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力是贯穿整个高中物理学的一条主线,运动是物理学研究的主要内容之一,力和运动的关系是力学部分的核心内容,自然也是高考考查的重点内容.纵观2009年的各地高考试题,从不同的侧面考查了力与运动的关系,本文作些分析探讨.
一、当物体所受合外力为零时,处于静止或匀速直线运动状态
这类考题多以选择为主,也有的是穿插在力学综合试题中考查,如今年全国理综Ⅰ卷第23
题的第一问;广东理综卷第17(2)的第一问,求解的关键是:对物体进行受力分析,再由平衡条件列方程,若是相互作用的系统还要注意整体法与隔离法的运用.
图1
【例1】 (2009年宁夏第21题)水平地面上有一木箱,木箱与地面之间的动摩擦因数为μ(0<μ<1).现对木箱施加一拉力F,使木箱做匀速直线运动.设F的方向与水平面夹角为θ,如图1所示,在θ从0逐渐增大到90°的过程中,木箱的速度保持不变,则:
图2
A.F先减小后增大
B.F一直增大
C.F的功率减小
D.F的功率不变
解析:以木箱为研究对象的受力分析如图2所示,根据平衡条件可得:
水平方向:Fcosθ=f(1)
竖直方向:N+Fsinθ=G(2)
f=μN(3)
解方程得F=μmgcosθ+μsinθ .
由数学知识可知,当θ=45时,F最小,所以在θ从0逐渐增大到的90°的过程中,F先减小后增大,选项A对;因PF=Fvcosθ,将F代入得PF=μmgv1+μtanθ,显然在θ从0逐渐增大到90°的过程中,tanθ增大,F的功率减小,选项C正确.
点评:本题属于一个动态平衡的问题,仍然用共点力的平衡条件解决,因物体受四个力作用,所以用正交分解列方程求解.
二、当物体所受的合外力为恒力时,作匀变速运动
1.若力的方向与速度方向在一条直线上,物体作匀变速直线运动
这类考题由牛顿第二定律与匀变速直线运动公式求解.若是相互作用的连接体问题,当已知外力时,用整体法求加速度,用隔离法求内力;当已知内力时,用隔离法求加速度,用整体法求外力.
图3
【例2】 (2009年安徽第22题)在2008年北京残奥会开幕式上,运动员手拉绳索向上攀登,最终点燃了主火炬,体现了残疾运动员坚忍不拔的意志和自强不息的精神.为了探究上升过程中运动员与绳索和吊椅间的作用,可将过程简化.一根不可伸缩的轻绳跨过轻质的定滑轮,一端挂一吊椅,另一端被坐在吊椅上的运动员拉住,如图3所示.设运动员的质量为65kg,吊椅的质量为15kg,不计定滑轮与绳子间的摩擦力,加速度取g=10m/s2.当运动员与吊椅一起以加速度a=lm/s2上升时,试求:(1)运动员竖直向下拉绳的力;(2)运动员对吊椅的压力.
图4
解析:此题以残奥会开幕式上运动员手拉绳索向上攀登的实际为背景考查匀变直线运动的连接体问题,具体有两种解法.
解法一:(1)设运动员受到绳向上的拉力为F,由于跨过定滑轮的两段绳子拉力相等,吊椅受到绳的拉力也是F.对运动员和吊椅整体进行受力分析如图4所示,则有:
2F-(m人+m椅)g=(m人+m椅)a,
F=440N.
由牛顿第三定律,运动员竖直向下拉绳的力F′=440N.
(2)设吊椅对运动员的支持力为FN,对运动员进行受力分析如图4乙所示,则有:F+FN-m人g=m人a,
FN=275N.
由牛顿第三定律,运动员对吊椅的压力也为275N.
解法二:设运动员和吊椅的质量分别为M和m;运动员竖直向下的拉力为F,对吊椅的压力大小为FN.
根据牛顿第三定律,绳对运动员的拉力大小为F,吊椅对运动员的支持力为FN,分别以运动员和吊椅为研究对象,根据牛顿第二定律有:
F+FN-Mg=Ma
F-FN-mg=ma.
