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摘 要：数学解题教学中，通过具体案例，利用师生思维互动，结合解题反思，培养学生思维的稳定性、独特性和深刻性，提升学生的思维品质.
关键词：解题教学；思维互动；解题反思；提升思维品质
[?] 对解题教学的认识
著名数学家、数学教育家波利亚的教学理念是：中学数学的首要任务就是加强解题训练，掌握数学就意味着善于解题；数学课堂应该围绕着问题解决来组织，数学教师应该创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境. 我们自然要问，在解题教学中，怎样提高课堂效率呢？我们知道，当你找到第一个蘑菇后（或有了第一个发现后），一定要环顾四周，因为它们总是成堆生长的. 这就是人们常说的“采蘑菇”现象. 同时，新课程提倡学生自主探究、合作学习，广大教师都在积极探索如何改革课堂教学模式. 探索师生互动在数学教学中的作用，研究数学课堂交流对学生学习积极性、思维能力及学习效果的影响. 所以，通过师生互动促进解题教学中的解题反思，提升学生的思维品质，可以提高课堂解题教学效率. 下面通过具体的案例来说明解题教学中提升思维能力的做法. 不当之处，还请批评指正.
[?] 解题教学案例分析
问题：（2010福建高考）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小是多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（既确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.
试题简析：本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和应用意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想.此题难度适当，解法灵活多变，是师生交流互动的良好素材.
回顾问题的探究过程，现把学生的思维过程概括为如下的三个阶段：
1. 常规探究，夯实基础，培养思维的稳定性
学生先审题、独立思考，然后交流、讨论. 几分钟后，学生开始发言.
学生1：设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
S==.
由二次函数性质可知，当t=时，Smin=10，此时v=30.
即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.
学生2：如图1，作OC⊥AB与C，则AC=10，OC=10，要使小艇航行的距离最小，则航行方向为OC，由t==，得v=30.
教师：学生1建立了二次函数模型，利用二次函数的最值得出实际问题的解. 学生2利用了图形的直观性，解法简洁精练.
对于问题（2），学生给出了下面的解法.
学生3：如图2，设小艇与轮船在B处相遇，由（1）有S2=v2t2=900t2-600t 400，故v2=900- ，又0 [O][A][B][C][P]
教师：学生3根据问题（1），建立了速度v和航行时间t的等量关系，过程简练. 还有其他解法吗？（继续追问，是为了夯实基础，培养思维的发散性）
过了一会儿，有学生给出了下面的解法.
学生4：如图2，相遇点不在AC上， 设相遇点为B，∠COB=θ（0°<θ<90°），在Rt△BOC中，易知BC=10tanθ，OB=，所以t==，解得v=. 又v≤30，所以sin（θ 30°）≥，30°≤θ≤90°，由于θ=30°，tanθ取得最小值，此时t=取得最小值. 下略.
教师：在学生回答问题后，追问相遇点P为什么不在AC上？
这样做，学生的思维比较流畅，有成功的体验，有利于培养学生积极主动的求知态度，培养学生的理性思维. 最后引导学生证明：对于AC上的任意点P，由于∠PAO=60°>30°≥∠POA，故OP>PA，>≥，所以轮船先到达点P.
学生5：先证明相遇点不在AC上，设相遇点为B，CB=x，则OB=，依题意t==，解得v=，由v=≤30，解得x≥10，所以当x=10时，t=有最小值.
学生6：对于学生5的解法，如果规定了向东为正，此时可以设CB=x（x> -10），当x>0时，点B在点C右侧，当x<0时，点B在点C左侧. 利用有向线段把两种情况统一起来，不用证明相遇点不在AC上.
教师：学生6灵活运用了有向线段的数量，它还可以提升我们对平面向量数量积几何意义的理解，优化了思维过程. 追问：反思解题过程与方法，它们能否优化？
评析：它是师生良性互动的结果.问题解决后，笔者总是习惯性地追问能否优化，这次追问也只是走过场，但是却收到意想不到的效果.
[?] 另辟捷径，从直觉到理性，培养思维的独特性
追问后，学生7给出了下面的解法.
学生7：根据解题结果，凭借直觉，当小艇以最大速度（30海里/小时）航行时，相遇点在OA的垂直平分线和航向AC的交点B处，所需时间最少.此时△AOB是正三角形，航向和航速随之确定.
教师：这样求解可以吗？还需要证明什么？
经过思考，学生7给出了下面的回答.
