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摘 要：CT系统在诞生初期就因其实用性高，能在不破坏表面的情况下观察物品的内在结构，使其在医学，工业，安检等领域都发挥着极其重要的作用。首先，通过分析数据，得出只有29个探测器能接收到通过直径为8mm的圆的信号，因此，相邻探测器间距为0.2759mm。其次，根据探测器组在极限位置的偏转角度以及收集的数据量可知，两次数据收集之间探测器组旋转了1度。然后，通过附件二中数据分析，找到在旋转过程中的恒定量，通过求解经过旋转中心的两条直线的函数，近似求得旋转中心点的坐标为（-9.3584，5.5664）。基于卷积反投射算法建立了图像重建模型。首先，基于投射定理，将探测器接收数据转化为探测器所在平面的投影数据，通过建立R- 动态坐标系，得到每个角度下的对应投影，把每个旋转角度下得到的投影与滤波函数进行卷积运算，得出任意角度下的反投影，将每一点的反投影在 角度内累加，得到重建图像的吸收率。然后，利用MATLAB编程得到256*256的吸收率数据及重建后的图像。最后，将所给10个点位置信息转化为以问题一求解的旋转中心为原点建立坐标系的坐标，得出相应位置的吸收率为：0、0、0、0.5867、04889、0.7236、0.6357、0、0、0。，建立吸收率模型。以问题一求解的旋转中心为原点建立坐标系，基于X射线的基本原理，運用比尔定律，建立吸收率模型。将所选层面平分为256*256个若干体积相同的小立方体，并将512个探测数据中每相邻2组数据求和，得到256组探测数据，将该数据带入吸收率模型得到256*256的吸收率数据。将所给10个点位置信息转化为上述坐标系的坐标，得出相应位置的吸收率为：0、0.5834、2.0424、0、0.6962、0、2.3984、0、2.3068、0。 通过对问题一参数标定的误差分析与敏感性分析，构建了由长方形与正三角形组成的新模板。运用灰色关联分析算法，对问题一所给模板与优化所得的新模板进行分析比较，计算得到的两种模板的关联度。由r1 关键词：影像医学与核医学；卷积反投射算法；图像重建模型；吸收率模型；灰色关联分析
0引言
计算机断层成像（CT）可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息，是现代临床医学成像的重要手段，并且广泛应用于工业检测、安检等诸多领域。图像重建算法是CT的核心技术，因此一直都是该领域工程师与学者研究的热点课题。最早的典型二维CT系统是通过平行入射X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元都可以看做一个接收点，且等距排列[1]。X射线的发射器和探测器的相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经由位置固定不变的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后可以接收得到180组信息。
CT系统安装时往往存在着误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品标定CT系统的参数，并根据此来对未知结构的样品进行成像。
通过建立合理的模型和算法，解决了如下问题：
（1）通过两个介质均匀的标定模板几何信息和其接收的信息，确定CT系统的旋转中心和在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及CT系统使用的X射线的180个方向。
（2）根据未知介质的接收信息，确定该未知介质在正方形托盘中的未知几何形状和吸收率等信息。及所给10个位置的吸收率。
（3）利利用标定参数计算未知介质的相关信息，及所给10个位置的吸收率。
（4）分析前文中参数标定的精度和稳定性。再此基础上自行设计新模板、建立对应的标定模型，以改进标定精度和稳定性。
1 模型的建立与求解
1.1问题一的求解
1.1.1 探测器单元之间的距离
CT系统共有512个探测器，在旋转过程中测定圆形标准件的探测器从任何方向测量的标准件长度均为定值，即圆形标准件直径d=8mm，根据附件一中所给出的数据，确定在512个探测器中有n=29个探测器接收到通过圆形标准件的信号。因此可以将探测器单元看成一个接收点，且等距排列。所以每个探测单元之间的距离i为：
本文所涉及的CT系统共包含512个探测器单元，探测器组总长度为L=141.2608mm，长于CT系统底盘正方形边长。
1.1.2 CT系统使用X射线的180个方向
由于CT系统的旋转中心不位于椭圆中心，故不同位置的旋转线速度并不相同，所以在本题的考虑过程中我们选择角速度作为衡量标准。
Step 1 ：
通过对已知椭圆函数的求解，求得其在绕中心点旋转θ角度的时刻椭圆在与X轴平行的直线上投影的长度如图2所示：
通过函数模型的求解得到对应的旋转角度θ与投影长度l的函数关系式，得到不同旋转角度时，对应的投影长度：
为了简化求解过程，我们将不同位置感应单元对信号的感知，简化为旋转不同角度时刻在感应单元组上的投影长度。附件二中给出的数据，在反映不同位置吸收率的同时也间接的反映了旋转不同角度时的投影长度，通过对投影长度的求解并代入前文求函数关系。
2 结论
本文所建立的模型具有广泛的适用性，虽然此模型的建立数据依赖于平行束X射线在接收端的信息，但是在后续开发的CT系统上仍具有一定的参考价值。
此模型不但在医学领域有重要的实用价值并且可以在建材内部断纹分析，地质分析，金属冶炼过程分析等方面均有一定的适用性。
参考文献 （References）
[1] 孙卫红. CT成像技术的发展及技术特点[J]. 医疗装备，2007，（06）：19-20. [2017-09-17]
[2] 吴孟达.数学建模教程[M] .高等教育出版社.2011
[3] 宁寰宇.CT图像重建中解析算法的改进及加速研究[D].兰州交通大学，2014.