联立以上两式得F=440N,FN=275N.
点评:此题是牛顿定律应用中的连接体问题,一般用整体法和隔离法求解.
2.若力的方向与速度方向在一条直线上,物体作匀变速曲线运动
平抛运动是典型的匀变速曲线运动,求解这类题的基本方法是:由运动的合成与分解,把曲线运动分解为两个直线运动,再列方程求解.
【例3】 (2009年福建第20题)如图5所示,射击枪水平放置,射击枪与目标靶中心位于离地面足够高的同一水平线上,枪口与目标靶之间的距离s=100m,子弹射出的水平速度v=200m/s,子弹从枪口射出的瞬间目标靶由静止开始释放,不计空气阻力,取重力加速度g为10m/s2,求:图5
(1)从子弹由枪口射出开始计时,经多长时间子弹击中目标靶?
(2)目标靶由静止开始释放到被子弹击中,下落的距离h为多少?
解析:(1)子弹做平抛运动,它在水平方向的分运动是匀速直线运动,设子弹经t时间击中目标靶,则:t=sv,代入数据得t=0.5s.
(2)目标靶做自由落体运动,则h=12gt2,代入数据得h=1.25m.
点评:此题以射击为物理情景,求解的关键是建立物理模型,把子弹的运动抽象为平抛运动.把目标靶的运动抽象为自由落体运动.
三、当物体所受的合外力大小不变,方向随时变化且与速度垂直时,物体做匀速圆周运动
当物体做匀速圆周运动时,一定是合外力充当向心力,所以求解这类题时,需在指向圆心方向由牛顿第二定律列方程,在垂直半径方向建立平衡方程.从近几年高考试题看,这类考题多考查万有引力定律的应用.
图6
【例4】 (2009年广东第17题)如图6所示,一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动,筒内壁粗糙,筒口半径和筒高分别为R和H,筒内壁A点的高度为筒高的一半.内壁上有一质量为m的小物块.求①当筒不转动时,物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小;②当物块在A点随筒做匀速转动,且其受到的摩擦力为零时,筒转动的角速度.
解析:①当筒不转动时,物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡,由平衡条件得:
摩擦力的大小f=mgsinθ=mgHH2+R2.
支持力的大小N=mgcosθ=mgRH2+R2.
②当物块在A点随筒做匀速转动,且其所受到的摩擦力为零时,物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用,它们的合力提供向心力,设筒转动的角速度为ω,有.
mgtanθ=mω2•R2,
由几何关系得tanθ=HR,
联立以上各式解得ω=2gHR.
点评:处理匀速圆周运动问题的关键是先确定轨道平面、确定圆心位置和确定向心力的方向,再分析向心力的来源,最后由牛顿第二定律列方程.
【例5】 (2009年北京第22题)已知地球半径为R,地球表面重力加速度为g,不考虑地球自转的影响.(1)推导第一宇宙速度v1的表达式;(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动,运行轨道距离地面高度为h,求卫星的运行周期T.
解析:(1)设卫星的质量为m.地球的质量为M,在地球表面附近满足GMmR2=mg得
GM=R2g①
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力:
mv21R=GMmR2②
①式代入②式,得到v1=Rg.
(2)考慮①式,卫星受到的万有引力为
F=GMm(R+h)2=mgR2(R+h)2③
由牛顿第二定律得F=m4π2T2(R+h)④
③④式联立解得T=2πR(R+h)2g.
点评:万有引力定律常用来求解天体问题,把天体的运动近视看成匀速圆周运动,其所需向心力都是万有引力.
即思路1:Gm1m2r2=mv2r=mrω2=mr(2πT)2=mr(2πf)2.
思路2:在不考虑地球自转的情况下,万有引力等于重力
F=mg=GMmr2.
四、当物体所受的合外力大小变化,方向随时变化且与速度垂直时,物體作变速圆周运动
纵观2009年全国各类高考的变速圆周运动试题,大多以力学综合题的形式出现,解答的思路是:对某一瞬时状态由牛顿第二定律列方程,对物体的运动过程由功能关系或能量守恒列方程.