学生7：先证明相遇点P不在线段AB上.假设相遇点P在线段AB上，此时，∠PAO=60°>∠AOP，所以OP>AP，>≥，即轮船先到点P，矛盾；当相遇点P在线段AB延长线上时，用时显然更长. 老师：这种解法从解题结果出发，利用图形，借助直觉，过程简洁精练.从感性到理性，是一种全新的视角.
受学生7的启发，笔者又提出了下面更一般的问题：若小艇的航行速度v≤a，凭直觉，小艇以最大航速a航行时，小艇能以最短时间与轮船在B点相遇. 能给予证明吗？
评析：这是一次典型的师生互动. 学生7的直觉来源于解题结果，推理过程来源于学生4的解题过程，他的解法既在意料之外，又在情理之中. 笔者的一般性的追问则是和学生7互动的结果. 它们都是课堂的有效生成.
过了一会儿，学生7给出了下面的证明：
一方面，由 t==， 得=；另一方面，在△AOB中，由正弦定理可得=，联立可以得到v·sin∠AOB=15，即小艇航行速度v和sin∠AOB成反比，当小艇以最大航速a航行时，sin∠AOB最小，点B最接近点A，此时所用时间t=最少.
就在准备结束这个问题时，学生8提出了下面的问题.
学生8：小艇航行速度v和sin∠AOB成反比，v越大，sin∠AOB越小，当∠AOB≥90°时， ∠AOB越大，此时相遇点B远离点A，所用时间t=变大.
学生7的解法又陷入了僵局. 此时下课的铃声响了，笔者要求学生课后思考.
评析：有认知冲突才有动力，才有探究的欲望. 这样的师生思维互动，有利于培养学生的反思意识，有利于培养学生思维的批判性. 而且学生8的思考将师生互动从课堂延伸到课外.
[?] 互动延伸，从课内到课外，培养思维的深刻性
课后，部分优生经过讨论，得出如下的结果：
如图3，OA的垂直平分线和AB相交于B1，OB2⊥OA交AB于B2.
①当v=15时，小艇只有一条路径OB2可以追上轮船，且v=15是小艇可以追上轮船的最小航速.
②当v∈（15，30）时，小艇可以有两条路径追上轮船，且相遇点分别在线段B1B2和射线B2B上. 相遇点在线段B1B2上时对应的时间较短，它是小艇应该选择的航向.
③当v≥30时，小艇只有一条路径可以追上轮船，相遇点在线段AB1上.
上面的结论可以从下面的解法得到验证.
问题（2）的另一种解法：由S2=v2t2=900t2-600t 400，得（v2-900）t2 600t-400=0，（ⅰ）若0. （ⅱ）若v=30，则t=.
综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当v=30时，t取最小值.
此外，由==（v≠30）可知，点B到两定点A，O的距离之比为定值，由解析几何的知识可知，点B的轨迹是阿波罗尼斯圆（当v=30时，轨迹是直线），根据圆和射线AB的交点情况可以得到B点的位置，近一步得出上面的结论. 而且这个结论已经在几何画板中得到了验证，限于篇幅，这里不再叙述.
通过优生的讨论，从三角、函数、解几等不同的角度认识问题，认清了问题的本质，突出了思维的深刻性，提升了学生的思维品质.
[?] 习题课的教学启示
1. 利用师生思维互动
“师生互动”这一课堂教学理念并不是新生事物，而是自古就有的. 现代教学研究认为，师生互动行为可分为三个层面：第一个层面是指教师与全体学生之间的互动，简称为师全互动，它是师生互动的常态方式；第二个层面是指教师与个别学生之间的互动，简称为师个互动，它是师生主体间的双向交流，是师生互动的高效方式；第三个层面是指学生与学生之间的互动，简称为生生互动，它是师生互动的良性发展与后续延伸，是师生互动的深层方式. 师生互动的三个层面中，第一层面是基础与保障，第二、三层面是师生互动的应有之意.
每个层面的师生互动行为又可以从四个维度来描述与刻画. 第一个维度是外显的行为，包含语言互动的流畅性、准确性和逻辑性；第二个维度也是外显的行为，即讨论行为，包含商讨辩论中体现的真诚性、专注性和有效性；第三个维度是内隐的行为，即思维行为，包括思维品质的深刻性、发散性与创新性；第四个维度也是内隐的行为，即情感行为，包括师生双方的主动性、态度的积极性、情感的愉悦性.其中思维的互动是核心和关键.
