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作者简介：韦洁华（1979～），女，广西贵港市人，广州南洋理工职业学院基础部，助教，从事高等数学，线性代数，概率论等基础课程的教学与研究。
【摘要】本文通过实例介绍Taylor定理在证明不等式、导数的中值估计、行列式的计算、定积分的近似计算及定积分计算、关于界的估计、函数方程、金融数学中的应用。
【关键词】Taylor定理；不等式；中值估计；行列式；定积分；界；函数方程；AaR；债券
【中图分类号】O13【文献标识码】B【文章编号】1005-1074(2008)06-0127-02
Taylor定理：若f(n)(x)在[a, b]上连续，f(n+1)(x)在（a, b）内存在，则x，x0∈[a, b],ζ在x与x0之间，使得下式成立
f(x)=f(x0)+f'(x0)+Λ+1n!f(n)(x0)(x-x0)n+Rn(x),（1）
其中Rn(x)=1(n+1)!f(n+1)(ζ)(x-x0)n+1为Lagrange余项.
若f(x)在x0处有n阶导数f(n)(x0),则在x0邻域内Taylor公式（1）成立，其中
Rn(x)=0(x-x0)n（当x→x0）为Peano余项.
当limn→∞Rn(x)=0时，可得f(x)的泰勒级数.
本文所述Taylor定理泛指中值定理和泰勒级数. Taylor定理建立了函数f(x)在一个区间上的增量与这个函数在区间内某点处的高阶导数之间的联系。Lagrange中值定理为它的特例.基本上，一般的教科书都着重介绍将满足条件的函数如何展开成泰勒级数，但对在在微积分中起着举足轻重的作用的泰勒级数的应用介绍得甚少，本文将介绍泰勒定理在以下几方面的应用。
1证明不等式
例1求证tanxx＞xsinx,x∈(0,π2)
证明：原式等价于f(x)=sinx·tanx-x2＞0，因f(0)=f'(0)=f''(0)=0.f'''(x)=sinx(5sec2x-1)+bsin3xsec4x＞0,
故f(x)＞0（当x∈(0,π2)）原式获证.
2导数的中值估计
例2设f(x)二次可微，f(0)=f(1)=0,max0≤x≤1f(x)=2,试证min0≤x≤1f''(x)≤-16
证明：因f(x)在[0,1]上连续，有最大最小值,又因max0≤x≤1f(x)=2，f(0)=f(1)=0，故最大值在（0，1）内部达到，所以x0∈(0,1)使得
f(x0)=max0≤x≤1f(x)
于是f(x0)为极大值,由Fermat定理，有f'(x0)==0.
在x=x0处按Taylor公式展开，ζη∈(0,1)使得：
0=f(0)=f(x0)+12f''(ζ)(0-x0)2=2+12f''(ζ)x02
0=f(1)=f(x0)+12f''(η)(1-x0)2=2+12f''(η)(1-x0)2
因此，
min0≤x≤1f''(x)≤min{f''(ζ),f''(η)}=min{-4x02,-4(1-x0)2}
而x0∈[12,1]时，min{-4x02,-4(1-x0)2}=-4(1-x0)2≤-16
x∈[0,12]时，min{-4x02,-4(1-x0)2}=-4x02≤-16
所以min0≤x≤1f''(x)≤-16
3行列式的计算
例3计算行列式D=xbbbΛb
axbbΛb
aaxbΛb
ΛΛΛΛΛΛ
aaaaΛx的值.
