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平面向量作为一种既有大小又有方向的量，既具有形的特点，又具有数的特性. 而且平面向量的线性运算和数量积运算又具有鲜明的几何背景， 平面向量成为联系数与形的有力纽带. 三角函数的图象和性质的许多几何意义都可以由平面向量的线性运算和数量积表示出来，下面简要谈谈以平面向量为工具解决与三角函数有关的问题.
一、以平面向量为工具解决三角函数式的化简、求值问题
例1设[a=(1+cosα,sinα),] [b=(1-cosβ,][sinβ)]， [c=(1,0)]，[α∈(0,π)] ，[β∈(π,2π),] [a]与[c]的夹角为[θ1]， [b]与[c]的夹角为[θ2]，且[θ1-θ2=π6]，求[sinα-β4]的值．
解析∵ [a]与[c]的夹角为[θ1]，
∴[cosθ1=a⋅cac][=1+cosα2(1+cosα)]
[=1+cosα2][=cosα2].
∵[α∈(0,π)]， ∴[θ1=α2].
同理[cosθ2=sinβ2].
∵[β∈(π,2π),] [∴cosθ2=cos(β2-π2)]，
∴[θ2=β2-π2].
又∵[θ1-θ2=π6]， [∴α-β4=-π6,]
[∴sinα-β4=-12].
点拨 借助平面向量的运算性质得到三角函数式间的关系，从而通过解与三角函数有关的方程，达到三角求值的目的.在涉及异名函数求角时，尽可能化为同名函数，还要注意角的取值范围及取值的唯一性与多样性，特别是与三角函数的周期有关时，要注意角的周期性.
二、以平面向量为工具解决与三角函数有关的值域、最值问题
例2 已知向量 [m=(1,1)]，向量[n]与向量[m]的夹角为[3π4]，且[m⋅n=-1].
（1）求向量[n]；
（2）若向量[n]与向量[q=(1,0)]的夹角为[π2]，向量[p=(cosA,2cos2C2)]，其中[A]、[B]、[C]为[△ABC]的内角，依次成等差数列，求[n+p]的取值范围.
解析（1）设[n=(x,y),]
由[m⋅n=-1]，得[x+y=-1].①
又向量[n]与向量[m]的夹角为[3π4]，
[∴m⋅n=mncos3π4,]
[∴n=1]，即[x2+y2=1.]②
由①②得， [x=-1,y=0,]或[x=0,y=-1.]
即[n=(-1,0)]或[n=(0,-1)].
（2）由[n]与[q]垂直知，[n=(0,-1)].
[A]、[B]、[C]为[△ABC]的内角，依次成等差数列，
[∴B=π3]，[A+C=2π3,] [0 [∵][n=(0,-1)]，
∴[n+p=(cosA,2cos2C2-1)=(cosA,cosC)]，
[n+p2=cos2A+cos2C][=1+12[cos2A+cos(43π-2A)]][=1+12cos(2A+π3).]
[∵0 [∴-1≤cos(2A+π3)<12]，
[∴12≤1+12cos(2A+π3)<54]，
∴[n+p2∈[12,54),][∴n+p∈[22,52)].
点拨 利用平面向量的运算性质将向量问题转化三角函数问题或普通函数问题，再利用函数性质或函数图象来解决是常用方法. 本题第一问根据向量的数量积和向量的坐标运算很方便求出[n]的坐标，第二问将向量的模的问题转化为三角函数问题，再利用余弦函数的单调性和有界性，将问题转化为求三角函数的值域.
三、以平面向量为工具解决与三角函数有关的图象变换问题
例3 将函数[y=sin(2x+π3)]的图象按向量[a]平移后所得的图象关于点[(-π12,0)]对称，则向量[a]的坐标可能为（）
A．[(-π12,0)] B．[(-π6,0)]
C．[(π12,0)] D．[(π6,0)]
解析 法（1）特值法：函数[y=sin(2x+π3)]的图象的一个对称中心为A（[-π6,0]），按[a]平移后所得的图象关于点B[(-π12,0)]对称，则[a=AB=(π12,0)]，所以选C；
法（2）函数[y=sin(2x+π3)]的图象的对称中心为[A(-π6-kπ2,0)]，[k∈Z]，按[a]平移后所得的图象关于点B[(-π12,0)]对称，[∴a=AB=(π12+kπ2,0),k∈Z]，令[k=0]，即得C.