[4] 王琦. 多相流CT系统成像算法研究[D].天津大学，2009.
0引言
计算机断层成像（CT）可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息，是现代临床医学成像的重要手段，并且广泛应用于工业检测、安检等诸多领域。图像重建算法是CT的核心技术，因此一直都是该领域工程师与学者研究的热点课题。最早的典型二维CT系统是通过平行入射X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元都可以看做一个接收点，且等距排列[1]。X射线的发射器和探测器的相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经由位置固定不变的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后可以接收得到180组信息。
CT系统安装时往往存在着误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品标定CT系统的参数，并根据此来对未知结构的样品进行成像。
通过建立合理的模型和算法，解决了如下问题：
（1）通过两个介质均匀的标定模板几何信息和其接收的信息，确定CT系统的旋转中心和在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及CT系统使用的X射线的180个方向。
（2）根据未知介质的接收信息，确定该未知介质在正方形托盘中的未知几何形状和吸收率等信息。及所给10个位置的吸收率。
（3）利利用标定参数计算未知介质的相关信息，及所给10个位置的吸收率。
（4）分析前文中参数标定的精度和稳定性。再此基础上自行设计新模板、建立对应的标定模型，以改进标定精度和稳定性。
1 模型的建立与求解
1.1问题一的求解
1.1.1 探测器单元之间的距离
CT系统共有512个探测器，在旋转过程中测定圆形标准件的探测器从任何方向测量的标准件长度均为定值，即圆形标准件直径d=8mm，根据附件一中所给出的数据，确定在512个探测器中有n=29个探测器接收到通过圆形标准件的信号。因此可以将探测器单元看成一个接收点，且等距排列。所以每个探测单元之间的距离i为：
本文所涉及的CT系统共包含512个探测器单元，探测器组总长度为L=141.2608mm，长于CT系统底盘正方形边长。
1.1.2 CT系统使用X射线的180个方向
由于CT系统的旋转中心不位于椭圆中心，故不同位置的旋转线速度并不相同，所以在本题的考虑过程中我们选择角速度作为衡量标准。
Step 1 ：
通过对已知椭圆函数的求解，求得其在绕中心点旋转θ角度的时刻椭圆在与X轴平行的直线上投影的长度如图2所示：
通过函数模型的求解得到对应的旋转角度θ与投影长度l的函数关系式，得到不同旋转角度时，对应的投影长度：
为了简化求解过程，我们将不同位置感应单元对信号的感知，简化为旋转不同角度时刻在感应单元组上的投影长度。附件二中给出的数据，在反映不同位置吸收率的同时也间接的反映了旋转不同角度时的投影长度，通过对投影长度的求解并代入前文求函数关系。
2 结论
本文所建立的模型具有广泛的适用性，虽然此模型的建立数据依赖于平行束X射线在接收端的信息，但是在后续开发的CT系统上仍具有一定的参考价值。
此模型不但在医学领域有重要的实用价值并且可以在建材内部断纹分析，地质分析，金属冶炼过程分析等方面均有一定的适用性。
参考文献 （References）
[1] 孙卫红. CT成像技术的发展及技术特点[J]. 医疗装备，2007，（06）：19-20. [2017-09-17]
[2] 吴孟达.数学建模教程[M] .高等教育出版社.2011
[3] 宁寰宇.CT图像重建中解析算法的改进及加速研究[D].兰州交通大学，2014.
[4] 王琦. 多相流CT系统成像算法研究[D].天津大学，2009.