解：记D=fn(x),将D按泰勒公式在a处展开：
fn(x)=fn(a)+f'n(a)1!(x-a)+f''n(a)2!(x-a)2+Λ+fn(n)(a)n!(x-a)n,
根据行列式的性质，对于任何k∈N，有fk(a)=a(a-b)k-1,又根据行列式求导法则，有
f'n(x)=nfn-1(x),fn-1'(x)=(n-1)fn-2(x),Λ,f2(x)=2f1(x),f'1(x)=1，
所以fn(x)在x=a处的各阶导数为fn(k)(a)=n(n-1)Λ(n-k+1)a(a-b)n-k-1(k=1,2,Λ,n-1)fn(n)(a)=n(n-1)Λ2·1,从而
fn(x)=a(a-b)n-1+n1!a(a-b)n-2(x-a)+n(n-1)2!a(a-b)n-3(x-a)2+Λ+n(n-1)Λ2(n-1)!a(x-a)n-1+n(n-1)Λ2·1n!(x-a)n，
若a=b,则fn(x)=(x-b)n-1[x+(n-1)b];
若a≠b,则fn(x)=a(x-b)n-b(x-a)na-b
4定积分的近似计算及定积分计算
例4 ∫101n(1+x)xdx
解：原式=∫10x-x22+x33-Λxdx=∫10(1-x2+x23-Λ)dx=1-122+132-Λ=π212
例5求定积分∫10sinxxdx的近似值。
解：该被积函数的原函数不是初等函数 ,故用牛顿—莱布尼兹公式是无法求出其精确解的，考虑sinx的泰勒展开，能方便的求出其近似数.
sinx=x-x33!+x55!-sin(θx+7π27!x7,sinxx=1-x23!+x45!-sin(θx+7π27!x6
所以∫10sinxxdx=(x-x33×3!+x55×5!10-∫10sin(θx+7π27!x
6dx,
因为sin(θx+7π2＜1,故∫10sinxxdx≈1-13!13+15!15≈0.9461,误差R＜17!17＜0.5×10-3
5关于界的估计
例6设f(x)在[0,1]上有二阶导数，0≤x≤1时f(x)≤1,f''(x)＜2,试证：当0≤x≤1时，f'(x)≤3
证明：f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+12f''(ζ)(1-x)2
f(0)=f(x)+f'(x)(-x)+12f''(η)(-x)2
所以:f(1)-f(0)=f(x)+f'(x)+12f''(ζ)(1-x)2-12f''(η)x2
f'(x)≤f(1)+f(0)+12f''(ζ)(1-x)2+12f''(η)x2≤2+(1-x)2+x2≤2+1=3.
6函数方程中的应用
例7设f(x)在(-∞,+∞)内有连续三阶导数，且满足方程：
f(x+h)=f(x)+hf'(x+θh),0＜θ＜1(θ和h无关).（1）
试证:f(x)是一次或二次函数.
证：问题在于证明：f''(x)≡0或f'''(x)≡0.为此将（1）式对h求导，注意θ和h无关，我们有
f'(x+h)=f'(x+θh)+θhf''(x+θh)(2)
从而f'(x+h)-f'(x)-f'(x+θh)h=θf''(x+θh).令h→0取极限，得:f''(x)-θf''(x)=θf''(x),f''(x)=2θf''(x).
若θ≠12,由此知f''(x)≡0,f(x)为一次函数；若θ=12，（2）式给出
f'(x+h)=f'(x+12h)+12hf''(x+12h
此式两端同时对h求导，减去f''(x)，除以h,然后令h→0取极限，即得f'''(x)≡0,f(x)为二次函数。
7在金融数学中的应用
7.1在VaR计算中的应用
VAR模型，自20世纪90年代被引入到风险管理中，已经成为金融机构和监管当局所广泛采用的风险度量和管理工具。VaR 模型的常见计算方法有参数法、历史模拟法和蒙特卡罗模拟法，其中的参数法就是由资产价值函数的泰勒展开来计算,并且依据函数展开阶数的不同，分为delta类方法和gamma 类方法。考虑一个投资组合X=(x1,x2,Λ,xn)T其中Xi,i=1,2,Λ,n表示第i 种资产的投资权重,t 时刻所有资产的价值向量V=(v1,v2,Λ,vn)T，组合X的价值为V=∑ni=1xivi，在下一个时段Δt 内,组合价值变动为ΔV = ∑ni=1xi△vi,假设每种资产价值都由K 个市场因子确定,且这K 个市场因子服从联合正态分布, F=(f1,f2,Λ,fk)T,则ΔV 按照一阶泰勒展开得
△v=∑ni=1xivi(F,t)t△v+∑ni=1xi∑kj=1vi(F,t)fj△fj
由此得出delta 参数法;若将投资组合的价值变动函数按照二阶泰勒公式展开,则得gamma 参数法。