例4 将函数[y=f(x)]图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，同时将纵坐标缩小到原来的[12]倍，得到函数[y=cos(x-π6)]的图象．另一方面，函数[f(x)]的图象也可以由函数[y=2cos2x+1]的图象按向量[c]平移得到，则[c]可以是 ()
A．[(π12,-1)] B．[(π12,1)]
C．[(π6,-1)]D．[(π6,1)]
解析 将函数[y=cos(x-π6)]图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，同时将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的[12]倍，得到函数[f(x)=2cos(2x-π6)]的图象.而将函数[y=2cos2x+1]的图象按向量[c=(π12,-1)]平移可得到[f(x)=2cos[2(x-π12)]]的图象. 所以选A.
点拨 三角函数图象按向量进行的变换主要涉及平移变换，要注意平移的方向和距离.
一般情况是以平面向量为工具，根据平移前后图象的特点、性质求向量坐标、向量的模或模的最值等.当然也会考查三角函数图象按向量平移后的图象特点、性质. 如对称性、对称中心、对称轴、单调性、单调区间、最值等.
四、以平面向量为工具解决与三角函数有关的不等式问题
例5 已知二次函数[f(x)]对任意[x∈R]，都有[f(1-x)=f(1+x)]成立，设向量[a=(sinx,2)]，[b=(2sinx,12)]，[c=(cos2x,1)]，[d=(1,2)]，当[x∈[0,π]]时，求不等式[f(a⋅b)>f((c⋅d)]的解集.
解析∵[x∈R]，[f(1-x)=f(1+x)]，
∴二次函数[f(x)]图象的对称轴为直线[x=1]，
∵[x∈[0,π]]，∴[a⋅b=2sin2x+1≥1]，
[c⋅d=cos2x+2≥1]，
（1）当二次函数[f(x)]的图象开口向上时，[f(x)]在[x∈[1,+∞)]上递增，
∴[a⋅b=2sin2x+1>c⋅d=cos2x+2]，
解得[cos2x<0.]
[∵x∈[0,π],∴π4 （2）当二次函数[f(x)]的图象开口向下时，
同理, 解得[0≤x<π4]或[3π4 综上,当二次函数[f(x)]的图象开口向上时，原不等式的解集为[(π4,3π4)]；当二次函数[f(x)]的图象开口向下时，原不等式的解集为[[0,π4)⋃(3π4,π]].
点拨以平面向量为工具解决与三角函数有关的不等式问题实质是利用向量的线性运算、数量积等结合函数的性质，将所给问题转化为三角不等式. 只要熟练掌握函数的性质，常见不等式的解法及部分三角函数的有界性，这类题还是容易解决的.
六、以平面向量为工具解决与三角形的“心”有关的问题
例6[△ABC]的外接圆的圆心为[O]，两条边上的高的交点为[H]，[OH=m(OA+OB+OC)]，则实数[m]=.
解析 延长BO交[△ABC]的外接圆于D，连接CH、CD、AD，
则有[DC⊥BC,DA⊥BA.]
又H为[△ABC]的垂心，[∴AH⊥BC,CH⊥BA]，
[∴CH∥DA,][AH∥DC]，
[∴]四边形AHCD为平行四边形，
[∴AH=DC],[∴][AH=DC],
取BC的中点E，连接DE，则[OB+OC=2OE].
∵O为BD的中点，∴[OB+OC=2OE=DC],
∴ [OB+OC=AH].
而[OH=OA+AH=OA+OB+OC]，∴[m=1.]
点拨 因为[OA+AH=OH]，所以想法将[OB+OC]转化为与[AH]相关的向量. 首先将[OB+OC]转化为[2OE]，再将[2OE]转化为[DC]，最后证明[DC=AH]即可. 其间用到向量的加法运算，转化思想，“加倍折半”法，三角形的垂心，外心, 平行四边形的判定和性质等知识. 当然，本题因为是填空题，所以还可以用特殊方法解决，如直接选择等腰直角三角形得到[m=1]等.
例7 已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
[OP=OB+OC2+λ][(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)]，
[λ∈(0,+∞)]，则P的轨迹一定通过△[ABC]的（ ）
A. 外心 B. 内心
C. 重心 D. 垂心
解析
[∵OP=OB+OC2+λ][(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)]
[∴(OP-OB)+(OP-OC)=2λ(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC),]
取[BC]的中点[D]，则
[(OP-OB)+(OP-OC)=BP+CP=2DP]，
[∴DP=λ(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)]，
[∴DP⋅BC=λ(AB⋅BC|AB|cosB+AC⋅BC|AC|cosC)]，
[∴DP⋅BC=λ(-BC+BC)=0]，[∴DP⊥BC.]
