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摘要：概率是研究数据和机会的科学，在自然科学和社会科学以及当前的市场经济中，均有着广泛的应用。在中学新课程标准中把统计与概率思想作为现代合格公民的基本素养纳入数学课程中，无论是在课程设置、课时安排上，还是在考试要求上都给予了高度的重视。本文就学生在概率学习中的难点、重点进行剖析解读，并对此探讨了概率的有效教学方法，旨在为教师教学工作提供理论参考。
关键词：概率；学习；有效教学
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）29-0124
一、概率的学科特点
概率与其他数学内容有明显的不同，正是这种不同，才一些概念。因此，在教学中，有必要分析该学科本身。概率有三个显著的特点：直观性、实践性和实用性。
1. 直观性
由于概率和现实的联系十分密切，其概念与方法有很深的直观背景。因此，加强直观教学对学习概率就显得十分重要。第一，直观性可以促使学生更好地理解概率的概念和理论。第二，直观性有助于学生发现解决问题的途径和方法。对于一些重要公式，若能着重理解它们的意义，根据所学的知识可以自行推出来或没法用图形表示出来，就不必死记硬背公式了。第三，直观性有助于学生检验结论的正确性。
2. 实践性
概率是一门实践性很强的学科。在教学过程中，教师可以引导学生通过抛掷硬币，大头针和骰子等大量重复试验来帮助学生形成随机意识。当然教师不宜以完成教学进度为由，把做实验变成讲实验。事实上，通过做实验不仅可以丰富学生对随机事件的体验， 增加对概率背景的认识，而且可以积累大量的活动经验，更深刻地领会概率的思想方法。
3. 应用性
概率来自于实践，又服务于实践。现在，概率已广泛地运用于生产、生活和社会等各个领域。因此，在课程实施过程中，不仅要让学生掌握概念的理论和知识，更重要的是培养学生的应用能力。不论是讲授新概念还是新方法，我们都要从现实背景讲清它们在解决实际问题时的应用。
二、概率教学中几类易混淆概念的认识
1. 必然、可能、不可能的区别
中学生对概率概念的理解有许多错误认识。虽然绝大部分中学生都能区分必然事件，可能事件和不可能事件，但以为不太可能就是不可能，很有可能就是必然以及有可能发生与必然发生之间的混淆是两种普遍存在的错误。
有人认为不可能事件与概率为0的事件等价，必然事件与概率为1的事件等价，随机事件的概率大于0而小于1，这是具有科学生错误的，违背了概率概念的实质。事实上，随机事件A的概率是，这是概率所具备的基本规范。事实上，概率为1的事件不一定是必然事件，概率为0的事件也不一定是不可能的事件。
2. 频率与概率
频率即每个对象出现的次数与总次数的比值，而概率表示某一事件发生可能性大小的这个数。频率反映了随机事件的频繁程度，概率反映了随机事件发生的可能性的大小。有些学生觉得每个对象出现的次数与总次数的比值，毫无疑问也就是这一事件发生这种可能性的大小。也有一部分学生觉得事件发生的频繁程度就是这一事件发生的可能性的大小。这些学生就是把概率与频率混淆了。仅仅是当试验次数无限增大时，事件发生的频率会逐渐稳定于概率附近。因此学生必须清楚只有试验次数无限大时概率的值可能是频率的某个具体值，也可能不是频率的具体的某个值。而且频率具有随机性，是近似值，能近似地反映事件出现可能性的大小，概率是理论值，是由事件的本质所决定的，它能精确地反映事件发生可能性的大小。
3. 放回抽样与不放回抽样的区别
有放回抽样和不放回抽样也是概率中的常见问题，有些题目中没有直接说明是有放回还是不放回，需要学生自己进行判定.通过下面两道经常见到的例题类型分析下放回抽样与不放回抽样的区别。
4. 独立和互斥的混同
有些学生凭自己的直觉觉得互斥就是两事件不能同时发生，独立就是两事件的发生互不影响，但是独立与互斥到底有什么异同点，怎样区分独立与互斥，基本上还是不太清楚、一知半解，这是导致学生做错关于独立与互斥题型的最主要原因。独立即对任意两个事件，若成立，则称事件A、B是相互独立的。由此可知必然事件以及不可能事件与任何事件都是相互独立的的，而互斥是事件的众多关系中较为特殊的一种集合关系。若事件不可能同时发生，也就是说是一个不可能事件，则称事件A与B互斥，即A的出现必然导致B的不出现或B的出现必然导致A的不出现。