7.2在债券定价中的应用在债券的定价及投资组合风险值的计算中,平均期限是一个重要的概念,它衡量基础产品价格相对于基础利率变化的幅度。一个20 年期的债券也许只有17 年的平均期限. 这意味着,如果利率上升2 % ,该债券价格将下跌34 %;而利率下跌1 %时,债券价格则上升17 %. 若每次用VaR模型来进行计算,工作是十分烦琐的. 举例来说,现有一个5 年期的票面金额为100 美元的债券,年利息为10 美元. 计算当利率从10 % 变化到11 % 或15 % 时,债券的价格变化. 如下表。
债券的价格变化
利率(r)10%11%15%利息（s）10$10$10$期限（t）5y5y5y贴现因子Dfn(1（1＋r）5)0.62090.5988 0.4972年金因子((1-Dfn)n) 3.7913.64733.3520零息票部分62.09$59.88$49.72$年金((1-Dfn)n×s) 37.91$36.47$33.52$债券价格100$99.36$83.24$麦考雷(Macaulay) 利用泰勒展开式的第一项求出该债券平均期限为3. 791. 用平均期限法预计:利率从10 % 上升到11 % ,债券价格下跌3. 791 % ,即新价格为96. 21 美元;而利率从10 % 上升到15 % ,价格下跌18. 96 % ,债券价格变为81. 05 美元. 因此当利率变化不大时,平均期限法的预计相对准确;但当利率变化较大时误差较大. 麦考雷用凸性及凸性的修正值重新估计, 得到了非常满意的结果. 凸性(用γ表示) 表示的是泰勒展开式的第二项,再用12×γ×(Δr) 2 进行调整(Δr 为利率变化) ,如表2。(该债券的凸性用泰勒公式易算为19. 37)。
我们发现与债券的实际价格非常接近;但极大地减少了工作量.麦考雷正是通过泰勒展开式求出了修正的平均期限和凸性值; 而布莱克(Black) 和斯科尔斯(Scholes) 利用它建立了著名的期权定价模型。
8参考文献
1裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 [M].北京:高等教育出版社,1993
2同济大学应用数学系. 高等数学(上册) [M]. 北京:高等教育出版社,1987：260 - 263.
3华东师范大学数学系 数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2002
4Cormac Butler. 风险值概论[M]. 上海:上海财经大学出版社,2002：137 - 153
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【摘要】本文通过实例介绍Taylor定理在证明不等式、导数的中值估计、行列式的计算、定积分的近似计算及定积分计算、关于界的估计、函数方程、金融数学中的应用。
【关键词】Taylor定理；不等式；中值估计；行列式；定积分；界；函数方程；AaR；债券
【中图分类号】O13【文献标识码】B【文章编号】1005-1074(2008)06-0127-02
Taylor定理：若f(n)(x)在[a, b]上连续，f(n+1)(x)在（a, b）内存在，则x，x0∈[a, b],ζ在x与x0之间，使得下式成立
f(x)=f(x0)+f'(x0)+Λ+1n!f(n)(x0)(x-x0)n+Rn(x),（1）
其中Rn(x)=1(n+1)!f(n+1)(ζ)(x-x0)n+1为Lagrange余项.
若f(x)在x0处有n阶导数f(n)(x0),则在x0邻域内Taylor公式（1）成立，其中
Rn(x)=0(x-x0)n（当x→x0）为Peano余项.
当limn→∞Rn(x)=0时，可得f(x)的泰勒级数.
本文所述Taylor定理泛指中值定理和泰勒级数. Taylor定理建立了函数f(x)在一个区间上的增量与这个函数在区间内某点处的高阶导数之间的联系。Lagrange中值定理为它的特例.基本上，一般的教科书都着重介绍将满足条件的函数如何展开成泰勒级数，但对在在微积分中起着举足轻重的作用的泰勒级数的应用介绍得甚少，本文将介绍泰勒定理在以下几方面的应用。
1证明不等式
例1求证tanxx＞xsinx,x∈(0,π2)
证明：原式等价于f(x)=sinx·tanx-x2＞0，因f(0)=f'(0)=f''(0)=0.f'''(x)=sinx(5sec2x-1)+bsin3xsec4x＞0,
故f(x)＞0（当x∈(0,π2)）原式获证.
