么，这道例题应该怎样正确求解呢?
……
这节课学生学得主动、积极，在随后的练习反馈中，学生的解答正确率很高，对这节课，我也进行了反思与分析：
从现代认知心理学观点来看，学生的学习是以现有认知发展水平为出发点，以“最近发展区”为定向，在不断的产生错误和纠正错误的过程中进行的．学生只能在错误中学习，只有在成功与失败的亲身体验中才能真正领悟和掌握所学知识的精神实质(特别是思想方法)．因此，在数学课堂教学中，让学生在学习中经历适当的困难，使学生有通过自己的独立思考而克服困难的机会，在克服困难的过程中产生失败与成功的亲身体验，这是学生“学会学习”的根本保证．如果学生在学习过程中遇到困难不大，缺乏在容易产生错误的情景中的亲身体验，那么，在学习过程中的这种无挫折性会掩盖知识理解上的肤浅性、片面性，这就会造成知识记忆的困难，使知识难以灵活运用(特别是难以在复杂情景下运用)．不让学生经历知识的发生发展过程，未经学生独立思考就告诉学生结果(内容和表现形式)，这事实上是剥夺了学生亲身体验学习过程，特别是体验成功与失败的机会，结果必然会大大降低学习的质量，影响学生理解知识的深刻程度和洞察学习错误的敏锐程度．在这次教学设计中我立足于承认学生发展水平的限度，尊重学生现有发展水平，为学生提供了一个宽松自由的学习环境，让学生亲身经历数学知识的发生与发展过程．整节课遵循了学生的认知规律，体现了学生是主体的思想，致力于让学生对数学知识的真正理解，学生经历了“错误——质疑——反思——纠错——寻求合理的解释”等一系列的数学思维活动．学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到了进步和发展．我觉得这是建构主义观点指导下的数学教学，即教学必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上．学生有意义的学习不是一个被动接受知识、强化储存的过程，而是用原有的知识处理各项新的学习任务，通过同化和顺应等心理活动和变化，不断地构建和完善认知结构的过程．在这个过程中，教师不再是简单的知识传授者，而是一个组织者、引导者与合作者．
有一位教育学专家说过这样一段有意思的话：在今天中国的教室里坐着的是学生，站着的是先生，而在精神上，这种局面恰恰打了个颠倒——站着的先生占据着至尊之位，而坐着的学生的躯体内，却掩藏着一个战战兢兢的站着、甚至跪着的灵魂．长期以来，这种教育理念导致的一个直接恶果就是，教育者不是把受教育者看作活生生的人，而是把他们当作简单的知识容器．这严重摧残学生的心理，扼杀学生的个性和创造力．事实上，学生并不是一无所知地进入教室的，他们对待新问题总是用自己已有的知识经验来解释，从他们的知识背景出发作出合乎自己逻辑的假设．学生的学习活动不是由教师向学生传递知识，而是学生对外界信息进行选择和加工，通过新旧知识反复的、双向的相互作用在原有知识经验基础上对新信息进行编码，构建自己的理解，并且原有的经验又因新知识的进入而发生调整和改变．因此教学应当是知识的处理和转换，而不是灌输，教师不能无视或忽视学生的知识经验而另起炉灶，硬性从外部填充新知识，而应当视学生已有的知识经验为新知识学习的“生长点”，引导学生从原有的知识背景中“生长”出新的知识．
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”