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摘 要：针对小学数学教学展现出来的严密性往往遭遇“尴尬”的场景，本文通过两则教学实例，分析教师在教学中如何避免这些“尴尬”。
关键词：教学；严密；矛盾
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）03-087-2
提到数学，人们首先想到的是科学、严谨，的确，严密准确是数学语言的首要特点，我们在描述和理解数学中各种各样的概念、定义、定理、公式时，必须准确地表达一个确定的意思，没有任何歧义。然而在小学数学教学实践中，受各种因素的影响，其严密性往往陷入“尴尬”的境地。
“同一平面内，不相交的两条直线互相平行。”
四年级（上）第四单元平行和相交中，教材这样阐述平行的定义：“同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。”经验丰富的老师知道，“同一平面内”的理解对学生来说是个难点，也是老师们煞费苦心力争解决的一个知识点。且看关于这一段教学的某个片段。
教师通过玩游戏棒引导学生认识了两条直线相交和不相交的两种情况，告诉学生类似图1这样的两条直线是互相平行的。
师：有没有可能两条直线既不相交也不平行呢？
学生茫然，没有明白老师的用意。
教师出示一个类似魔方可以扳转的长方体，如图2同一个面上画了一红一蓝两条平行线，学生找到这一组平行线后，教师即转动长方体，图3问：这两条直线现在相交吗？平行吗？为什么它们不平行也不相交了呢？
图1
图2
图3
生1：因为它们换了位置了。
生2：因为老师把它换了一面了。
师：那你们身边的为什么不是平行就是相交？（学生身边有画有平行线图的纸）
个别学生陆续举手回答：
生1：因为我们的不会移动。
生2：因为我们的没有转动。
生3：因为老师的是线段，我们的是直线。
生4：因为我们有一个面，老师有几个面。
师：所以，我们要给平行的概念添一个前提条件：在同一平面上。
师板书平行定义，生齐读。
老师的两个问题显然有较大的难度，对于四年级的学生，他们对长方体的顶点、棱和面仅仅有表面的认识，对“平面”这一专用名词也是了解不深，可以说，尽管似乎有个别孩子找到了老师所需要的接近的答案，但是他们的关注点仍在转动等浅层次的感知上，有一大半的孩子是不能上升到不同平面的意思的，也许还包括最后那个回答问题的孩子。
老师的设计是非常巧妙和用心的，但是孩子不能完全接受，听课的老师也觉得这一个环节进行得特别艰难，问题在哪？在“同一平面内”这个问题来临之前，此时学生对平行的认识虽不完整，但却是轻松自然的，他们所看到两条直线互相平行非常直观，他们的认识也仅仅是“平面”的层次，并没有遇到认知的冲突，突然要让他们上升到“异面”的层次，需要很强的空间想象能力，是一个突兀的飞跃，而在后面的教学中，这个“异面”现象不再出现，还是回到同一平面的层次，仿佛这个“同一平面”的教学有些自讨苦吃。
那么，这个“同一平面”是否可以不理解呢？答案显然是否定的，确确实实在不同平面内，有两条直线既不平行也不相交的情况，“同一平面”虽然不是重点，却是绕不开的坎，不能不讲。我认为，教师在环节的处理上可以做一下调整，不妨就让学生先有“残缺”地认识两条不相交的直线互相平行，给学生一个认识新知的缓冲期。在学生对整节课的内容熟练掌握后，教师可以在最后质疑：“是不是不相交的两条直线就一定平行呢？”教师的长方体教具固然很好，但是教具小，学生观察易受限制，有位老师在教学时，就拿教室里三条墙线作为观察对象，其中两条墙线在一个面上，还有一条墙线在另一个面上，让学生置身其中观察，引导学生明确哪两条墙线怎么延长都不能相交，但是它们不平行，因为它们不在同一个墙面上，哪两条墙线在同一个墙面上，没有相交，所以是一组平行线，从而完善“同一平面内”的含义。