又点[D]是[BC]的中点，点P的轨迹一定通过[△ABC]的外心. 选A.
点拨 利用平面向量的数量积的运算将[(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)⋅BC]转化为0，再利用两个非零向量的数量积等于0，得到[DP⊥BC]，达到证题目的.
一、以平面向量为工具解决三角函数式的化简、求值问题
例1设[a=(1+cosα,sinα),] [b=(1-cosβ,][sinβ)]， [c=(1,0)]，[α∈(0,π)] ，[β∈(π,2π),] [a]与[c]的夹角为[θ1]， [b]与[c]的夹角为[θ2]，且[θ1-θ2=π6]，求[sinα-β4]的值．
解析∵ [a]与[c]的夹角为[θ1]，
∴[cosθ1=a⋅cac][=1+cosα2(1+cosα)]
[=1+cosα2][=cosα2].
∵[α∈(0,π)]， ∴[θ1=α2].
同理[cosθ2=sinβ2].
∵[β∈(π,2π),] [∴cosθ2=cos(β2-π2)]，
∴[θ2=β2-π2].
又∵[θ1-θ2=π6]， [∴α-β4=-π6,]
[∴sinα-β4=-12].
点拨 借助平面向量的运算性质得到三角函数式间的关系，从而通过解与三角函数有关的方程，达到三角求值的目的.在涉及异名函数求角时，尽可能化为同名函数，还要注意角的取值范围及取值的唯一性与多样性，特别是与三角函数的周期有关时，要注意角的周期性.
二、以平面向量为工具解决与三角函数有关的值域、最值问题
例2 已知向量 [m=(1,1)]，向量[n]与向量[m]的夹角为[3π4]，且[m⋅n=-1].
（1）求向量[n]；
（2）若向量[n]与向量[q=(1,0)]的夹角为[π2]，向量[p=(cosA,2cos2C2)]，其中[A]、[B]、[C]为[△ABC]的内角，依次成等差数列，求[n+p]的取值范围.
解析（1）设[n=(x,y),]
由[m⋅n=-1]，得[x+y=-1].①
又向量[n]与向量[m]的夹角为[3π4]，
[∴m⋅n=mncos3π4,]
[∴n=1]，即[x2+y2=1.]②
由①②得， [x=-1,y=0,]或[x=0,y=-1.]
即[n=(-1,0)]或[n=(0,-1)].
（2）由[n]与[q]垂直知，[n=(0,-1)].
[A]、[B]、[C]为[△ABC]的内角，依次成等差数列，
[∴B=π3]，[A+C=2π3,] [0
∴[n+p=(cosA,2cos2C2-1)=(cosA,cosC)]，
[n+p2=cos2A+cos2C][=1+12[cos2A+cos(43π-2A)]][=1+12cos(2A+π3).]
[∵0
[∴12≤1+12cos(2A+π3)<54]，
∴[n+p2∈[12,54),][∴n+p∈[22,52)].
点拨 利用平面向量的运算性质将向量问题转化三角函数问题或普通函数问题，再利用函数性质或函数图象来解决是常用方法. 本题第一问根据向量的数量积和向量的坐标运算很方便求出[n]的坐标，第二问将向量的模的问题转化为三角函数问题，再利用余弦函数的单调性和有界性，将问题转化为求三角函数的值域.
三、以平面向量为工具解决与三角函数有关的图象变换问题
例3 将函数[y=sin(2x+π3)]的图象按向量[a]平移后所得的图象关于点[(-π12,0)]对称，则向量[a]的坐标可能为（）
A．[(-π12,0)] B．[(-π6,0)]
C．[(π12,0)] D．[(π6,0)]
解析 法（1）特值法：函数[y=sin(2x+π3)]的图象的一个对称中心为A（[-π6,0]），按[a]平移后所得的图象关于点B[(-π12,0)]对称，则[a=AB=(π12,0)]，所以选C；
法（2）函数[y=sin(2x+π3)]的图象的对称中心为[A(-π6-kπ2,0)]，[k∈Z]，按[a]平移后所得的图象关于点B[(-π12,0)]对称，[∴a=AB=(π12+kπ2,0),k∈Z]，令[k=0]，即得C.
