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设计的目的
本节课希望通过几何画板强大的作图功能,让学生进一步熟悉函数y=ax与y=logax图像。再由教师安排学生进行自我探索活动,对关于函数y=ax与y=logax图像交点个数能有直观而正确的认识。最后让老师和学生一起通过具体发现完成本节课的教学主题:互为反函数的图像交点情况。
教学基本概述
在本节课的教学活动实施中,由于教师尽量让学生主动的由最直观的动态图形去掌握内容,因此教学设计都是以师生操作电脑进行观察后的所得而进行的。故在本节课中,学生是否能真正掌握几何画板的基本操作,是本节课成功与否的一个关键。
教学主要片段
本节课的主要教学情景如下: ( 其中T代表老师,老师的提问或说明依次为T1,T2…;S1代表第一位学生,S2代表第二位学生…,SA代表全部学生)
情景一:复习旧知,引入本课主题
T1:同学们,我们来看看函数y=2x与y=log2x的图像(老师启动几何画板并一步一步画出两者图像),看看两者的交点情况。
SA:没有交点。
T2:底数2换成其他数会有交点吗? (希望让学生的思维不要局限此图像)
S1:有,当底数是小于1的数时,如。
T3:几个交点呢?让我们一起用铅笔画出y=()x与y=logx的图像。我们可以得出什么结论呢?
S3:当底数01时没有交点。
T6:很好。……我们接下来就一起利用几何画板强大的作图功能验证S3所归纳的这一结论是否正确。(目的是通过参数的改变,动态改变函数图像,在动手操作过程中体验函数图像的性质,主动去发现数学知识,通过函数的图像更深刻的理解函数的性质,从而对函数的思想有更深层次的认识,也使学生的思维向更深更广的层次拓展)。
上述师生对话,说明学生已掌握了基本的指数、对数函数图像。教师借此让学生主动引入本课主题。教师的提问使学生不断思考联系自身已掌握的知识,从而使学生对于指数、对数函数图像有了更深的理解;在直观图形、教师指导下由学生用自己的语言归纳出一个命题(先不论正确与否),这正是建构教学的一个重要过程。
情景二: 操作并猜想
T7:同学们,下面请你们按照老师刚才的画法,自己用几何画板先画出函数y=ax当a取不同值时的变化情况。
……注意到很多学生操作不熟练或根本无所适从,教师马上调整。
T8:也可以用铅笔在纸上画出变化趋势。(老师则巡视各个学生的情况。当中有学生观看邻座、或不愿意动手。)
S8:老师,要做什么?到底要画出多少对曲线啊?
老师发现S8在几何画板中画出了如下图像(图4-3-1):
T9:同学们注意一下什么时候函数y=ax的图像与直线y=x有交点……S8的屏幕上出现的图像(如图4-3-2),(教师把所有的学生电脑显示屏都显示S8的屏幕),为什么要研究y=ax的图像与直线y=x交点情况呢?(部分学生很茫然)
S9:我知道了,图中a=1.3,1.2时与y=x有交点,那么必然跟相应的y=logax有交点;而a=1.5或更大时没有交点,那么必然跟相应的y=logax也没有交点。
T10:大家想想S10的回答中运用了我们学过的哪个知识?请S10再强调一下。
S9:原函数经过点(a,b),则反函数必经过点(b,a)。
T11:由此得出:S3同学的关于:当a>1时没有交点的结论是错误的。那么有没有可能有两个或更多的交点呢?
