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不久前，笔者在一次教研活动中听了两节课，内容都是苏教版国标本教材第八册的《倍数和因数》，但教学效果有明显的差异。这里呈现“找36的因数”的两个片段，以供讨论。
片段一：（在教学了倍数和因数的概念之后，教师开始进行例题的教学。）
出示例题：你能找出36的所有因数吗？学生在小组内讨论后进行交流，然后全班汇报。
师：谁来说说你们小组讨论的结果？
生1：我们小组根据算式1×36=36想到1和36是36的因数，又根据2×18=36想到2和18是36的因数……所以，36的因数有1、36、2、18、3、12、4、9、6。
师：这个小组的同学利用乘法算式有序地找到了36的因数，真了不起。还有不同的方法吗？
生2：我是从1开始，一个个试的，用36÷1，再用36÷2……
师：一直除到什么时候为止？
生：一直除到36，能除尽的就是36的因数。
师：还有不同的方法吗？
生3：我们小组是用除法找的，根据36÷1=36找到了1和36，再根据36÷2=18找到了2和18，接着我们又找到了3、12、4、9、6。
师：你们喜欢用什么方法呢？
生4：我喜欢第一种和第三种方法，很方便。
师：是的，这两种方法都是一对一对地找到了36的因数。大家学会了吗？下面我们就用这样的方法来找一找15和16的因数吧。
片段二：（教师在课前用小研究的形式把这个问题布置给了学生。问题是：36的因数有哪些？你是怎么找的？把你的方法简要记录下来。课上学生先将课前研究在小组里交流。）
师：你们是怎么找36的因数的？
生1：将36分成两个数相乘，得到36的因数有1、36、2、18、3、12、4、9、6。
师：不错，还有其他的方法吗？
生2：我是用除法找的，用36一个一个除以非0的自然数。
师：一个一个除是不是从1除到36？
生2：不用，36÷1=36中除数和所得的商都是因数。
师：你们明白了吗？
生3：我听懂了，他说36÷1=36，就得到36和1都是36的因数。
师：也就是说我们可以通过这一步一次找到两个因数，除到什么地方为止呢？
生4：一半的地方，18。
生5：我觉得他说的不对，除到9就可以了。
生6：我觉得除到6就可以了，除以1、2、3、4都可以分别找到两个，6只要写一个就可以了。
师：如果中间的两个数不一样呢？
生7：要一直除到出现重复为止，如36÷9=4，和上面36÷4=9重复了，就可以停止了。
师：我们从几开始除起呢？
生8：1，因为1可以被所有的自然数整除，不从1的话就会有的重复，有的还没写。
师：说得真好！从1还是保证有序，不遗不漏。刚刚还有人提到了乘法呢，这两种方法有什么相同的地方？
生9：除法反过来就是乘法，都是一对一对找到的。
师：说得真好！你会找一个数的因数了吗？谁来出一道题目让大家试一试？
……
这两节课的后半部分都设计了练习，通过现场的观察与课后的了解，片段二的学生对因数的寻找方法掌握得更透彻。笔者以为，这与教学流程的差异有着极大的关系，其中最重要的差异，就是片段二中的教师引导孩子们一同经历了“思维孵化”的过程。
数学教学中的“思维孵化”，简单地说，就是让学生自己在逻辑思维的道路上走一回。它的要点有三：一是让学生自己走，自己发现、解决问题，而不是“学生看老师走一回”；二是要在“数学思维”的道路上走，要展现数学的魅力和思维的美感，这样的数学课才有魅力，学生才有兴趣；三是要把零散的思维点走成连贯的思路。这样，“数学思维”就会在课堂上孵化，在孩子的脑海里生根。那么，如何进行数学思维的孵化呢？
1.关注过程：“思维孵化”的基本取向。