前面的案例充分体现了师生互动的三个层面和四个维度，它们对学生思维品质的培养起着独特、重要而且无可替代的作用. 其核心是师生思维的互动.在例题教学时，教师应该精选恰当、典型的例题，通过师生互动，让学生的思维能力在探究的过程中得到提升. 此外，对于典型而且重要的解法，教师更不能包办代替，而应该通过提出问题，创设恰当的情境，激发学生求知的欲望，让学生在主动参与、积极思考的过程中自然地获得解法，其教学效果要比“填鸭式”教学高出许多. 这样的教学应该是我们教师的终身追求.
2. 强化解题教学反思
解题反思是解题的重要环节，解题后的反思对学生来说有着重要的意义，反思主要从以下几个方面进行：（1）反思解题本身是否正确. 由于在解题过程中，可能会出现这样或那样的错误，因此在解完一道题目后很有必要审查自己的解题是否混淆了概念，是否忽略了隐含条件，是否特殊代替一般，是否忽视特例，逻辑上是否有问题，运算是否正确等. 这样做是为了保证解题无误，这是解题后最基本也是最重要的要求. （2）反思有无其他解法. 对于同一道题，从不同的角度去分析它，可能会得到不同的启示，从而引出多种不同的解法. 通过不同的观察侧面，使学生的思维触角伸向不同的方向、不同的层次，从而发展学生的发散思维能力. （3）反思结论或性质在解题中的作用.有些题目本身可能很简单，但是它的结论和解决这道题目涉及的性质却又广泛应用，如果让学生仅仅满足于解答题目本身，而忽视对结论或性质应用的思考、探索，那就可能会“捡到一个芝麻，丢掉一个西瓜”. （4）反思解决问题的思维方法能否迁移. 做题不单单是为了解决一道题目，而是为了掌握一类问题的解决方法. 让学生课后深思一下解题程序，有时会突然发现：这种解决问题的思维模式竟然体现了重要的数学思想方法，对于学生解决问题大有帮助.
师生互动毕竟是一种教学手段，是教学的表现形式，是一种教学过程. 教学内容必须经过学生的思考、加工，内化到学生的知识体系和认知结构中去，此时的解题反思尤为重要，它是师生互动的继续和延伸，是高效课堂的基础，是思维提升的关键.
3. 逐步提升思维品质
在习题教学中，要精心选择有价值的问题，选好探究的切入点，通过恰当问题情境的引领，将师生的思维互动从形式过渡到本质、从肤浅引向深入、从课内延伸到课外，使优秀的学生更加优秀，使分层教学得以实施. 使学生的思维能力在师生互动的过程中螺旋上升，这样的习题课才是高效的. 它也是高效课堂应该具有的特征.
关键词：解题教学；思维互动；解题反思；提升思维品质
[?] 对解题教学的认识
著名数学家、数学教育家波利亚的教学理念是：中学数学的首要任务就是加强解题训练，掌握数学就意味着善于解题；数学课堂应该围绕着问题解决来组织，数学教师应该创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境. 我们自然要问，在解题教学中，怎样提高课堂效率呢？我们知道，当你找到第一个蘑菇后（或有了第一个发现后），一定要环顾四周，因为它们总是成堆生长的. 这就是人们常说的“采蘑菇”现象. 同时，新课程提倡学生自主探究、合作学习，广大教师都在积极探索如何改革课堂教学模式. 探索师生互动在数学教学中的作用，研究数学课堂交流对学生学习积极性、思维能力及学习效果的影响. 所以，通过师生互动促进解题教学中的解题反思，提升学生的思维品质，可以提高课堂解题教学效率. 下面通过具体的案例来说明解题教学中提升思维能力的做法. 不当之处，还请批评指正.
[?] 解题教学案例分析
问题：（2010福建高考）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小是多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（既确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.
试题简析：本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和应用意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想.此题难度适当，解法灵活多变，是师生交流互动的良好素材.
回顾问题的探究过程，现把学生的思维过程概括为如下的三个阶段：
1. 常规探究，夯实基础，培养思维的稳定性
学生先审题、独立思考，然后交流、讨论. 几分钟后，学生开始发言.
学生1：设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
S==.
由二次函数性质可知，当t=时，Smin=10，此时v=30.
即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.
学生2：如图1，作OC⊥AB与C，则AC=10，OC=10，要使小艇航行的距离最小，则航行方向为OC，由t==，得v=30.
教师：学生1建立了二次函数模型，利用二次函数的最值得出实际问题的解. 学生2利用了图形的直观性，解法简洁精练.
对于问题（2），学生给出了下面的解法.
学生3：如图2，设小艇与轮船在B处相遇，由（1）有S2=v2t2=900t2-600t 400，故v2=900- ，又0
教师：学生3根据问题（1），建立了速度v和航行时间t的等量关系，过程简练. 还有其他解法吗？（继续追问，是为了夯实基础，培养思维的发散性）
过了一会儿，有学生给出了下面的解法.