S10:上面的a=1.3,1.2时,从图像得出都应该有两个交点。
由上述操作可见,学生的直观发现往往是最易理解,当教学的意义明确(T9),便易于学生猜想出正确结果。通过学生亲自作出函数的变化情况,让学生自己找出结论,并利用已有知识加以解释(S9、S10)。当目标不明确(部分学生观看邻座或不愿动手)或不能联系已有知识时(部分学生的茫然),便出现不理想的结果。由此可见,教师的“导”及学生的技能是成功教学的一个要素。信息技术环境下的课堂教学不是传统教学单纯式的讲解,而是充分发挥教师的主导作用体现教师的“导引”,即对学生的思维提供一个合乎数学思维的向导,引出所要解决的问题,必要的时候给予一定的启发和提示。
情景三:直观到抽象
T12:能否找到一个具体的函数,而不是利用画出图像看出结论呢?(教师趁热打铁,把学生的具体的直观认识发展到抽象认识)
S11:应该是a=时吧,y=()x的图像过(2,2),肯定与直线y=x有交点。函数y=logx的图像也过(2,2)点。
S12:y=()x的图像还过(4,4),所以y=()x的图像与函数y=logx的图像就有两个交点:(2,2)和(4,4)。(此时有学生自言自语:原来原函数与反函数的图象交点一定出现在直线y=x上啊!)
T13:原函数与反函数的图像交点必在直线y=x上?
SA:是。
由上述问答,学生正是有了直观的感性认识,才不知不觉的把问题引向深入,并产生了新的问题,引起新的解决问题的冲动。并使学生自己看清楚数学理论如何从具体特例过渡到一般抽象形式。让学生在几秒钟之内看到猜想的具体体现。学生关注显示屏上图形中各个元素之间的关系、通过变换、测量、作图等工具处理图形,给特例和反例,发现图形变化的规律性。这个动态变化过程在传统媒体下是难以实现的。
情景四:由浅入深
T14:刚才我们只是验证的a>1时S3同学的观点不正确,那么当底数0 S13:当底数0 T14:你是用铅笔画的还是用几何画板画的呢?
S13:我是用笔画的啊,刚才a>1时,它们可以有两个交点,也是从我用铅笔画的图像中看出来的。
T15:用铅笔画有时随意性太大,还是请大家耐心点,用几何画板来画较为精确,特别请大家画出当a接近0时的这对图像……
S14:好像有三个交点啊,我取的是a=0.05时(如图4-3-3)?(教师把所有同学的显示屏切换到S14的显示状态)
T16:下面就请三位同学到黑板上来按照显示屏的画面画出有三个交点的这对图像,其他同学在下面自己用铅笔画出来。
三位学生各用了三分钟左右,其中两个学生画了擦、擦了画,最终也没能画出来;还有一位学生虽勉强画出,但线条太不平滑,感觉很牵强。下面的学生有很多感觉很茫然,更感觉有三个交点是不可思议的。
由上述情景的分析,可见当教学活动失去了新奇及趣味,加上探索性不足时,学生便失去了对参与教学活动的热诚(S13)。 但同时也没有刻意地追求某种形式化的教学模式,没有刻意地用现代媒体手段去装饰课堂,而是回到最基本的,让学生手绘图像,充分感受信息技术的优势。
最后,由于时间所限。故将余下的约1~2分钟时间用作教师总结:确实当a取到某一范围的值时有三个交点。并提示学生:能否也象刚才找到a=一样,找到一个确切的a值,并找到实实在在的三个交点呢?要去找接近0且与2有关的数。然后再去想想,一对互为反函数的交点是否一定在直线y=x上。这些就请同学们课后先去探索了。
教学实践的反思
本节课是学生第一次借用电脑教室上数学课(每人一机),课后的自我剖析、同事之间的交流及讨论,对本节课获得以下经验和反思,希望对今后的这一形式的教学有所裨益。