过程取向是新课程改革的一种重要思想。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在教学建议中特别强调“过程”，比如，“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程”“数学活动经验需要在‘做’的过程和‘思考’的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的”等。可见，“关注过程”应当是当下数学课堂教学的基本取向。
对比前文的两个片段，不难发现，片段一中的教学是结果取向，学生说出了正确答案，教学目标就完成了，剩下的就是反复练习，知识没有打开，学生没有思维的实践过程。这样做，课堂教学的时间是很经济，但学生学习的效率却很低，因而其实并不经济，更不利于学生数学素养的培养。而片段二中的教学就是过程取向，在教学过程中，在引导孩子掌握知识的过程中，有一个展现数学知识和思维推导的过程，在这个过程中展现了一条思考的道路，教师并不急于得到一个确切的答案，相反，还把很多学生认为是“答案”的地方问成了问题，因而可以很清晰地感觉到思维的步步深入。而学生经历了这样的过程后，体验到了知识的打开过程，因而教学效果更佳。同时，由于教师的教学展现了一条清晰的思路，因而更多的学生可以沿着这条思路往下走，达到理解的境地。
2.数学魅力：“思维孵化”的教学指向。
从“过程”出发去往哪里？或者说，过程性的目标是什么？除了规定的教学目标之外，思维孵化的数学课堂还应当让学生体验到数学的魅力。笔者以为，数学的魅力就在于思考的“持续性”和“严密性”。小学生的年龄特点决定了他们学习过程中反省认知的薄弱，表现在学习的过程中就是思路的停滞。他们无法或很难独自完成思维的孵化过程，他们需要教师的引导，持续、严密的“追问”就是思维动力的基本保证。 对比两个片段，有一个类似的讨论，当学生提到“可以从1开始，一个个试除”的时候，片段一的教师随即转换了问题，向其他学生提问“有没有不同的方法”，而没有抓住继续追问的机会，因为这可能不是他要寻找的答案，而当学生说出了他要的答案后，教学目标也就完成了，思路也就终止了。片段二中教师却通过一个个的追问，比如“一个一个除是不是从1除到36？”“除到什么地方为止呢？”“如果中间的两个数不一样呢？”“我们从几开始除起呢？”等，带领学生进行了持续、严密的思考，将数学思维引向深处，学生的理解就有了根。在这些问题与对话中，我们分明可以感受到学生的思维由发散至精确的过程。即学生开始对问题的想象解答是很发散的，但是一旦找到了可能的方向，在教师的引领下，就开始集中精确。
3.教学智慧：“思维孵化”的背景支撑。
作为一种生命化的教育，数学教学过程中的“思维孵化”不仅需要数学的学科智慧，更需要教育的共同智慧。教育学者张文质认为，所谓的教育智慧都是教育计划之外的东西，你能够计划好的就不是智慧。当我们能够热爱学生、热爱数学、热爱教学的时候，智慧往往就在不经意间流淌。
孵化是一个生命化的过程也是个性化发展的过程，它强调的是每一个生命个体的不可替代性。因此，教师要为个体提供充足的独立思考和研究的时空。对比两个片段便可发现，虽然两者都有讨论，但存在很大的差异。片段一的讨论时间在课上，且小组讨论时，一些数学学习能力较强的、略有基础的学生最先在小组里分享了自己的方法，于是小组内的其他成员便不再深入思考，似乎听懂了，讨论也就结束了，这样的学习过程不仅不能激活其他学生的已有经验，相反有可能会抹杀部分学生对于知识探索与研究的欲望。而片段二中，教师课前给了学生一些独立思考和研究的时间，大部分学生都有了独立思考的过程，课上大家争相阐述自己的思考，表达自己的观点，最终形成了较准确、完整的知识结构。教师的教学需要有所等待，等待尚未掌握方法的学生掌握方法，等待初步掌握方法的学生掌握得更透彻。这个过程必须让学生自己完成才有意义，教师不能包办，也不能简单滑过，而必须用充分的时间，等待学生的思维孵化。另外，在这个过程中，要聆听每一个学生、了解每一个学生、研究每一个学生，只有这样，才能使数学学习真正走进学生的心里。叶澜教授曾说过，我们这二十多年教育最大的失误在于我们忽视了具体的个人，而这个具体的个人才是教育的难度所在。数学教学中“思维孵化”的过程落实在对个体的关注上才是真实有效的。