2导数的中值估计
例2设f(x)二次可微，f(0)=f(1)=0,max0≤x≤1f(x)=2,试证min0≤x≤1f''(x)≤-16
证明：因f(x)在[0,1]上连续，有最大最小值,又因max0≤x≤1f(x)=2，f(0)=f(1)=0，故最大值在（0，1）内部达到，所以x0∈(0,1)使得
f(x0)=max0≤x≤1f(x)
于是f(x0)为极大值,由Fermat定理，有f'(x0)==0.
在x=x0处按Taylor公式展开，ζη∈(0,1)使得：
0=f(0)=f(x0)+12f''(ζ)(0-x0)2=2+12f''(ζ)x02
0=f(1)=f(x0)+12f''(η)(1-x0)2=2+12f''(η)(1-x0)2
因此，
min0≤x≤1f''(x)≤min{f''(ζ),f''(η)}=min{-4x02,-4(1-x0)2}
而x0∈[12,1]时，min{-4x02,-4(1-x0)2}=-4(1-x0)2≤-16
x∈[0,12]时，min{-4x02,-4(1-x0)2}=-4x02≤-16
所以min0≤x≤1f''(x)≤-16
3行列式的计算
例3计算行列式D=xbbbΛb
axbbΛb
aaxbΛb
ΛΛΛΛΛΛ
aaaaΛx的值.
解：记D=fn(x),将D按泰勒公式在a处展开：
fn(x)=fn(a)+f'n(a)1!(x-a)+f''n(a)2!(x-a)2+Λ+fn(n)(a)n!(x-a)n,
根据行列式的性质，对于任何k∈N，有fk(a)=a(a-b)k-1,又根据行列式求导法则，有
f'n(x)=nfn-1(x),fn-1'(x)=(n-1)fn-2(x),Λ,f2(x)=2f1(x),f'1(x)=1，
所以fn(x)在x=a处的各阶导数为fn(k)(a)=n(n-1)Λ(n-k+1)a(a-b)n-k-1(k=1,2,Λ,n-1)fn(n)(a)=n(n-1)Λ2·1,从而
fn(x)=a(a-b)n-1+n1!a(a-b)n-2(x-a)+n(n-1)2!a(a-b)n-3(x-a)2+Λ+n(n-1)Λ2(n-1)!a(x-a)n-1+n(n-1)Λ2·1n!(x-a)n，
若a=b,则fn(x)=(x-b)n-1[x+(n-1)b];
若a≠b,则fn(x)=a(x-b)n-b(x-a)na-b
4定积分的近似计算及定积分计算
例4 ∫101n(1+x)xdx
解：原式=∫10x-x22+x33-Λxdx=∫10(1-x2+x23-Λ)dx=1-122+132-Λ=π212
例5求定积分∫10sinxxdx的近似值。
解：该被积函数的原函数不是初等函数 ,故用牛顿—莱布尼兹公式是无法求出其精确解的，考虑sinx的泰勒展开，能方便的求出其近似数.
sinx=x-x33!+x55!-sin(θx+7π27!x7,sinxx=1-x23!+x45!-sin(θx+7π27!x6
所以∫10sinxxdx=(x-x33×3!+x55×5!10-∫10sin(θx+7π27!x
6dx,
因为sin(θx+7π2＜1,故∫10sinxxdx≈1-13!13+15!15≈0.9461,误差R＜17!17＜0.5×10-3
5关于界的估计
例6设f(x)在[0,1]上有二阶导数，0≤x≤1时f(x)≤1,f''(x)＜2,试证：当0≤x≤1时，f'(x)≤3
证明：f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+12f''(ζ)(1-x)2
f(0)=f(x)+f'(x)(-x)+12f''(η)(-x)2
所以:f(1)-f(0)=f(x)+f'(x)+12f''(ζ)(1-x)2-12f''(η)x2
f'(x)≤f(1)+f(0)+12f''(ζ)(1-x)2+12f''(η)x2≤2+(1-x)2+x2≤2+1=3.
6函数方程中的应用
例7设f(x)在(-∞,+∞)内有连续三阶导数，且满足方程：
f(x+h)=f(x)+hf'(x+θh),0＜θ＜1(θ和h无关).（1）
试证:f(x)是一次或二次函数.
