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历次数学课程改革中，争议最大的往往是平面几何的改革.我国最近一次数学课程改革中，将原来初中教材中比较难的平面几何内容放到高中选修课中，[1，2]高考数学试题中重现了平面几何的考题，由于是选做题，大多数学校并没有将其纳入课堂教学当中，从考试情况来看，平面几何题目相对容易而得分率很低.教师普遍认为，现在的中学生，几何论证能力比之以往下滑严重.
著名数学家李大潜指出：“培养逻辑推理能力这一重要的数学素养，最有效的手段是学习平面几何，学习平面几何自然要学一些定理，但主要是训练思维，为此必须要学习严格的证明和推理.”[3] 古今中外的不少科学家，正是因为通过平面几何的学习才喜欢上数学，进而走向数学或科学研究的道路的.平面几何对于培养学生推理论证能力、逻辑思维能力、直觉思维能力、想象能力等，激发数学学习兴趣都具有不可替代的作用.
在此，我们暂且不谈平面几何如何改革，这个话题太大.我们从几个方面探讨如何设计平面几何教学案例，不是针对新授课，而是针对复习课、课题学习和课后拓展.设计意图不完全针对考试，而是点燃学生数学学习热情，培养学生数学创新思维.
1
采用问题串设计教学案例
围绕一两个主题，设计问题串，采用从点到面，由此及彼，从特殊到一般，归纳出相应结论.当然，平面几何学习过程中，也有很多知识的习得是由一般到特殊，例如，先研究平行四边形，再研究特殊平行四边形，也可以类似设计问题串.
案例1：几何图形的内角和与外角和
1-1. 求三角形的内角和与外角和；
1-2. 求凸四边形的内角和与外角和；
1-3. 求凸五边形的内角和与外角和；
1-4. 求凸n边形的内角和与外角和；
1-5. 总结出几何图形的内角和与外角和的一般规律；
1-6. 能定义圆周的几何图形的内角和与外角和吗？
设计背景与目的：
1980年，世界著名数学家陈省身教授在北京大学的一次讲学中说：“人们常说，三角形内角和等于180°，这是不对的！”接着，他解释道：“说三角形内角和等于180°不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应该说三角形外角和等于360°.” [4] 凸n边形的外角和等同于某个物体在凸n边形边上逆时针行走一周角度的改变量，其值恰为常数360°.相对而言，外角和才反映了事物变化中的不变，更为本质和一般.
设计本案例，旨在培养学生由特殊到一般的数学思维方法，变化中的不变量思维方法，换个角度看问题的转换思想.
2
采用专题形式设计教学案例
平面几何教学中，我们往往采用专题的形式进行小结、复习、拓展.例如，线段相等、直线平行、四点共圆、三线共点、三点共线等都可以作为一个专题.围绕一两个专题，将不同知识、多种方法集结，目的是培养学生融会贯通、举一反三的迁移能力.
案例2：三线共点与三点共线问题
2-1. 三角形的三条角平分线交于一点；
2-2. 三角形的三条高交于一点；
2-3. 三角形的三条中线交于一点；
2-4. 三角形的三条中垂线交于一点；
2-5. （欧拉定理）三角形的外心、重心、垂心三点共线，且外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半.
2-6.（塞瓦定理）如图1，设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是
设计背景与目的：
三角形的三条高、中线、中垂线、角平分线分别交于一点，而且三角形的外心、重心、垂心三点共线，体现了几何图形的对称性、和谐性、优美性和奇异性.学生在学习这些知识的过程中，一定会得到数学美的熏陶，激发强烈的学习兴趣，进而探究它们为什么会交于一点，又为什么外心、重心、垂心三点共线.这些问题的共同之处就是三线共点或三点共线，平面几何中有大量的此类问题，下面给出的一种证明方法要利用面积作为工具，证法简单、优美.
设计本案例，旨在让学生欣赏到数学美，培养推理论证能力.
[TPysx-1.tif，BP][TS（][JZ][HTK]图1 图2[TS）]
2-5的证明：
证明：如图2，作直径BK，取BC中点M，连接OM、CK、AK，则∠KCB=∠KAB=90°，从而KC∥AH，KA∥CH四边形CKAH是平行四边形AH=CK=2MO.
由OM∥AH，且AH=2OM，设中线AM与OH交于点G，则△GOM∽△GHA，故得MG∶GA=1∶2，从而G为△ABC的重心.且GH=2GO.
