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在数学活动课上，笔者让学生探究一些启迪智慧的数学问题，效果颇佳。下例就是四年级学生在活动中的一段“实录”。
案例：
某公园对学生团体游园实行优惠，优惠票价如下表所示：
已知甲班比乙班多10人，如果两个班合在一起买票，总共付门票费832元。问：甲、乙两班各有多少人？
这是发生在学生身边的一个生活问题，学生很乐意探究，可是到了动手解答的时候，绝大多数学生却束手无策，面露难色。
师：同学们，从表面上看，题目提供的信息和所要解决的问题之间似乎没有直接关系，能否利用隐藏着的间接关系去解决呢？
生A：我想可以先求出两个班的总人数，再求各班的人数。
生B：我同意这种解题思路。我猜测：这两个班总人数不可能在50人之内，因为832元门票费超过了50人应付的600元门票费。
生C：也不可能在51~100人之间，虽然832元门票费从表面上看小于100人的1000元门票费，但是，根据“总价÷票价=人数”这一数量关系，计算“832÷10”时出现的商是小数，人数应该是整数，不可能是小数，与实际不相符。所以，我判断总人数超过了100人。
生D：我的想法跟他们一样，而且算出两个班总共是104人。
师：你们不但找准了解决问题的方向，还通过猜测、估算和推理得到了两个班的总人数是104人。有了这个条件，相信你们通过独立思考，一定会找出问题的答案！
得到老师的肯定和鼓励后，同学们又主动投入了探究：有的凝思，有的在纸上画，有的埋头演算……可谓此时无声胜有声。
生E：假设甲班人数与乙班人数同样多，那么，两班总人数就比104少了10人，只有94人，这样，平均每班只有47人，也就是说乙班47人，甲班多10人是57人。
生F：还可假设乙班人数与甲班人数同样多，两班总人数比104多10人，平均每班57人。换句话说，57就是甲班人数，乙班47人。
生G：我是这样算的：104÷2+10÷2=57（人）……
还没等G讲完，急性子H立即表态反对：我认为这算式是错的，算得的结果57人是巧合。
生I：我也认为是错的，是凑出的数字。
生J：我认为G的算法是对的。
……
随着争论的深入逐渐形成了支持和反对“两派”。最后，两派学生的目光都聚焦到了老师身上，希望老师来作出公正的判断。
师：同学们，双方说的似乎都有道理，对或错，口说无凭，你得用道理说服人家吧！我也不太明白：为什么要在52的基础上加5。
生K：“104÷2”是假设两个班人数相等，都是52人。实际上，甲班比乙班多10人，所以甲班比平均数52多5人，是57人，乙班比52人少5人，是47人。
生L：还可以用线段图来解释。（该生一边在黑板上分别画上两条长短不一的线段，一边指着图分析。如下图）
长的线段看作甲班人数，短的线段看作乙班人数。多出的一段就是两班相差的人数10人，我把这多出的一段平均分成两小段，每小段是5人，移一小段到乙线段的后面接起来，这样就发现两段一样长。换句话说，两班人数一样多，是104的一半，即52人。那么，甲移走一小段（5人）后是52人，乙得到一小段（5人）也是52人，所以甲班就是57人，乙班有47人。
……
师：对上面的解释满意吗？
齐：满——意！
正当老师准备导入下一个环节时，一位学生又举起了手，老师点头示意，让他发言。
生M：我根据两班相差10人，就可判定两班人数的个位数字是相同的，而每班人数大约50人，再根据两班人数之和104的个位数4的特征想，哪两个相同的一位数加起来，个位上会出现4呢？只有2+2或者7+7，假如个位上是2，那么两班都是52人，或者甲班有52人，乙班有42人，都与条件矛盾，假如个位上是7，甲班是57人，乙班有47人，完全与条件相符。所以……
话未讲完，掌声雷动。
反思：“智慧”就是人们对事物能认识、辨别、判断处理和发明创造的能力。教师的教育智慧集中表现在教育教学实践中，即具有感受、准确判断各种生成和变动过程可能出现的新情况和新问题的能力；具有使学生积极投入创造性学习，愿意与他人进行交流对话的能力。师生要努力创造“智慧”的课堂，用智慧催生智慧。以上理念，引发了我的积极思考。
1.智慧地选材，机智地引领。本例所选的学习材料及创设的教学情境，生活气息浓，是具有现实性和挑战性，且思维含量高，有利于学生智慧的培养和发展。在学生探究过程中，教师机智的引领，将探究一次次推向深入，将思维一次次激活，不断催生智慧；同时，积极的鼓励，合理的评价，对培养学生健全的人格，也起到了积极的作用。
2.敏锐地洞察，合情地推理。学生对数学问题的敏锐观察与合情推理是数学智慧的重要表现。在本例中，不管是学生从疑惑到顿悟，还是对题目中总人数的断定；不管是学生解题策略的多样性，还是“两派”争辩推理过程的起伏性，无处不闪烁着智慧的火花，无时不流淌着智慧的灵动。课堂中精彩的发言，高潮的出现，足以说明学生敏锐的数感，足以看出在处理数学问题时表现出的灵活思维与较开阔的思路和较好的数学素质。
3.独立思考，积极创造。独立思考是发展智慧最根本的途径。本例在解决问题的过程中，要用到“和差问题”的知识，这一知识，本班学生以前从未接触过。然而学生通过独立思考，主动探究，用自己的聪明才智创造了独特的解决问题方法，特别是最后一位学生通过观察104这个数的个位数字特征的推理，确实是一种创造性思维。