1.学生的反应
从学生的课堂反应及第二天课的实际效果,可以发现确实提高了学生对这一问题的兴趣及探索欲(学生纷纷要求再到电脑教室继续研究这一问题)。
2.教师的自我反思
没有正确评估学生的电脑操作水平,导致有相当一部分学生在课上无所事事;在重点或难点问题的解决上,没有给学生留出足够的思考空间,而是引导学生遵照自己的思维方式去思考问题,急于让学生得出正确答案,而无法体现信息技术作为学生认知工具、研发工具的作用(主要是看到大多学生并不是非常熟练的操作几何画板这一软件),缺乏学生利用教师提供的丰富的学习资源和信息技术手段自主建构知识的过程;没有充分让学生自然表现自我,多了一些说教,少了一些探讨。
3.教学设计的评价
(1)优点
①利用电脑教室进行教学,使学生参与学习的形式更为广泛。
②由学生自我操作的过程建立出严谨的数学证明,这是操作活动与数学原理结合的一个成功要素。
③由个别学生的提问回答,可以清楚学生在操作中的探究结果;有哪些学生有发现,有哪些学生摸不着的,都呈现在课堂之中。提问同时可以为全体学生作比较,使学生更肯定自己的探究结果。
④利用多媒体,可以实时在电视屏幕上同步呈现教学活动的过程和发现,更能在同学描述证明的原理和步骤时作出实时的显示。使全体学生都清楚证明步骤。
(2)缺点
①在提问的过程中,已有学生将有些结论说出来,影响了对结果探索的开放性,干扰了部分学生的探索热情。
②由于教室的限制,故老师未能逐一走近学生身边观察每个学生的所有操作过程,故以个别提问及观察比较学生的探究结果。
③因为第一次到电脑教学上数学课,各方面都不太熟悉,导致教学任务没有全部完成,第二天再花了半节课才让学生基本搞清了关于函数y=ax与y=logax图像交点个数这一问题。
(3)对今后改进教学的启示
①充分了解学生自身能力和水平,可使学生更为投入。因此在今后这类形式的课中,大可向这方向设计。
②由提问引入,让学生以自我探索寻找答案,从中也能用以认识学生对过去知识的掌握程度。
③从操作中让学生比较与综合发现,有助于学生对探究获得更大的认同及正面的鼓励。
④在本节中老师的提问,主要是针对个人,应照顾学生的个别差异,今后可考虑通过小组协作学习完成教学。
小结
通过本课的案例研究,可以发现本次教学课能成功的让学生对数学进行猜想、发现及验证三个阶段,并用多媒体进行同步呈现。
因此,在今后的教学重点将在教学的多元性方面有所改进,希望所有学生都能全面参与,而为了增强学生的参与感,可选择学生熟悉的教学形式。而在教学过程中,可以以个人及小组的方式进行提问和归纳教学,使课堂在学生引导的师生互动原则下进行,通过多媒体信息技术的教学活动加强学生对知识的探究热情和态度。这种可视信息推动学生的具体思维向抽象思维顺利过渡。通过可视化的数学知识变化过程促进学生理解抽象的数学概念和性质,掌握它们之间的内在联系。能够刺激学生观察,但如果仅仅是刺激观察,并不会引起思维,变化必须发生在某种渐增的顺序中,每一连续的变化,都能使学生回想起变化以前的东西,并对以后将要出现的东西产生兴趣。
学生能够利用软件解决超越他们现在水平的问题。教师在课堂上要帮助学生学习更多的数学,并对数学有更深刻的理解、从多个角度思考问题。教师的教学要使得更学生有效地利用技术形成个人数学能力的延伸,学生可以从动态中去观察现象、读取数据、探索和发现研究对象之间的变化关系。使得教师和学生有更多的时间和精力从繁琐的作图任务中解脱出来,从而更主动的参与到数学学习过程中去。课堂上教师要留给学生更多的思维时间和空间,会从数学的角度去观察事物、思考问题,激发学习数学的兴趣。