三、概率教学对策及建议
1. 探究式教学在概率教学中的运用
探究性教学是学生在教师的指导下，主动参与教学过程，获取知识，应用所学理论知识，解决实际问题的学习活动。探究性教学能激发学生活的学习兴趣，有效地培养学生的实践能力和创新能力，是全面提高学生素质和成绩的重要手段。
（1）用活动的方法有效开展概率的教学
概率内容是与生活实际密切联系的，在收集数据及利用数据进行预测、推断和决策的过程中，包含大量的活动，完成这些活动需正确概率思想的指导，在活动中概率思想，建立概率观念。因此，教师应重视通过实践活动来改变学生存在的一些错误认识或理解偏颇。在活动过程中教师始终是活动的组织者与合作者，学生通过交流合作、主动探究、从事收集和处理数据的活动，有效改变教师常规的讲授法等教学方法，尝试使用问题教学，发展法教学等。在概念讲解中多采用样例的方法来介绍，学生便于理解。还有，要指导和影响学生改变学习方法，培养学生的动手能力与合作精神，创新意识和实践能力，投入到研究性学习中来。
（2）给学生更多练习实践的时间
首先内容上必须由浅入深，循序渐进安排，这样安排不仅符合概率的特点，也符合中学生的认知规律；其次，数学中仅用口头教授的方式很难改变学生直觉，虽多次纠正错误概念，但还是可能出现。教师应创设环境，鼓励学生在较多的时间内用真实的数据，活动以及直观的模拟实验改正他们后来的错误认识。 2. 重视概念教学
概率中有一些很重要的概念，正确理解并掌握这些概念就能准确地判断事件的性质，提高分析问题，解决问题的能力，为学习以后的知识奠定基础。
（1）教学中要注意定义中的关键语句
教学中要注意定义中关键语句，挖掘它的精神实质、数学定义，语言简洁，用词准确，把定义中的关键字、词和句子的关系分析透澈、辨别清楚，这对于学好定义十分重要。在这一教学环节中选择的例子应是学生日常生活中熟悉的例子，这样既能加深对概念的理解，又把抽象的数学概念与熟悉的生活联系起来，从而加深了印象、增强了记忆。
（2）用反面例子讲解使学生从不同的侧面理解概念
在从正面认识概念的本质基础上，再从反而去剖析，使学生既要对这个概念所反映的对象有初步的，又要对这个概念所反映的对象有较具体的了解，这样才能牢固地掌握概念。
（3）讲清概念之间的相互联系与区别
讲清概念之间的相互联系与区别，使学生从本质上分清不同的概念。教学要讲清概率知识之间的联系，包括同一领域之间的相互连接，不同知识领域之间的实质性联系。每一个环节的教学不可能单独进行，而是作为一个知识整体呈现的。作为教师，千万不能离开知识系统进行真空而孤立的教学，而应该结合学生以往的学习经验，紧密围绕知识线索讲清楚知识之间的联系，让学生清楚把握完整的知识，这对学生的学习具有重要的意义。学生只有清楚了所学知识之间的内在联系，才能进行完整而系统的学习。反之，学生的学习将是支离破碎的、没有系统的，无益于学生发展。
3. 培养学生实践运用能力
概率统计是对生活中遇到的问题进行量的研究的有效工具，为经济预测和决策提供了新的手段。概率统计在抽签中的应用、现实决策中的应用、经济效益中的应用、最大利润问题中的应用、在相遇问题中的应用、在经济保险问题中的应用、在最优配置问题中的应用、在中奖问题中的应用、概率与选购方案的综合应用、工厂生产中的应合理配置维修工人问题、在设计方案的的综合应用、在金融领域中的应用、在商品检测中的应用在运输预算中的应用等方面中的应用。这些都可以在教学中以不同的形式呈现给学生。对于学生具备知识背景的问题交由学生独立解决；对于不能解决但可以理解的问题以资料的形式呈现；对于概率统计在实际应用中的前沿发展作简单的介绍；可以通过活动课的形式使学生经历由生活到数学再反过来指导生活的建模过程。通过这些措施使学生更加了解概率这门学科的价值，激发他们学习数学的兴趣和动力，回归教育的本质。
参考文献
[1] 姜丽娟.概率教学中几个相关概念的探讨[J].鸡西大学学报，2001（4）.
[2] 胡慧敏.概率教学中几类易混淆概念的认识[J].阜阳师范学院学报（自然科学版），2006（2）.