作者单位
江苏省宜兴市第二实验小学
◇责任编辑：李瑞龙◇
案例：
某公园对学生团体游园实行优惠，优惠票价如下表所示：
已知甲班比乙班多10人，如果两个班合在一起买票，总共付门票费832元。问：甲、乙两班各有多少人？
这是发生在学生身边的一个生活问题，学生很乐意探究，可是到了动手解答的时候，绝大多数学生却束手无策，面露难色。
师：同学们，从表面上看，题目提供的信息和所要解决的问题之间似乎没有直接关系，能否利用隐藏着的间接关系去解决呢？
生A：我想可以先求出两个班的总人数，再求各班的人数。
生B：我同意这种解题思路。我猜测：这两个班总人数不可能在50人之内，因为832元门票费超过了50人应付的600元门票费。
生C：也不可能在51~100人之间，虽然832元门票费从表面上看小于100人的1000元门票费，但是，根据“总价÷票价=人数”这一数量关系，计算“832÷10”时出现的商是小数，人数应该是整数，不可能是小数，与实际不相符。所以，我判断总人数超过了100人。
生D：我的想法跟他们一样，而且算出两个班总共是104人。
师：你们不但找准了解决问题的方向，还通过猜测、估算和推理得到了两个班的总人数是104人。有了这个条件，相信你们通过独立思考，一定会找出问题的答案！
得到老师的肯定和鼓励后，同学们又主动投入了探究：有的凝思，有的在纸上画，有的埋头演算……可谓此时无声胜有声。
生E：假设甲班人数与乙班人数同样多，那么，两班总人数就比104少了10人，只有94人，这样，平均每班只有47人，也就是说乙班47人，甲班多10人是57人。
生F：还可假设乙班人数与甲班人数同样多，两班总人数比104多10人，平均每班57人。换句话说，57就是甲班人数，乙班47人。
生G：我是这样算的：104÷2+10÷2=57（人）……
还没等G讲完，急性子H立即表态反对：我认为这算式是错的，算得的结果57人是巧合。
生I：我也认为是错的，是凑出的数字。
生J：我认为G的算法是对的。
……
随着争论的深入逐渐形成了支持和反对“两派”。最后，两派学生的目光都聚焦到了老师身上，希望老师来作出公正的判断。
师：同学们，双方说的似乎都有道理，对或错，口说无凭，你得用道理说服人家吧！我也不太明白：为什么要在52的基础上加5。
生K：“104÷2”是假设两个班人数相等，都是52人。实际上，甲班比乙班多10人，所以甲班比平均数52多5人，是57人，乙班比52人少5人，是47人。
生L：还可以用线段图来解释。（该生一边在黑板上分别画上两条长短不一的线段，一边指着图分析。如下图）
长的线段看作甲班人数，短的线段看作乙班人数。多出的一段就是两班相差的人数10人，我把这多出的一段平均分成两小段，每小段是5人，移一小段到乙线段的后面接起来，这样就发现两段一样长。换句话说，两班人数一样多，是104的一半，即52人。那么，甲移走一小段（5人）后是52人，乙得到一小段（5人）也是52人，所以甲班就是57人，乙班有47人。
……
师：对上面的解释满意吗？
齐：满——意！
正当老师准备导入下一个环节时，一位学生又举起了手，老师点头示意，让他发言。
生M：我根据两班相差10人，就可判定两班人数的个位数字是相同的，而每班人数大约50人，再根据两班人数之和104的个位数4的特征想，哪两个相同的一位数加起来，个位上会出现4呢？只有2+2或者7+7，假如个位上是2，那么两班都是52人，或者甲班有52人，乙班有42人，都与条件矛盾，假如个位上是7，甲班是57人，乙班有47人，完全与条件相符。所以……
话未讲完，掌声雷动。
反思：“智慧”就是人们对事物能认识、辨别、判断处理和发明创造的能力。教师的教育智慧集中表现在教育教学实践中，即具有感受、准确判断各种生成和变动过程可能出现的新情况和新问题的能力；具有使学生积极投入创造性学习，愿意与他人进行交流对话的能力。师生要努力创造“智慧”的课堂，用智慧催生智慧。以上理念，引发了我的积极思考。
1.智慧地选材，机智地引领。本例所选的学习材料及创设的教学情境，生活气息浓，是具有现实性和挑战性，且思维含量高，有利于学生智慧的培养和发展。在学生探究过程中，教师机智的引领，将探究一次次推向深入，将思维一次次激活，不断催生智慧；同时，积极的鼓励，合理的评价，对培养学生健全的人格，也起到了积极的作用。
2.敏锐地洞察，合情地推理。学生对数学问题的敏锐观察与合情推理是数学智慧的重要表现。在本例中，不管是学生从疑惑到顿悟，还是对题目中总人数的断定；不管是学生解题策略的多样性，还是“两派”争辩推理过程的起伏性，无处不闪烁着智慧的火花，无时不流淌着智慧的灵动。课堂中精彩的发言，高潮的出现，足以说明学生敏锐的数感，足以看出在处理数学问题时表现出的灵活思维与较开阔的思路和较好的数学素质。
3.独立思考，积极创造。独立思考是发展智慧最根本的途径。本例在解决问题的过程中，要用到“和差问题”的知识，这一知识，本班学生以前从未接触过。然而学生通过独立思考，主动探究，用自己的聪明才智创造了独特的解决问题方法，特别是最后一位学生通过观察104这个数的个位数字特征的推理，确实是一种创造性思维。
作者单位
江苏省宜兴市第二实验小学
◇责任编辑：李瑞龙◇