图7
【例6】 (2009年山东第24题)如图7所示,某货场将质量为m1=100kg的货物(可视为质点)从高处运送至地面,为避免货物与地面发生撞击,现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道,使货物在轨道顶端无初速滑下,轨道半径R=1.8m.地面上紧靠轨道依次排放两个完全相同的木板A、B,长度均为l=2m,质量均为m2=100kg,木板上表面与轨道末端相切.货物与木板间的动摩擦因数为μ1,木板与地面间的动摩擦因数μ=0.2.(最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等,取g=10m/s2)
(1)求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力.
(2)若货物滑上木板A时,木板不动,而滑上木板B时,木板B开始滑动,求μ1应满足的条件.
(3)若μ1=0.5,求货物滑到木板A末端时的速度和在木板A上运动的时间.
解析:(1)设货物滑到圆轨道末端的速度为vo.货物的下滑过程中,根据机械能守恒定律得,mgR=12m1v20①,设货物在轨道末端所受支持力的大小为FN,根据牛顿第二定律得,FN-m1g=m1v20R②,联立以上两式代入数据得FN=3000N③,根据牛顿第三定律,货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小为3000N,方向竖直向下.
(2)若滑上木板A时,木板不动,由受力分析得μ1m1g≤μ2(m1+2m2)g④,若滑上木板B时,木板B开始滑动,由受力分析得μ1m1g>μ2(m1+m2)g⑤,联立④⑤式代入数据得0.4<μ1≤0.6⑥.
(3)μ1=0.5,由⑥式可知,货物在木板A上滑动时,木板不动.设货物在木板A上做减速运动时的加速度大小为a1,由牛顿第二定律得μ1m1g≤m1a1⑦,设货物滑到木板A末端是的速度为v1,由运动学公式得v21-v20=-2a1l⑧,联立①⑦⑧式代入数据得v1=4m/s⑨,设在木板A上运动的时间为t,由运动学公式得v21-v20=-2a1l⑩,联立①⑦⑨⑩式代入数据得t=0.4s.
点评:货物下滑可看成圆周运动,对过程由机械能守恒列方程;对瞬时状态由牛顿第二定律列式;在水平面上,判断货物的运动情况应由力与运动的关系来分析.
(责任编辑 易志毅)
一、当物体所受合外力为零时,处于静止或匀速直线运动状态
这类考题多以选择为主,也有的是穿插在力学综合试题中考查,如今年全国理综Ⅰ卷第23
题的第一问;广东理综卷第17(2)的第一问,求解的关键是:对物体进行受力分析,再由平衡条件列方程,若是相互作用的系统还要注意整体法与隔离法的运用.
图1
【例1】 (2009年宁夏第21题)水平地面上有一木箱,木箱与地面之间的动摩擦因数为μ(0<μ<1).现对木箱施加一拉力F,使木箱做匀速直线运动.设F的方向与水平面夹角为θ,如图1所示,在θ从0逐渐增大到90°的过程中,木箱的速度保持不变,则:
图2
A.F先减小后增大
B.F一直增大
C.F的功率减小
D.F的功率不变
解析:以木箱为研究对象的受力分析如图2所示,根据平衡条件可得:
水平方向:Fcosθ=f(1)
竖直方向:N+Fsinθ=G(2)
f=μN(3)
解方程得F=μmgcosθ+μsinθ .
由数学知识可知,当θ=45时,F最小,所以在θ从0逐渐增大到的90°的过程中,F先减小后增大,选项A对;因PF=Fvcosθ,将F代入得PF=μmgv1+μtanθ,显然在θ从0逐渐增大到90°的过程中,tanθ增大,F的功率减小,选项C正确.
点评:本题属于一个动态平衡的问题,仍然用共点力的平衡条件解决,因物体受四个力作用,所以用正交分解列方程求解.
二、当物体所受的合外力为恒力时,作匀变速运动
1.若力的方向与速度方向在一条直线上,物体作匀变速直线运动
这类考题由牛顿第二定律与匀变速直线运动公式求解.若是相互作用的连接体问题,当已知外力时,用整体法求加速度,用隔离法求内力;当已知内力时,用隔离法求加速度,用整体法求外力.