学生4：如图2，相遇点不在AC上， 设相遇点为B，∠COB=θ（0°<θ<90°），在Rt△BOC中，易知BC=10tanθ，OB=，所以t==，解得v=. 又v≤30，所以sin（θ 30°）≥，30°≤θ≤90°，由于θ=30°，tanθ取得最小值，此时t=取得最小值. 下略.
教师：在学生回答问题后，追问相遇点P为什么不在AC上？
这样做，学生的思维比较流畅，有成功的体验，有利于培养学生积极主动的求知态度，培养学生的理性思维. 最后引导学生证明：对于AC上的任意点P，由于∠PAO=60°>30°≥∠POA，故OP>PA，>≥，所以轮船先到达点P.
学生5：先证明相遇点不在AC上，设相遇点为B，CB=x，则OB=，依题意t==，解得v=，由v=≤30，解得x≥10，所以当x=10时，t=有最小值.
学生6：对于学生5的解法，如果规定了向东为正，此时可以设CB=x（x> -10），当x>0时，点B在点C右侧，当x<0时，点B在点C左侧. 利用有向线段把两种情况统一起来，不用证明相遇点不在AC上.
教师：学生6灵活运用了有向线段的数量，它还可以提升我们对平面向量数量积几何意义的理解，优化了思维过程. 追问：反思解题过程与方法，它们能否优化？
评析：它是师生良性互动的结果.问题解决后，笔者总是习惯性地追问能否优化，这次追问也只是走过场，但是却收到意想不到的效果.
[?] 另辟捷径，从直觉到理性，培养思维的独特性
追问后，学生7给出了下面的解法.
学生7：根据解题结果，凭借直觉，当小艇以最大速度（30海里/小时）航行时，相遇点在OA的垂直平分线和航向AC的交点B处，所需时间最少.此时△AOB是正三角形，航向和航速随之确定.
教师：这样求解可以吗？还需要证明什么？
经过思考，学生7给出了下面的回答.
学生7：先证明相遇点P不在线段AB上.假设相遇点P在线段AB上，此时，∠PAO=60°>∠AOP，所以OP>AP，>≥，即轮船先到点P，矛盾；当相遇点P在线段AB延长线上时，用时显然更长. 老师：这种解法从解题结果出发，利用图形，借助直觉，过程简洁精练.从感性到理性，是一种全新的视角.
受学生7的启发，笔者又提出了下面更一般的问题：若小艇的航行速度v≤a，凭直觉，小艇以最大航速a航行时，小艇能以最短时间与轮船在B点相遇. 能给予证明吗？
评析：这是一次典型的师生互动. 学生7的直觉来源于解题结果，推理过程来源于学生4的解题过程，他的解法既在意料之外，又在情理之中. 笔者的一般性的追问则是和学生7互动的结果. 它们都是课堂的有效生成.
过了一会儿，学生7给出了下面的证明：
一方面，由 t==， 得=；另一方面，在△AOB中，由正弦定理可得=，联立可以得到v·sin∠AOB=15，即小艇航行速度v和sin∠AOB成反比，当小艇以最大航速a航行时，sin∠AOB最小，点B最接近点A，此时所用时间t=最少.
就在准备结束这个问题时，学生8提出了下面的问题.
学生8：小艇航行速度v和sin∠AOB成反比，v越大，sin∠AOB越小，当∠AOB≥90°时， ∠AOB越大，此时相遇点B远离点A，所用时间t=变大.
学生7的解法又陷入了僵局. 此时下课的铃声响了，笔者要求学生课后思考.
评析：有认知冲突才有动力，才有探究的欲望. 这样的师生思维互动，有利于培养学生的反思意识，有利于培养学生思维的批判性. 而且学生8的思考将师生互动从课堂延伸到课外.
[?] 互动延伸，从课内到课外，培养思维的深刻性
课后，部分优生经过讨论，得出如下的结果：
如图3，OA的垂直平分线和AB相交于B1，OB2⊥OA交AB于B2.
①当v=15时，小艇只有一条路径OB2可以追上轮船，且v=15是小艇可以追上轮船的最小航速.
②当v∈（15，30）时，小艇可以有两条路径追上轮船，且相遇点分别在线段B1B2和射线B2B上. 相遇点在线段B1B2上时对应的时间较短，它是小艇应该选择的航向.
③当v≥30时，小艇只有一条路径可以追上轮船，相遇点在线段AB1上.
上面的结论可以从下面的解法得到验证.