证：问题在于证明：f''(x)≡0或f'''(x)≡0.为此将（1）式对h求导，注意θ和h无关，我们有
f'(x+h)=f'(x+θh)+θhf''(x+θh)(2)
从而f'(x+h)-f'(x)-f'(x+θh)h=θf''(x+θh).令h→0取极限，得:f''(x)-θf''(x)=θf''(x),f''(x)=2θf''(x).
若θ≠12,由此知f''(x)≡0,f(x)为一次函数；若θ=12，（2）式给出
f'(x+h)=f'(x+12h)+12hf''(x+12h
此式两端同时对h求导，减去f''(x)，除以h,然后令h→0取极限，即得f'''(x)≡0,f(x)为二次函数。
7在金融数学中的应用
7.1在VaR计算中的应用
VAR模型，自20世纪90年代被引入到风险管理中，已经成为金融机构和监管当局所广泛采用的风险度量和管理工具。VaR 模型的常见计算方法有参数法、历史模拟法和蒙特卡罗模拟法，其中的参数法就是由资产价值函数的泰勒展开来计算,并且依据函数展开阶数的不同，分为delta类方法和gamma 类方法。考虑一个投资组合X=(x1,x2,Λ,xn)T其中Xi,i=1,2,Λ,n表示第i 种资产的投资权重,t 时刻所有资产的价值向量V=(v1,v2,Λ,vn)T，组合X的价值为V=∑ni=1xivi，在下一个时段Δt 内,组合价值变动为ΔV = ∑ni=1xi△vi,假设每种资产价值都由K 个市场因子确定,且这K 个市场因子服从联合正态分布, F=(f1,f2,Λ,fk)T,则ΔV 按照一阶泰勒展开得
△v=∑ni=1xivi(F,t)t△v+∑ni=1xi∑kj=1vi(F,t)fj△fj
由此得出delta 参数法;若将投资组合的价值变动函数按照二阶泰勒公式展开,则得gamma 参数法。
7.2在债券定价中的应用在债券的定价及投资组合风险值的计算中,平均期限是一个重要的概念,它衡量基础产品价格相对于基础利率变化的幅度。一个20 年期的债券也许只有17 年的平均期限. 这意味着,如果利率上升2 % ,该债券价格将下跌34 %;而利率下跌1 %时,债券价格则上升17 %. 若每次用VaR模型来进行计算,工作是十分烦琐的. 举例来说,现有一个5 年期的票面金额为100 美元的债券,年利息为10 美元. 计算当利率从10 % 变化到11 % 或15 % 时,债券的价格变化. 如下表。
债券的价格变化
利率(r)10%11%15%利息（s）10$10$10$期限（t）5y5y5y贴现因子Dfn(1（1＋r）5)0.62090.5988 0.4972年金因子((1-Dfn)n) 3.7913.64733.3520零息票部分62.09$59.88$49.72$年金((1-Dfn)n×s) 37.91$36.47$33.52$债券价格100$99.36$83.24$麦考雷(Macaulay) 利用泰勒展开式的第一项求出该债券平均期限为3. 791. 用平均期限法预计:利率从10 % 上升到11 % ,债券价格下跌3. 791 % ,即新价格为96. 21 美元;而利率从10 % 上升到15 % ,价格下跌18. 96 % ,债券价格变为81. 05 美元. 因此当利率变化不大时,平均期限法的预计相对准确;但当利率变化较大时误差较大. 麦考雷用凸性及凸性的修正值重新估计, 得到了非常满意的结果. 凸性(用γ表示) 表示的是泰勒展开式的第二项,再用12×γ×(Δr) 2 进行调整(Δr 为利率变化) ,如表2。(该债券的凸性用泰勒公式易算为19. 37)。
我们发现与债券的实际价格非常接近;但极大地减少了工作量.麦考雷正是通过泰勒展开式求出了修正的平均期限和凸性值; 而布莱克(Black) 和斯科尔斯(Scholes) 利用它建立了著名的期权定价模型。
8参考文献
1裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 [M].北京:高等教育出版社,1993
2同济大学应用数学系. 高等数学(上册) [M]. 北京:高等教育出版社,1987：260 - 263.
3华东师范大学数学系 数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2002
4Cormac Butler. 风险值概论[M]. 上海:上海财经大学出版社,2002：137 - 153
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”