2009年高考全国卷(Ⅰ)理科数学第22题:
　　设函数f(x)=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].
　　(1)求b、c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,c)的区域;
　　(2)证明:-10≤f(x2)≤-12.
　　分析:第(1)小题不难,因为f′(x)=3x2+6bx+3c,
　　由题意知方程f′(x)=0有两个根x1、x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].则有f′(-1)≥0,f′(0)≤0,f′(1)≤0,f′(2)≥0,故有2b-c-1≤0,c≤0,2b+c+1≤0,4b+c+4≥0.
　　
　　满足条件的点(b,c)的区域如图1所示.
　　图1
　　对于第(2)小题,因为f′(x2)=3x22+6bx2+3c=0及f(x2)=x32+3bx22+3cx2,故有两种思路:一种是消去目标函数f(x2)=x32+3bx22+3cx2中的b,另一种是消去目标函数f(x2)=x32+3bx22+3cx2中的c,解下去得到了两种不同的答案.
　　错解一:由题意有f′(x2)=3x22+6bx2+3c=0,及f(x2)=x32+3bx22+3cx2,
　　
　　
　　消去b可得,f(x2)=-12x32+3c2x2,
　　又由(1)知c∈[-2,0],而x2∈[1,2],∴-12x32∈[-4,-12],3c2x2∈[-6,0],
　　故-10≤f(x2)≤-12.
　　错解二:由题意有f′(x2)=3x22+6bx2+3c=0及f(x2)=x32+3bx22+3cx2,
　　消去c可得,f(x2)=-2x32-3bx2,
　　又由(1)知b∈[-1,0],而x2∈[1,2],∴-2x32∈[-16,-2],-3bx2∈[0,6],
　　故-16≤f(x2)≤4.
　　错在哪里呢?为解决这个问题,先看下题:
　　已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则3x-y的取值范围是____.
　　错解一:由-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3
　　两式相加减,整理得0≤x≤2,-2≤y≤0
　　∴0≤3x≤6,0≤-y≤2,
　　即0≤3x-y≤8.
　　错解二:由-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3
　　两式相加,整理得0≤x≤2,∴0≤2x≤4.
　　∵3x-y=2x+(x-y),
　　∴1≤3x-y≤7.
　　错解三:由-1≤x+y≤1,-3≤y-x≤-1
　　两式相加,整理得-2≤y≤0,∴-4≤2y≤0.
　　∵3x-y=3(x-y)+2y,∴-1≤3x-y≤9.
　　正解:作出满足已知条件的点(x,y)的区域,如图2所示.
　　图2
　　令t=3x-y,作直线y=3x-t.
　　由图像可知,-7≤-t≤-1,
　　故1≤3x-y≤7.
　　在错解一和错解三中,“3x与-y”和“3(x-y)与2y”不能同时取得最大值和最小值,故3x-y的取值范围被扩大了,解法二结论正确仅仅是巧合而已.
　　由此可知,对2009年高考全国卷(Ⅰ)理科数学第22题的上述两个解法都是不严密的.既不能消去b,也不能消去c,因为b、c之间是有关联的.
　　正解:由题意有f′(x2)=3x22+6bx2+3c=0,则x32+2bx22+cx2=0.
　　∴f(x2)=x32+3bx22+3cx2-(x32+2bx22+cx2)=bx22+2cx2.
　　研究函数g(x2)=bx22+2cx2,得g′(x2)=2bx2+2c.
　　由(1)知b∈[-1,0],c∈[-2,0]及x2∈[1,2],(应用此范围仅能得出-12≤f(x2)≤0)
　　∴g′(x2)<0.
　　∴g(x2)在[1,2]上是减函数,即f(x2)的最大值是f(1)=b+2c,最小值是f(2)=4b+4c.
　　而满足条件的点(b,c)的区域是2b-c-1≤0,c≤0,2b+c+1≤0,(见图1) 4b+c+4≥0.
　　
　　∴f(1)=b+2c的最大值在点(-12,0)取得,即f(1)≤-12,
　　f(2)=4b+4c的最小值在点(-12,-2)取得,即f(2)≥-10.
　　故-10≤f(x2)≤-12.
　　(责任编辑 金 铃)