“同一个圆的半径都相等。”
这是一个老话题，很多老师在上《圆的认识》一课时，都会在上面纠结一下。
师：观察圆的半径，你有什么发现？
生：圆的半径都相等。
师：有补充吗？（生沉默）
都同意吗？（生点头）
出示两个大小明显不同的圆，它们的半径也相等吗？
生：不相等。
师：同一个圆内，半径才是都相等的。
难道学生会认为不同大小的圆，半径也会相等吗？这是个再幼稚不过的问题。这“同一个圆”，如同鸡肋，食之无味，弃之可惜，如果不说，半径概念不严密，偏偏很多练习册和考试卷还会出到此类判断题，如果说了，便有牵强附会、生拉硬扯之嫌。
在网上百度一下，对于“圆的半径都相等”的争论还不少：
A：一般来说，数学是需要考虑思维与知识的严谨性，所以，圆的所有半径都相等一般来说应该要有“在同一圆内或等圆内”这个条件的。
B：应该是同圆或等圆的半径直径都相等，没有这两个条件不能说半径直径相等。这个一定是答案错了。
C：按通俗理解这句话当然是对的，因为按通常理解这句话说的“圆”指的就是一个圆，要是这句话改成“所有圆的……”那就不对了。
D：教育的本意是告诉别人问题的答案，而不是抠字眼，脑筋急转弯。
……
华应龙老师的话给人启发：数学要讲究严密，但需要如此的严密吗？请问“正常人的两条腿是一样长的”这句话对吗？不对，应该说“在同一个人身上，正常人的两条腿是一样长的”。有这样的吗？在日常生活中是这样，就是在学科数学里也是如此。“正方形的四条边都相等”，对吗？可能没有人提出异议，大概是没有人认为一定要说：“在同一个正方形里”如何如何的。
数学应该是一门把学生变聪明的学科，如果我们一直拘泥于这些没有必要的细节里，学生思维的严密性不但得不到培养和发展，反而会误导学生钻入死胡同，死抠字眼，这应该不是我们教学的初衷。
同样是“同一”这一范围理解遇到的“尴尬”，“同一平面内”，体现了数学概念的严密性，是学生理解层面上的缺陷，我们不得不教，那么就选择最合适的时机与方法去渗透；“同一个圆内”，没有体现数学的严密性，与学生的认识理解没有关系，教与不教一个样，我们就没有必要教。
关键词：教学；严密；矛盾
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）03-087-2
提到数学，人们首先想到的是科学、严谨，的确，严密准确是数学语言的首要特点，我们在描述和理解数学中各种各样的概念、定义、定理、公式时，必须准确地表达一个确定的意思，没有任何歧义。然而在小学数学教学实践中，受各种因素的影响，其严密性往往陷入“尴尬”的境地。
“同一平面内，不相交的两条直线互相平行。”
四年级（上）第四单元平行和相交中，教材这样阐述平行的定义：“同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。”经验丰富的老师知道，“同一平面内”的理解对学生来说是个难点，也是老师们煞费苦心力争解决的一个知识点。且看关于这一段教学的某个片段。
教师通过玩游戏棒引导学生认识了两条直线相交和不相交的两种情况，告诉学生类似图1这样的两条直线是互相平行的。
师：有没有可能两条直线既不相交也不平行呢？
学生茫然，没有明白老师的用意。
教师出示一个类似魔方可以扳转的长方体，如图2同一个面上画了一红一蓝两条平行线，学生找到这一组平行线后，教师即转动长方体，图3问：这两条直线现在相交吗？平行吗？为什么它们不平行也不相交了呢？
图1
图2
图3
生1：因为它们换了位置了。
生2：因为老师把它换了一面了。
师：那你们身边的为什么不是平行就是相交？（学生身边有画有平行线图的纸）
个别学生陆续举手回答：
生1：因为我们的不会移动。
生2：因为我们的没有转动。
生3：因为老师的是线段，我们的是直线。
生4：因为我们有一个面，老师有几个面。
师：所以，我们要给平行的概念添一个前提条件：在同一平面上。
师板书平行定义，生齐读。