图3
【例2】 (2009年安徽第22题)在2008年北京残奥会开幕式上,运动员手拉绳索向上攀登,最终点燃了主火炬,体现了残疾运动员坚忍不拔的意志和自强不息的精神.为了探究上升过程中运动员与绳索和吊椅间的作用,可将过程简化.一根不可伸缩的轻绳跨过轻质的定滑轮,一端挂一吊椅,另一端被坐在吊椅上的运动员拉住,如图3所示.设运动员的质量为65kg,吊椅的质量为15kg,不计定滑轮与绳子间的摩擦力,加速度取g=10m/s2.当运动员与吊椅一起以加速度a=lm/s2上升时,试求:(1)运动员竖直向下拉绳的力;(2)运动员对吊椅的压力.
图4
解析:此题以残奥会开幕式上运动员手拉绳索向上攀登的实际为背景考查匀变直线运动的连接体问题,具体有两种解法.
解法一:(1)设运动员受到绳向上的拉力为F,由于跨过定滑轮的两段绳子拉力相等,吊椅受到绳的拉力也是F.对运动员和吊椅整体进行受力分析如图4所示,则有:
2F-(m人+m椅)g=(m人+m椅)a,
F=440N.
由牛顿第三定律,运动员竖直向下拉绳的力F′=440N.
(2)设吊椅对运动员的支持力为FN,对运动员进行受力分析如图4乙所示,则有:F+FN-m人g=m人a,
FN=275N.
由牛顿第三定律,运动员对吊椅的压力也为275N.
解法二:设运动员和吊椅的质量分别为M和m;运动员竖直向下的拉力为F,对吊椅的压力大小为FN.
根据牛顿第三定律,绳对运动员的拉力大小为F,吊椅对运动员的支持力为FN,分别以运动员和吊椅为研究对象,根据牛顿第二定律有:
F+FN-Mg=Ma
F-FN-mg=ma.
联立以上两式得F=440N,FN=275N.
点评:此题是牛顿定律应用中的连接体问题,一般用整体法和隔离法求解.
2.若力的方向与速度方向在一条直线上,物体作匀变速曲线运动
平抛运动是典型的匀变速曲线运动,求解这类题的基本方法是:由运动的合成与分解,把曲线运动分解为两个直线运动,再列方程求解.
【例3】 (2009年福建第20题)如图5所示,射击枪水平放置,射击枪与目标靶中心位于离地面足够高的同一水平线上,枪口与目标靶之间的距离s=100m,子弹射出的水平速度v=200m/s,子弹从枪口射出的瞬间目标靶由静止开始释放,不计空气阻力,取重力加速度g为10m/s2,求:图5
(1)从子弹由枪口射出开始计时,经多长时间子弹击中目标靶?
(2)目标靶由静止开始释放到被子弹击中,下落的距离h为多少?
解析:(1)子弹做平抛运动,它在水平方向的分运动是匀速直线运动,设子弹经t时间击中目标靶,则:t=sv,代入数据得t=0.5s.
(2)目标靶做自由落体运动,则h=12gt2,代入数据得h=1.25m.
点评:此题以射击为物理情景,求解的关键是建立物理模型,把子弹的运动抽象为平抛运动.把目标靶的运动抽象为自由落体运动.
三、当物体所受的合外力大小不变,方向随时变化且与速度垂直时,物体做匀速圆周运动
当物体做匀速圆周运动时,一定是合外力充当向心力,所以求解这类题时,需在指向圆心方向由牛顿第二定律列方程,在垂直半径方向建立平衡方程.从近几年高考试题看,这类考题多考查万有引力定律的应用.
图6
【例4】 (2009年广东第17题)如图6所示,一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动,筒内壁粗糙,筒口半径和筒高分别为R和H,筒内壁A点的高度为筒高的一半.内壁上有一质量为m的小物块.求①当筒不转动时,物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小;②当物块在A点随筒做匀速转动,且其受到的摩擦力为零时,筒转动的角速度.
解析:①当筒不转动时,物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡,由平衡条件得:
摩擦力的大小f=mgsinθ=mgHH2+R2.