[3] 张飞.新课标下中学概率教学策略研究[J].通化师范学院学报，2007（8）.
[4] 教育部.数学课程标准（实验稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2001.
（作者单位：山西省大同市第二中学 037000）
关键词：概率；学习；有效教学
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）29-0124
一、概率的学科特点
概率与其他数学内容有明显的不同，正是这种不同，才一些概念。因此，在教学中，有必要分析该学科本身。概率有三个显著的特点：直观性、实践性和实用性。
1. 直观性
由于概率和现实的联系十分密切，其概念与方法有很深的直观背景。因此，加强直观教学对学习概率就显得十分重要。第一，直观性可以促使学生更好地理解概率的概念和理论。第二，直观性有助于学生发现解决问题的途径和方法。对于一些重要公式，若能着重理解它们的意义，根据所学的知识可以自行推出来或没法用图形表示出来，就不必死记硬背公式了。第三，直观性有助于学生检验结论的正确性。
2. 实践性
概率是一门实践性很强的学科。在教学过程中，教师可以引导学生通过抛掷硬币，大头针和骰子等大量重复试验来帮助学生形成随机意识。当然教师不宜以完成教学进度为由，把做实验变成讲实验。事实上，通过做实验不仅可以丰富学生对随机事件的体验， 增加对概率背景的认识，而且可以积累大量的活动经验，更深刻地领会概率的思想方法。
3. 应用性
概率来自于实践，又服务于实践。现在，概率已广泛地运用于生产、生活和社会等各个领域。因此，在课程实施过程中，不仅要让学生掌握概念的理论和知识，更重要的是培养学生的应用能力。不论是讲授新概念还是新方法，我们都要从现实背景讲清它们在解决实际问题时的应用。
二、概率教学中几类易混淆概念的认识
1. 必然、可能、不可能的区别
中学生对概率概念的理解有许多错误认识。虽然绝大部分中学生都能区分必然事件，可能事件和不可能事件，但以为不太可能就是不可能，很有可能就是必然以及有可能发生与必然发生之间的混淆是两种普遍存在的错误。
有人认为不可能事件与概率为0的事件等价，必然事件与概率为1的事件等价，随机事件的概率大于0而小于1，这是具有科学生错误的，违背了概率概念的实质。事实上，随机事件A的概率是，这是概率所具备的基本规范。事实上，概率为1的事件不一定是必然事件，概率为0的事件也不一定是不可能的事件。
2. 频率与概率
频率即每个对象出现的次数与总次数的比值，而概率表示某一事件发生可能性大小的这个数。频率反映了随机事件的频繁程度，概率反映了随机事件发生的可能性的大小。有些学生觉得每个对象出现的次数与总次数的比值，毫无疑问也就是这一事件发生这种可能性的大小。也有一部分学生觉得事件发生的频繁程度就是这一事件发生的可能性的大小。这些学生就是把概率与频率混淆了。仅仅是当试验次数无限增大时，事件发生的频率会逐渐稳定于概率附近。因此学生必须清楚只有试验次数无限大时概率的值可能是频率的某个具体值，也可能不是频率的具体的某个值。而且频率具有随机性，是近似值，能近似地反映事件出现可能性的大小，概率是理论值，是由事件的本质所决定的，它能精确地反映事件发生可能性的大小。
3. 放回抽样与不放回抽样的区别
有放回抽样和不放回抽样也是概率中的常见问题，有些题目中没有直接说明是有放回还是不放回，需要学生自己进行判定.通过下面两道经常见到的例题类型分析下放回抽样与不放回抽样的区别。
4. 独立和互斥的混同
有些学生凭自己的直觉觉得互斥就是两事件不能同时发生，独立就是两事件的发生互不影响，但是独立与互斥到底有什么异同点，怎样区分独立与互斥，基本上还是不太清楚、一知半解，这是导致学生做错关于独立与互斥题型的最主要原因。独立即对任意两个事件，若成立，则称事件A、B是相互独立的。由此可知必然事件以及不可能事件与任何事件都是相互独立的的，而互斥是事件的众多关系中较为特殊的一种集合关系。若事件不可能同时发生，也就是说是一个不可能事件，则称事件A与B互斥，即A的出现必然导致B的不出现或B的出现必然导致A的不出现。
三、概率教学对策及建议
1. 探究式教学在概率教学中的运用