参考文献:
[1]李士琦.PME:数学教育心理.上海:华东师范大学出版社,2001
[2]中华人民共和国教育部制订.数学课程标准.北京师范大学出版社,2003
[3]奚定华主编.数学教学设计.上海:华东师范大学出版社,2001
[4]张勇赴.函数y=ax与logax图像交点个数探究.数学通讯,2003(24)
本节课希望通过几何画板强大的作图功能,让学生进一步熟悉函数y=ax与y=logax图像。再由教师安排学生进行自我探索活动,对关于函数y=ax与y=logax图像交点个数能有直观而正确的认识。最后让老师和学生一起通过具体发现完成本节课的教学主题:互为反函数的图像交点情况。
教学基本概述
在本节课的教学活动实施中,由于教师尽量让学生主动的由最直观的动态图形去掌握内容,因此教学设计都是以师生操作电脑进行观察后的所得而进行的。故在本节课中,学生是否能真正掌握几何画板的基本操作,是本节课成功与否的一个关键。
教学主要片段
本节课的主要教学情景如下: ( 其中T代表老师,老师的提问或说明依次为T1,T2…;S1代表第一位学生,S2代表第二位学生…,SA代表全部学生)
情景一:复习旧知,引入本课主题
T1:同学们,我们来看看函数y=2x与y=log2x的图像(老师启动几何画板并一步一步画出两者图像),看看两者的交点情况。
SA:没有交点。
T2:底数2换成其他数会有交点吗? (希望让学生的思维不要局限此图像)
S1:有,当底数是小于1的数时,如。
T3:几个交点呢?让我们一起用铅笔画出y=()x与y=logx的图像。我们可以得出什么结论呢?
S3:当底数0
T6:很好。……我们接下来就一起利用几何画板强大的作图功能验证S3所归纳的这一结论是否正确。(目的是通过参数的改变,动态改变函数图像,在动手操作过程中体验函数图像的性质,主动去发现数学知识,通过函数的图像更深刻的理解函数的性质,从而对函数的思想有更深层次的认识,也使学生的思维向更深更广的层次拓展)。
上述师生对话,说明学生已掌握了基本的指数、对数函数图像。教师借此让学生主动引入本课主题。教师的提问使学生不断思考联系自身已掌握的知识,从而使学生对于指数、对数函数图像有了更深的理解;在直观图形、教师指导下由学生用自己的语言归纳出一个命题(先不论正确与否),这正是建构教学的一个重要过程。
情景二: 操作并猜想
T7:同学们,下面请你们按照老师刚才的画法,自己用几何画板先画出函数y=ax当a取不同值时的变化情况。
……注意到很多学生操作不熟练或根本无所适从,教师马上调整。
T8:也可以用铅笔在纸上画出变化趋势。(老师则巡视各个学生的情况。当中有学生观看邻座、或不愿意动手。)
S8:老师,要做什么?到底要画出多少对曲线啊?
老师发现S8在几何画板中画出了如下图像(图4-3-1):
T9:同学们注意一下什么时候函数y=ax的图像与直线y=x有交点……S8的屏幕上出现的图像(如图4-3-2),(教师把所有的学生电脑显示屏都显示S8的屏幕),为什么要研究y=ax的图像与直线y=x交点情况呢?(部分学生很茫然)
S9:我知道了,图中a=1.3,1.2时与y=x有交点,那么必然跟相应的y=logax有交点;而a=1.5或更大时没有交点,那么必然跟相应的y=logax也没有交点。
T10:大家想想S10的回答中运用了我们学过的哪个知识?请S10再强调一下。
S9:原函数经过点(a,b),则反函数必经过点(b,a)。
T11:由此得出:S3同学的关于:当a>1时没有交点的结论是错误的。那么有没有可能有两个或更多的交点呢?