问题（2）的另一种解法：由S2=v2t2=900t2-600t 400，得（v2-900）t2 600t-400=0，（ⅰ）若0
综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当v=30时，t取最小值.
此外，由==（v≠30）可知，点B到两定点A，O的距离之比为定值，由解析几何的知识可知，点B的轨迹是阿波罗尼斯圆（当v=30时，轨迹是直线），根据圆和射线AB的交点情况可以得到B点的位置，近一步得出上面的结论. 而且这个结论已经在几何画板中得到了验证，限于篇幅，这里不再叙述.
通过优生的讨论，从三角、函数、解几等不同的角度认识问题，认清了问题的本质，突出了思维的深刻性，提升了学生的思维品质.
[?] 习题课的教学启示
1. 利用师生思维互动
“师生互动”这一课堂教学理念并不是新生事物，而是自古就有的. 现代教学研究认为，师生互动行为可分为三个层面：第一个层面是指教师与全体学生之间的互动，简称为师全互动，它是师生互动的常态方式；第二个层面是指教师与个别学生之间的互动，简称为师个互动，它是师生主体间的双向交流，是师生互动的高效方式；第三个层面是指学生与学生之间的互动，简称为生生互动，它是师生互动的良性发展与后续延伸，是师生互动的深层方式. 师生互动的三个层面中，第一层面是基础与保障，第二、三层面是师生互动的应有之意.
每个层面的师生互动行为又可以从四个维度来描述与刻画. 第一个维度是外显的行为，包含语言互动的流畅性、准确性和逻辑性；第二个维度也是外显的行为，即讨论行为，包含商讨辩论中体现的真诚性、专注性和有效性；第三个维度是内隐的行为，即思维行为，包括思维品质的深刻性、发散性与创新性；第四个维度也是内隐的行为，即情感行为，包括师生双方的主动性、态度的积极性、情感的愉悦性.其中思维的互动是核心和关键.
前面的案例充分体现了师生互动的三个层面和四个维度，它们对学生思维品质的培养起着独特、重要而且无可替代的作用. 其核心是师生思维的互动.在例题教学时，教师应该精选恰当、典型的例题，通过师生互动，让学生的思维能力在探究的过程中得到提升. 此外，对于典型而且重要的解法，教师更不能包办代替，而应该通过提出问题，创设恰当的情境，激发学生求知的欲望，让学生在主动参与、积极思考的过程中自然地获得解法，其教学效果要比“填鸭式”教学高出许多. 这样的教学应该是我们教师的终身追求.
2. 强化解题教学反思
解题反思是解题的重要环节，解题后的反思对学生来说有着重要的意义，反思主要从以下几个方面进行：（1）反思解题本身是否正确. 由于在解题过程中，可能会出现这样或那样的错误，因此在解完一道题目后很有必要审查自己的解题是否混淆了概念，是否忽略了隐含条件，是否特殊代替一般，是否忽视特例，逻辑上是否有问题，运算是否正确等. 这样做是为了保证解题无误，这是解题后最基本也是最重要的要求. （2）反思有无其他解法. 对于同一道题，从不同的角度去分析它，可能会得到不同的启示，从而引出多种不同的解法. 通过不同的观察侧面，使学生的思维触角伸向不同的方向、不同的层次，从而发展学生的发散思维能力. （3）反思结论或性质在解题中的作用.有些题目本身可能很简单，但是它的结论和解决这道题目涉及的性质却又广泛应用，如果让学生仅仅满足于解答题目本身，而忽视对结论或性质应用的思考、探索，那就可能会“捡到一个芝麻，丢掉一个西瓜”. （4）反思解决问题的思维方法能否迁移. 做题不单单是为了解决一道题目，而是为了掌握一类问题的解决方法. 让学生课后深思一下解题程序，有时会突然发现：这种解决问题的思维模式竟然体现了重要的数学思想方法，对于学生解决问题大有帮助.
师生互动毕竟是一种教学手段，是教学的表现形式，是一种教学过程. 教学内容必须经过学生的思考、加工，内化到学生的知识体系和认知结构中去，此时的解题反思尤为重要，它是师生互动的继续和延伸，是高效课堂的基础，是思维提升的关键.
3. 逐步提升思维品质
在习题教学中，要精心选择有价值的问题，选好探究的切入点，通过恰当问题情境的引领，将师生的思维互动从形式过渡到本质、从肤浅引向深入、从课内延伸到课外，使优秀的学生更加优秀，使分层教学得以实施. 使学生的思维能力在师生互动的过程中螺旋上升，这样的习题课才是高效的. 它也是高效课堂应该具有的特征.