老师的两个问题显然有较大的难度，对于四年级的学生，他们对长方体的顶点、棱和面仅仅有表面的认识，对“平面”这一专用名词也是了解不深，可以说，尽管似乎有个别孩子找到了老师所需要的接近的答案，但是他们的关注点仍在转动等浅层次的感知上，有一大半的孩子是不能上升到不同平面的意思的，也许还包括最后那个回答问题的孩子。
老师的设计是非常巧妙和用心的，但是孩子不能完全接受，听课的老师也觉得这一个环节进行得特别艰难，问题在哪？在“同一平面内”这个问题来临之前，此时学生对平行的认识虽不完整，但却是轻松自然的，他们所看到两条直线互相平行非常直观，他们的认识也仅仅是“平面”的层次，并没有遇到认知的冲突，突然要让他们上升到“异面”的层次，需要很强的空间想象能力，是一个突兀的飞跃，而在后面的教学中，这个“异面”现象不再出现，还是回到同一平面的层次，仿佛这个“同一平面”的教学有些自讨苦吃。
那么，这个“同一平面”是否可以不理解呢？答案显然是否定的，确确实实在不同平面内，有两条直线既不平行也不相交的情况，“同一平面”虽然不是重点，却是绕不开的坎，不能不讲。我认为，教师在环节的处理上可以做一下调整，不妨就让学生先有“残缺”地认识两条不相交的直线互相平行，给学生一个认识新知的缓冲期。在学生对整节课的内容熟练掌握后，教师可以在最后质疑：“是不是不相交的两条直线就一定平行呢？”教师的长方体教具固然很好，但是教具小，学生观察易受限制，有位老师在教学时，就拿教室里三条墙线作为观察对象，其中两条墙线在一个面上，还有一条墙线在另一个面上，让学生置身其中观察，引导学生明确哪两条墙线怎么延长都不能相交，但是它们不平行，因为它们不在同一个墙面上，哪两条墙线在同一个墙面上，没有相交，所以是一组平行线，从而完善“同一平面内”的含义。
“同一个圆的半径都相等。”
这是一个老话题，很多老师在上《圆的认识》一课时，都会在上面纠结一下。
师：观察圆的半径，你有什么发现？
生：圆的半径都相等。
师：有补充吗？（生沉默）
都同意吗？（生点头）
出示两个大小明显不同的圆，它们的半径也相等吗？
生：不相等。
师：同一个圆内，半径才是都相等的。
难道学生会认为不同大小的圆，半径也会相等吗？这是个再幼稚不过的问题。这“同一个圆”，如同鸡肋，食之无味，弃之可惜，如果不说，半径概念不严密，偏偏很多练习册和考试卷还会出到此类判断题，如果说了，便有牵强附会、生拉硬扯之嫌。
在网上百度一下，对于“圆的半径都相等”的争论还不少：
A：一般来说，数学是需要考虑思维与知识的严谨性，所以，圆的所有半径都相等一般来说应该要有“在同一圆内或等圆内”这个条件的。
B：应该是同圆或等圆的半径直径都相等，没有这两个条件不能说半径直径相等。这个一定是答案错了。
C：按通俗理解这句话当然是对的，因为按通常理解这句话说的“圆”指的就是一个圆，要是这句话改成“所有圆的……”那就不对了。
D：教育的本意是告诉别人问题的答案，而不是抠字眼，脑筋急转弯。
……
华应龙老师的话给人启发：数学要讲究严密，但需要如此的严密吗？请问“正常人的两条腿是一样长的”这句话对吗？不对，应该说“在同一个人身上，正常人的两条腿是一样长的”。有这样的吗？在日常生活中是这样，就是在学科数学里也是如此。“正方形的四条边都相等”，对吗？可能没有人提出异议，大概是没有人认为一定要说：“在同一个正方形里”如何如何的。
数学应该是一门把学生变聪明的学科，如果我们一直拘泥于这些没有必要的细节里，学生思维的严密性不但得不到培养和发展，反而会误导学生钻入死胡同，死抠字眼，这应该不是我们教学的初衷。
同样是“同一”这一范围理解遇到的“尴尬”，“同一平面内”，体现了数学概念的严密性，是学生理解层面上的缺陷，我们不得不教，那么就选择最合适的时机与方法去渗透；“同一个圆内”，没有体现数学的严密性，与学生的认识理解没有关系，教与不教一个样，我们就没有必要教。