S10:上面的a=1.3,1.2时,从图像得出都应该有两个交点。
由上述操作可见,学生的直观发现往往是最易理解,当教学的意义明确(T9),便易于学生猜想出正确结果。通过学生亲自作出函数的变化情况,让学生自己找出结论,并利用已有知识加以解释(S9、S10)。当目标不明确(部分学生观看邻座或不愿动手)或不能联系已有知识时(部分学生的茫然),便出现不理想的结果。由此可见,教师的“导”及学生的技能是成功教学的一个要素。信息技术环境下的课堂教学不是传统教学单纯式的讲解,而是充分发挥教师的主导作用体现教师的“导引”,即对学生的思维提供一个合乎数学思维的向导,引出所要解决的问题,必要的时候给予一定的启发和提示。
情景三:直观到抽象
T12:能否找到一个具体的函数,而不是利用画出图像看出结论呢?(教师趁热打铁,把学生的具体的直观认识发展到抽象认识)
S11:应该是a=时吧,y=()x的图像过(2,2),肯定与直线y=x有交点。函数y=logx的图像也过(2,2)点。
S12:y=()x的图像还过(4,4),所以y=()x的图像与函数y=logx的图像就有两个交点:(2,2)和(4,4)。(此时有学生自言自语:原来原函数与反函数的图象交点一定出现在直线y=x上啊!)
T13:原函数与反函数的图像交点必在直线y=x上?
SA:是。
由上述问答,学生正是有了直观的感性认识,才不知不觉的把问题引向深入,并产生了新的问题,引起新的解决问题的冲动。并使学生自己看清楚数学理论如何从具体特例过渡到一般抽象形式。让学生在几秒钟之内看到猜想的具体体现。学生关注显示屏上图形中各个元素之间的关系、通过变换、测量、作图等工具处理图形,给特例和反例,发现图形变化的规律性。这个动态变化过程在传统媒体下是难以实现的。
情景四:由浅入深
T14:刚才我们只是验证的a>1时S3同学的观点不正确,那么当底数0
S13:我是用笔画的啊,刚才a>1时,它们可以有两个交点,也是从我用铅笔画的图像中看出来的。
T15:用铅笔画有时随意性太大,还是请大家耐心点,用几何画板来画较为精确,特别请大家画出当a接近0时的这对图像……
S14:好像有三个交点啊,我取的是a=0.05时(如图4-3-3)?(教师把所有同学的显示屏切换到S14的显示状态)
T16:下面就请三位同学到黑板上来按照显示屏的画面画出有三个交点的这对图像,其他同学在下面自己用铅笔画出来。
三位学生各用了三分钟左右,其中两个学生画了擦、擦了画,最终也没能画出来;还有一位学生虽勉强画出,但线条太不平滑,感觉很牵强。下面的学生有很多感觉很茫然,更感觉有三个交点是不可思议的。
由上述情景的分析,可见当教学活动失去了新奇及趣味,加上探索性不足时,学生便失去了对参与教学活动的热诚(S13)。 但同时也没有刻意地追求某种形式化的教学模式,没有刻意地用现代媒体手段去装饰课堂,而是回到最基本的,让学生手绘图像,充分感受信息技术的优势。
最后,由于时间所限。故将余下的约1~2分钟时间用作教师总结:确实当a取到某一范围的值时有三个交点。并提示学生:能否也象刚才找到a=一样,找到一个确切的a值,并找到实实在在的三个交点呢?要去找接近0且与2有关的数。然后再去想想,一对互为反函数的交点是否一定在直线y=x上。这些就请同学们课后先去探索了。
教学实践的反思
本节课是学生第一次借用电脑教室上数学课(每人一机),课后的自我剖析、同事之间的交流及讨论,对本节课获得以下经验和反思,希望对今后的这一形式的教学有所裨益。
1.学生的反应
从学生的课堂反应及第二天课的实际效果,可以发现确实提高了学生对这一问题的兴趣及探索欲(学生纷纷要求再到电脑教室继续研究这一问题)。
2.教师的自我反思