片段一：（在教学了倍数和因数的概念之后，教师开始进行例题的教学。）
出示例题：你能找出36的所有因数吗？学生在小组内讨论后进行交流，然后全班汇报。
师：谁来说说你们小组讨论的结果？
生1：我们小组根据算式1×36=36想到1和36是36的因数，又根据2×18=36想到2和18是36的因数……所以，36的因数有1、36、2、18、3、12、4、9、6。
师：这个小组的同学利用乘法算式有序地找到了36的因数，真了不起。还有不同的方法吗？
生2：我是从1开始，一个个试的，用36÷1，再用36÷2……
师：一直除到什么时候为止？
生：一直除到36，能除尽的就是36的因数。
师：还有不同的方法吗？
生3：我们小组是用除法找的，根据36÷1=36找到了1和36，再根据36÷2=18找到了2和18，接着我们又找到了3、12、4、9、6。
师：你们喜欢用什么方法呢？
生4：我喜欢第一种和第三种方法，很方便。
师：是的，这两种方法都是一对一对地找到了36的因数。大家学会了吗？下面我们就用这样的方法来找一找15和16的因数吧。
片段二：（教师在课前用小研究的形式把这个问题布置给了学生。问题是：36的因数有哪些？你是怎么找的？把你的方法简要记录下来。课上学生先将课前研究在小组里交流。）
师：你们是怎么找36的因数的？
生1：将36分成两个数相乘，得到36的因数有1、36、2、18、3、12、4、9、6。
师：不错，还有其他的方法吗？
生2：我是用除法找的，用36一个一个除以非0的自然数。
师：一个一个除是不是从1除到36？
生2：不用，36÷1=36中除数和所得的商都是因数。
师：你们明白了吗？
生3：我听懂了，他说36÷1=36，就得到36和1都是36的因数。
师：也就是说我们可以通过这一步一次找到两个因数，除到什么地方为止呢？
生4：一半的地方，18。
生5：我觉得他说的不对，除到9就可以了。
生6：我觉得除到6就可以了，除以1、2、3、4都可以分别找到两个，6只要写一个就可以了。
师：如果中间的两个数不一样呢？
生7：要一直除到出现重复为止，如36÷9=4，和上面36÷4=9重复了，就可以停止了。
师：我们从几开始除起呢？
生8：1，因为1可以被所有的自然数整除，不从1的话就会有的重复，有的还没写。
师：说得真好！从1还是保证有序，不遗不漏。刚刚还有人提到了乘法呢，这两种方法有什么相同的地方？
生9：除法反过来就是乘法，都是一对一对找到的。
师：说得真好！你会找一个数的因数了吗？谁来出一道题目让大家试一试？
……
这两节课的后半部分都设计了练习，通过现场的观察与课后的了解，片段二的学生对因数的寻找方法掌握得更透彻。笔者以为，这与教学流程的差异有着极大的关系，其中最重要的差异，就是片段二中的教师引导孩子们一同经历了“思维孵化”的过程。
数学教学中的“思维孵化”，简单地说，就是让学生自己在逻辑思维的道路上走一回。它的要点有三：一是让学生自己走，自己发现、解决问题，而不是“学生看老师走一回”；二是要在“数学思维”的道路上走，要展现数学的魅力和思维的美感，这样的数学课才有魅力，学生才有兴趣；三是要把零散的思维点走成连贯的思路。这样，“数学思维”就会在课堂上孵化，在孩子的脑海里生根。那么，如何进行数学思维的孵化呢？
1.关注过程：“思维孵化”的基本取向。
过程取向是新课程改革的一种重要思想。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在教学建议中特别强调“过程”，比如，“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程”“数学活动经验需要在‘做’的过程和‘思考’的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的”等。可见，“关注过程”应当是当下数学课堂教学的基本取向。