探究性教学是学生在教师的指导下，主动参与教学过程，获取知识，应用所学理论知识，解决实际问题的学习活动。探究性教学能激发学生活的学习兴趣，有效地培养学生的实践能力和创新能力，是全面提高学生素质和成绩的重要手段。
（1）用活动的方法有效开展概率的教学
概率内容是与生活实际密切联系的，在收集数据及利用数据进行预测、推断和决策的过程中，包含大量的活动，完成这些活动需正确概率思想的指导，在活动中概率思想，建立概率观念。因此，教师应重视通过实践活动来改变学生存在的一些错误认识或理解偏颇。在活动过程中教师始终是活动的组织者与合作者，学生通过交流合作、主动探究、从事收集和处理数据的活动，有效改变教师常规的讲授法等教学方法，尝试使用问题教学，发展法教学等。在概念讲解中多采用样例的方法来介绍，学生便于理解。还有，要指导和影响学生改变学习方法，培养学生的动手能力与合作精神，创新意识和实践能力，投入到研究性学习中来。
（2）给学生更多练习实践的时间
首先内容上必须由浅入深，循序渐进安排，这样安排不仅符合概率的特点，也符合中学生的认知规律；其次，数学中仅用口头教授的方式很难改变学生直觉，虽多次纠正错误概念，但还是可能出现。教师应创设环境，鼓励学生在较多的时间内用真实的数据，活动以及直观的模拟实验改正他们后来的错误认识。 2. 重视概念教学
概率中有一些很重要的概念，正确理解并掌握这些概念就能准确地判断事件的性质，提高分析问题，解决问题的能力，为学习以后的知识奠定基础。
（1）教学中要注意定义中的关键语句
教学中要注意定义中关键语句，挖掘它的精神实质、数学定义，语言简洁，用词准确，把定义中的关键字、词和句子的关系分析透澈、辨别清楚，这对于学好定义十分重要。在这一教学环节中选择的例子应是学生日常生活中熟悉的例子，这样既能加深对概念的理解，又把抽象的数学概念与熟悉的生活联系起来，从而加深了印象、增强了记忆。
（2）用反面例子讲解使学生从不同的侧面理解概念
在从正面认识概念的本质基础上，再从反而去剖析，使学生既要对这个概念所反映的对象有初步的，又要对这个概念所反映的对象有较具体的了解，这样才能牢固地掌握概念。
（3）讲清概念之间的相互联系与区别
讲清概念之间的相互联系与区别，使学生从本质上分清不同的概念。教学要讲清概率知识之间的联系，包括同一领域之间的相互连接，不同知识领域之间的实质性联系。每一个环节的教学不可能单独进行，而是作为一个知识整体呈现的。作为教师，千万不能离开知识系统进行真空而孤立的教学，而应该结合学生以往的学习经验，紧密围绕知识线索讲清楚知识之间的联系，让学生清楚把握完整的知识，这对学生的学习具有重要的意义。学生只有清楚了所学知识之间的内在联系，才能进行完整而系统的学习。反之，学生的学习将是支离破碎的、没有系统的，无益于学生发展。
3. 培养学生实践运用能力
概率统计是对生活中遇到的问题进行量的研究的有效工具，为经济预测和决策提供了新的手段。概率统计在抽签中的应用、现实决策中的应用、经济效益中的应用、最大利润问题中的应用、在相遇问题中的应用、在经济保险问题中的应用、在最优配置问题中的应用、在中奖问题中的应用、概率与选购方案的综合应用、工厂生产中的应合理配置维修工人问题、在设计方案的的综合应用、在金融领域中的应用、在商品检测中的应用在运输预算中的应用等方面中的应用。这些都可以在教学中以不同的形式呈现给学生。对于学生具备知识背景的问题交由学生独立解决；对于不能解决但可以理解的问题以资料的形式呈现；对于概率统计在实际应用中的前沿发展作简单的介绍；可以通过活动课的形式使学生经历由生活到数学再反过来指导生活的建模过程。通过这些措施使学生更加了解概率这门学科的价值，激发他们学习数学的兴趣和动力，回归教育的本质。
参考文献
[1] 姜丽娟.概率教学中几个相关概念的探讨[J].鸡西大学学报，2001（4）.
[2] 胡慧敏.概率教学中几类易混淆概念的认识[J].阜阳师范学院学报（自然科学版），2006（2）.
[3] 张飞.新课标下中学概率教学策略研究[J].通化师范学院学报，2007（8）.
[4] 教育部.数学课程标准（实验稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2001.
（作者单位：山西省大同市第二中学 037000）