支持力的大小N=mgcosθ=mgRH2+R2.
②当物块在A点随筒做匀速转动,且其所受到的摩擦力为零时,物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用,它们的合力提供向心力,设筒转动的角速度为ω,有.
mgtanθ=mω2•R2,
由几何关系得tanθ=HR,
联立以上各式解得ω=2gHR.
点评:处理匀速圆周运动问题的关键是先确定轨道平面、确定圆心位置和确定向心力的方向,再分析向心力的来源,最后由牛顿第二定律列方程.
【例5】 (2009年北京第22题)已知地球半径为R,地球表面重力加速度为g,不考虑地球自转的影响.(1)推导第一宇宙速度v1的表达式;(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动,运行轨道距离地面高度为h,求卫星的运行周期T.
解析:(1)设卫星的质量为m.地球的质量为M,在地球表面附近满足GMmR2=mg得
GM=R2g①
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力:
mv21R=GMmR2②
①式代入②式,得到v1=Rg.
(2)考慮①式,卫星受到的万有引力为
F=GMm(R+h)2=mgR2(R+h)2③
由牛顿第二定律得F=m4π2T2(R+h)④
③④式联立解得T=2πR(R+h)2g.
点评:万有引力定律常用来求解天体问题,把天体的运动近视看成匀速圆周运动,其所需向心力都是万有引力.
即思路1:Gm1m2r2=mv2r=mrω2=mr(2πT)2=mr(2πf)2.
思路2:在不考虑地球自转的情况下,万有引力等于重力
F=mg=GMmr2.
四、当物体所受的合外力大小变化,方向随时变化且与速度垂直时,物體作变速圆周运动
纵观2009年全国各类高考的变速圆周运动试题,大多以力学综合题的形式出现,解答的思路是:对某一瞬时状态由牛顿第二定律列方程,对物体的运动过程由功能关系或能量守恒列方程.
图7
【例6】 (2009年山东第24题)如图7所示,某货场将质量为m1=100kg的货物(可视为质点)从高处运送至地面,为避免货物与地面发生撞击,现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道,使货物在轨道顶端无初速滑下,轨道半径R=1.8m.地面上紧靠轨道依次排放两个完全相同的木板A、B,长度均为l=2m,质量均为m2=100kg,木板上表面与轨道末端相切.货物与木板间的动摩擦因数为μ1,木板与地面间的动摩擦因数μ=0.2.(最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等,取g=10m/s2)
(1)求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力.
(2)若货物滑上木板A时,木板不动,而滑上木板B时,木板B开始滑动,求μ1应满足的条件.
(3)若μ1=0.5,求货物滑到木板A末端时的速度和在木板A上运动的时间.
解析:(1)设货物滑到圆轨道末端的速度为vo.货物的下滑过程中,根据机械能守恒定律得,mgR=12m1v20①,设货物在轨道末端所受支持力的大小为FN,根据牛顿第二定律得,FN-m1g=m1v20R②,联立以上两式代入数据得FN=3000N③,根据牛顿第三定律,货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小为3000N,方向竖直向下.
(2)若滑上木板A时,木板不动,由受力分析得μ1m1g≤μ2(m1+2m2)g④,若滑上木板B时,木板B开始滑动,由受力分析得μ1m1g>μ2(m1+m2)g⑤,联立④⑤式代入数据得0.4<μ1≤0.6⑥.
(3)μ1=0.5,由⑥式可知,货物在木板A上滑动时,木板不动.设货物在木板A上做减速运动时的加速度大小为a1,由牛顿第二定律得μ1m1g≤m1a1⑦,设货物滑到木板A末端是的速度为v1,由运动学公式得v21-v20=-2a1l⑧,联立①⑦⑧式代入数据得v1=4m/s⑨,设在木板A上运动的时间为t,由运动学公式得v21-v20=-2a1l⑩,联立①⑦⑨⑩式代入数据得t=0.4s.
点评:货物下滑可看成圆周运动,对过程由机械能守恒列方程;对瞬时状态由牛顿第二定律列式;在水平面上,判断货物的运动情况应由力与运动的关系来分析.
(责任编辑 易志毅)