对比前文的两个片段，不难发现，片段一中的教学是结果取向，学生说出了正确答案，教学目标就完成了，剩下的就是反复练习，知识没有打开，学生没有思维的实践过程。这样做，课堂教学的时间是很经济，但学生学习的效率却很低，因而其实并不经济，更不利于学生数学素养的培养。而片段二中的教学就是过程取向，在教学过程中，在引导孩子掌握知识的过程中，有一个展现数学知识和思维推导的过程，在这个过程中展现了一条思考的道路，教师并不急于得到一个确切的答案，相反，还把很多学生认为是“答案”的地方问成了问题，因而可以很清晰地感觉到思维的步步深入。而学生经历了这样的过程后，体验到了知识的打开过程，因而教学效果更佳。同时，由于教师的教学展现了一条清晰的思路，因而更多的学生可以沿着这条思路往下走，达到理解的境地。
2.数学魅力：“思维孵化”的教学指向。
从“过程”出发去往哪里？或者说，过程性的目标是什么？除了规定的教学目标之外，思维孵化的数学课堂还应当让学生体验到数学的魅力。笔者以为，数学的魅力就在于思考的“持续性”和“严密性”。小学生的年龄特点决定了他们学习过程中反省认知的薄弱，表现在学习的过程中就是思路的停滞。他们无法或很难独自完成思维的孵化过程，他们需要教师的引导，持续、严密的“追问”就是思维动力的基本保证。 对比两个片段，有一个类似的讨论，当学生提到“可以从1开始，一个个试除”的时候，片段一的教师随即转换了问题，向其他学生提问“有没有不同的方法”，而没有抓住继续追问的机会，因为这可能不是他要寻找的答案，而当学生说出了他要的答案后，教学目标也就完成了，思路也就终止了。片段二中教师却通过一个个的追问，比如“一个一个除是不是从1除到36？”“除到什么地方为止呢？”“如果中间的两个数不一样呢？”“我们从几开始除起呢？”等，带领学生进行了持续、严密的思考，将数学思维引向深处，学生的理解就有了根。在这些问题与对话中，我们分明可以感受到学生的思维由发散至精确的过程。即学生开始对问题的想象解答是很发散的，但是一旦找到了可能的方向，在教师的引领下，就开始集中精确。
3.教学智慧：“思维孵化”的背景支撑。
作为一种生命化的教育，数学教学过程中的“思维孵化”不仅需要数学的学科智慧，更需要教育的共同智慧。教育学者张文质认为，所谓的教育智慧都是教育计划之外的东西，你能够计划好的就不是智慧。当我们能够热爱学生、热爱数学、热爱教学的时候，智慧往往就在不经意间流淌。
孵化是一个生命化的过程也是个性化发展的过程，它强调的是每一个生命个体的不可替代性。因此，教师要为个体提供充足的独立思考和研究的时空。对比两个片段便可发现，虽然两者都有讨论，但存在很大的差异。片段一的讨论时间在课上，且小组讨论时，一些数学学习能力较强的、略有基础的学生最先在小组里分享了自己的方法，于是小组内的其他成员便不再深入思考，似乎听懂了，讨论也就结束了，这样的学习过程不仅不能激活其他学生的已有经验，相反有可能会抹杀部分学生对于知识探索与研究的欲望。而片段二中，教师课前给了学生一些独立思考和研究的时间，大部分学生都有了独立思考的过程，课上大家争相阐述自己的思考，表达自己的观点，最终形成了较准确、完整的知识结构。教师的教学需要有所等待，等待尚未掌握方法的学生掌握方法，等待初步掌握方法的学生掌握得更透彻。这个过程必须让学生自己完成才有意义，教师不能包办，也不能简单滑过，而必须用充分的时间，等待学生的思维孵化。另外，在这个过程中，要聆听每一个学生、了解每一个学生、研究每一个学生，只有这样，才能使数学学习真正走进学生的心里。叶澜教授曾说过，我们这二十多年教育最大的失误在于我们忽视了具体的个人，而这个具体的个人才是教育的难度所在。数学教学中“思维孵化”的过程落实在对个体的关注上才是真实有效的。