没有正确评估学生的电脑操作水平,导致有相当一部分学生在课上无所事事;在重点或难点问题的解决上,没有给学生留出足够的思考空间,而是引导学生遵照自己的思维方式去思考问题,急于让学生得出正确答案,而无法体现信息技术作为学生认知工具、研发工具的作用(主要是看到大多学生并不是非常熟练的操作几何画板这一软件),缺乏学生利用教师提供的丰富的学习资源和信息技术手段自主建构知识的过程;没有充分让学生自然表现自我,多了一些说教,少了一些探讨。
3.教学设计的评价
(1)优点
①利用电脑教室进行教学,使学生参与学习的形式更为广泛。
②由学生自我操作的过程建立出严谨的数学证明,这是操作活动与数学原理结合的一个成功要素。
③由个别学生的提问回答,可以清楚学生在操作中的探究结果;有哪些学生有发现,有哪些学生摸不着的,都呈现在课堂之中。提问同时可以为全体学生作比较,使学生更肯定自己的探究结果。
④利用多媒体,可以实时在电视屏幕上同步呈现教学活动的过程和发现,更能在同学描述证明的原理和步骤时作出实时的显示。使全体学生都清楚证明步骤。
(2)缺点
①在提问的过程中,已有学生将有些结论说出来,影响了对结果探索的开放性,干扰了部分学生的探索热情。
②由于教室的限制,故老师未能逐一走近学生身边观察每个学生的所有操作过程,故以个别提问及观察比较学生的探究结果。
③因为第一次到电脑教学上数学课,各方面都不太熟悉,导致教学任务没有全部完成,第二天再花了半节课才让学生基本搞清了关于函数y=ax与y=logax图像交点个数这一问题。
(3)对今后改进教学的启示
①充分了解学生自身能力和水平,可使学生更为投入。因此在今后这类形式的课中,大可向这方向设计。
②由提问引入,让学生以自我探索寻找答案,从中也能用以认识学生对过去知识的掌握程度。
③从操作中让学生比较与综合发现,有助于学生对探究获得更大的认同及正面的鼓励。
④在本节中老师的提问,主要是针对个人,应照顾学生的个别差异,今后可考虑通过小组协作学习完成教学。
小结
通过本课的案例研究,可以发现本次教学课能成功的让学生对数学进行猜想、发现及验证三个阶段,并用多媒体进行同步呈现。
因此,在今后的教学重点将在教学的多元性方面有所改进,希望所有学生都能全面参与,而为了增强学生的参与感,可选择学生熟悉的教学形式。而在教学过程中,可以以个人及小组的方式进行提问和归纳教学,使课堂在学生引导的师生互动原则下进行,通过多媒体信息技术的教学活动加强学生对知识的探究热情和态度。这种可视信息推动学生的具体思维向抽象思维顺利过渡。通过可视化的数学知识变化过程促进学生理解抽象的数学概念和性质,掌握它们之间的内在联系。能够刺激学生观察,但如果仅仅是刺激观察,并不会引起思维,变化必须发生在某种渐增的顺序中,每一连续的变化,都能使学生回想起变化以前的东西,并对以后将要出现的东西产生兴趣。
学生能够利用软件解决超越他们现在水平的问题。教师在课堂上要帮助学生学习更多的数学,并对数学有更深刻的理解、从多个角度思考问题。教师的教学要使得更学生有效地利用技术形成个人数学能力的延伸,学生可以从动态中去观察现象、读取数据、探索和发现研究对象之间的变化关系。使得教师和学生有更多的时间和精力从繁琐的作图任务中解脱出来,从而更主动的参与到数学学习过程中去。课堂上教师要留给学生更多的思维时间和空间,会从数学的角度去观察事物、思考问题,激发学习数学的兴趣。
参考文献:
[1]李士琦.PME:数学教育心理.上海:华东师范大学出版社,2001
[2]中华人民共和国教育部制订.数学课程标准.北京师范大学出版社,2003
[3]奚定华主编.数学教学设计.上海:华东师范大学出版社,2001
[4]张勇赴.函数y=ax与logax图像交点个数探究.数学通讯,2003(24)