在概率论与数理统计课程中很多问题都涉及到积分的计算,比如根据联合密度函数求边缘密度函数,用分布函数法求随机变量的函数的分布,等等。[1]很多学生遇到类似问题往往难以掌握其中的计算方法。本文给出了求解概率统计课程中一类积分问题的步骤和技巧。
　　问题:设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),求(X,Y)关于X和Y的两个边缘密度函数fX(x)和fY(y)。
　　关于该问题,有现成的求解公式:
　　(1)
　　及
　　 (2)
　　但由于f(x,y)本身形式的差异性,学生往往掌握不好上面两个积分的计算方法。我们现在就给出求解该问题的一般方法和步骤。
　　步骤1:在平面直角坐标系画出f(x,y)不为零的区域Ω。
　　如果f(x,y)在整个平面域上只有一个表达式,那么Ω就是整个xoy面,这时情况就很简单;否则,如果f(x,y)在不为零的区域上只有一个表达式,那么Ω为xoy面的一个子区域;更复杂的情况,如果f(x,y)在不为零的区域上有两个以上不同的表达式,那么我们可以把Ω再分成若干个子区域。
　　步骤2:分情况确定积分限,并计算积分的值。
　　我们以式(1)中的积分为例,来进行分析。在积分的过程中,x被看作常数,y是积分变量、并且y的变化范围是从正无
　　穷到负无穷。所以我们可以认为 f(x,y)dy的积分域是xoy
　　面上平行于y轴的一条直线,而该直线的位置由x决定。我们根据该直线和Ω相交的不同情况对x分情况进行讨论。如果直线和Ω不相交,则积分为零;如果直线和Ω相交,则积分限就是该直线落在Ω内的线段对应的纵坐标的变化区间。
　　对式(2)中的积分,可做类似分析。
　　步骤3:合并各种情况下的积分值,写出函数的表达式。
　　下面我们通过两个例子来说明上面各个步骤的具体实施方法:
　　例1,已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,
　　y)= ,求(X,Y)关于X和Y的两个边
　　缘密度函数fX(x)和fY(y)。
　　解:
　　步骤1:f(x,y)不为零的区域Ω如图1所示。
　　步骤2:分情况确定积分限,并计算积分的值。
　　(1)当x<0或x>1时,平行于y轴的直线和Ω不会相交,所以
　　 =0
　　(2)当0≤x≤1时,平行于y轴的直线和Ω相交情况见图2:
　　从图中我们可以看出,该直线落在Ω内的部分的纵坐标的变化范围是从x2到1,所以:
　　步骤3:合并各种情况下的积分值,写出函数的表达式。
　　综合上述讨论,故:
　　同理可得
　　下面我们再看一个较复杂的例子。
　　例2,已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为:
　　求(X,Y)关于X和Y的两个边缘密度函数fX(x)和fY(y)。
　　解:先计算fX(x)。
　　步骤1:f(x,y)不为零的区域有两部分,分别记为Ω1和Ω2,如图3所示:
　　步骤2:分情况确定积分限,并计算积分的值。
　　(1)当x<0或x>2时,平行于y轴的直线和Ω1及Ω2都不会相交,所以:
　　 =0
　　(2)当0≤x≤1时,平行于y轴的直线和Ω1相交,情况见图4:
　　从图中我们可以看出,该直线落在Ω内的部分的纵坐标的变化范围是从0到x,所以:
　　(3)当1≤x≤2时,平行于y轴的直线和Ω2相交,情况见图5。
　　从图中我们可以看出,该直线落在Ω内的部分的纵坐标的变化范围是从0到2-x,所以:
　　步骤3:合并各种情况下的积分值,写出函数的表达式。
　　综合上述讨论,故:
　　再计算fY(y)。
　　步骤1:同上。
　　步骤2:分情况确定积分限,并计算积分的值。
　　(1)当y<0或y>1时,平行于x轴的直线和Ω1及Ω2都不会相交,所以:
　　 =0
　　(2)当0≤y≤1时,平行于x轴的直线和Ω1及Ω2都相交,情况见图6。
　　从图中我们可以看出,该直线落在Ω1内的部分的纵坐标的变化范围是从y到1,落在Ω2内的部分的纵坐标的变化范围是从1到2-y,所以:
　　步骤3:合并各种情况下的积分值,写出函数的表达式。
　　综合上述讨论,故:
　　
　　参考文献
　　1 周圣武.概率论与数理统计[M].北京:煤炭工业出版社,2007