例4 将函数[y=f(x)]图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，同时将纵坐标缩小到原来的[12]倍，得到函数[y=cos(x-π6)]的图象．另一方面，函数[f(x)]的图象也可以由函数[y=2cos2x+1]的图象按向量[c]平移得到，则[c]可以是 ()
A．[(π12,-1)] B．[(π12,1)]
C．[(π6,-1)]D．[(π6,1)]
解析 将函数[y=cos(x-π6)]图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，同时将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的[12]倍，得到函数[f(x)=2cos(2x-π6)]的图象.而将函数[y=2cos2x+1]的图象按向量[c=(π12,-1)]平移可得到[f(x)=2cos[2(x-π12)]]的图象. 所以选A.
点拨 三角函数图象按向量进行的变换主要涉及平移变换，要注意平移的方向和距离.
一般情况是以平面向量为工具，根据平移前后图象的特点、性质求向量坐标、向量的模或模的最值等.当然也会考查三角函数图象按向量平移后的图象特点、性质. 如对称性、对称中心、对称轴、单调性、单调区间、最值等.
四、以平面向量为工具解决与三角函数有关的不等式问题
例5 已知二次函数[f(x)]对任意[x∈R]，都有[f(1-x)=f(1+x)]成立，设向量[a=(sinx,2)]，[b=(2sinx,12)]，[c=(cos2x,1)]，[d=(1,2)]，当[x∈[0,π]]时，求不等式[f(a⋅b)>f((c⋅d)]的解集.
解析∵[x∈R]，[f(1-x)=f(1+x)]，
∴二次函数[f(x)]图象的对称轴为直线[x=1]，
∵[x∈[0,π]]，∴[a⋅b=2sin2x+1≥1]，
[c⋅d=cos2x+2≥1]，
（1）当二次函数[f(x)]的图象开口向上时，[f(x)]在[x∈[1,+∞)]上递增，
∴[a⋅b=2sin2x+1>c⋅d=cos2x+2]，
解得[cos2x<0.]
[∵x∈[0,π],∴π4
同理, 解得[0≤x<π4]或[3π4
点拨以平面向量为工具解决与三角函数有关的不等式问题实质是利用向量的线性运算、数量积等结合函数的性质，将所给问题转化为三角不等式. 只要熟练掌握函数的性质，常见不等式的解法及部分三角函数的有界性，这类题还是容易解决的.
六、以平面向量为工具解决与三角形的“心”有关的问题
例6[△ABC]的外接圆的圆心为[O]，两条边上的高的交点为[H]，[OH=m(OA+OB+OC)]，则实数[m]=.
解析 延长BO交[△ABC]的外接圆于D，连接CH、CD、AD，
则有[DC⊥BC,DA⊥BA.]
又H为[△ABC]的垂心，[∴AH⊥BC,CH⊥BA]，
[∴CH∥DA,][AH∥DC]，
[∴]四边形AHCD为平行四边形，
[∴AH=DC],[∴][AH=DC],
取BC的中点E，连接DE，则[OB+OC=2OE].
∵O为BD的中点，∴[OB+OC=2OE=DC],
∴ [OB+OC=AH].
而[OH=OA+AH=OA+OB+OC]，∴[m=1.]
点拨 因为[OA+AH=OH]，所以想法将[OB+OC]转化为与[AH]相关的向量. 首先将[OB+OC]转化为[2OE]，再将[2OE]转化为[DC]，最后证明[DC=AH]即可. 其间用到向量的加法运算，转化思想，“加倍折半”法，三角形的垂心，外心, 平行四边形的判定和性质等知识. 当然，本题因为是填空题，所以还可以用特殊方法解决，如直接选择等腰直角三角形得到[m=1]等.
例7 已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
[OP=OB+OC2+λ][(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)]，
[λ∈(0,+∞)]，则P的轨迹一定通过△[ABC]的（ ）
A. 外心 B. 内心
C. 重心 D. 垂心
解析
[∵OP=OB+OC2+λ][(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)]
[∴(OP-OB)+(OP-OC)=2λ(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC),]
取[BC]的中点[D]，则
[(OP-OB)+(OP-OC)=BP+CP=2DP]，
[∴DP=λ(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)]，
[∴DP⋅BC=λ(AB⋅BC|AB|cosB+AC⋅BC|AC|cosC)]，
[∴DP⋅BC=λ(-BC+BC)=0]，[∴DP⊥BC.]
又点[D]是[BC]的中点，点P的轨迹一定通过[△ABC]的外心. 选A.
点拨 利用平面向量的数量积的运算将[(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)⋅BC]转化为0，再利用两个非零向量的数量积等于0，得到[DP⊥BC]，达到证题目的.