2-6的证明：
3
采用核心知识设计教学案例
核心知识具有统领作用，能够把各个知识有机串联起来.在中学数学中，函数、方程、不等式等就扮演着这样的角色.在平面几何中，长度、角度、面积、体积等都可以作为核心知识看待.我们可以围绕着某个核心知识，从知识和方法的角度设计系列题组或问题，使学生能够纲举目张，掌握核心知识，领会方法要领.
案例3：面积——平面几何的利器
3-1. 能利用面积来表示平行吗？
3-2. P是△ABC中∠A的平分线上任意一点，过C作CE∥PB，交AB延长线于点E，过B作BF∥PC，交AC延长线于点F.求证：BE=CF.
3-3.（共边定理）设直线AB与PQ交于点M，则
设计背景与目的：
根据古希腊学者希罗多德的研究，古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量，通过测量来确定损失地段的确切面积.从一开始，面积就成为几何学的核心概念，同时面积法是解决许多几何问题的有力武器.我国现代著名数学家张景中院士从面积出发所创立的消点法为几何定理可读证明发挥了关键作用，为面积这一核心概念谱写了新的篇章. 设计本案例，旨在让学生认识到面积概念在平面几何中的重要性，欣赏到数学的简洁美，培养推理论证能力，体会数学学科与计算机科学的交叉融合，进行爱国主义教育.
[TPysx-2.tif，Y][TS（][JZ][HTK]图3[TS）]
3-2的证明：
证明：如图3，连结PE、PF，由BF∥PC有S△PCF=S△PBC.又因为CE∥PB有S△PBE=S△PBC.所以S△PCF=S△PBE.而P是∠A的平分线上一点，则P点到BE及CF的距离相等，即△PCF的CF边上的高等于△PBE的BE边上的高，从而BE=CF.
3-4的证明：
证明：由共边定理得
4
通过引申拓展设计教学案例
欧几里德平面几何为几何学的学习和研究奠定了基础，在此基础上，结合数学其他学科知识和思想方法，派生和发展了射影几何，球面几何，微分几何、分形几何，代数几何等等学科.鉴于知识储备的不足和课时的限制，我们不可能过多涉足这些学科领域，当然，如果选取适当的素材，采用恰当的方式，我们也可以向学生引申拓展平面几何内容与方法，激发学生几何学习兴趣.
案例4：几何图形的平移和旋转
4-1. 如图4，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE、BD分别交CD、CE于G、H.求证：GH∥AB.
[TPysx-3.tif，BP][TS（][JZ][HTK]图4 图5[TS）]
4-2. 如图5，在等边△ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC，求证：以PA、PB、PC为边可以构成一个三角形.
4-3. 已知六边形AC1BA1CB1中， AC1=AB1，BC1=BA1，CA1=CB1，
∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1，求证：△ABC的面积是六边形AC1BA1CB1面积的一半.
4-4. （蝴蝶定理）AB是⊙O的一条弦，M为AB中点，CD，EF为过M的任意弦，CF，DE分别交AB于P，Q.求证：PM=MQ.
设计背景与目的： 1872年，德国数学家克莱因在题为《近代几何研究的比较评述》的演讲中，首次用变换的观点来看待几何.他认为，每种几何都由变换群所刻画，并且每种几何所要做的事情就是在这个变换群下考虑其不变量.[7]克莱因的观点对数学教育产生了重大影响.许多国家都强调用近代数学观点来改造传统的中学数学内容.在我国《全日制义务教育数学《标准》（实验稿）》也渗透了几何变换思想，但是力度不是太大.
设计本案例，旨在进一步渗透几何变换思想，培养学生秉持变化中的不变量思维方法，换个角度看问题的转换思想.
5
利用数学史料设计教学案例
古今中外的几何知识的发展，为我们留下了许多宝贵的文化精神财富.我们看到几何概念的提出，几何知识的形成有着某种顺其自然的规律，而不是遥不可及的天外来物.几何研究者留下的美妙定理和佳话，一直为后来者津津乐道.我们不妨在几何历史发展的长河中攫取一朵朵奇葩，一定会成为学生的一道丰盛的大餐.
案例5：勾股定理的证明
5-1. 勾股定理叙述.
5-2. 勾股定理的历史.
5-3. 勾股定理证法欣赏.
5-4. 勾股定理应用举例.
5-4. 勾股数与费马定理介绍.
设计背景与目的：
勾股定理：直角三角形两直角边上正方形面积的和等于斜边上正方形的面积.中国古代称直角三角形的直角边为勾和股，斜边为弦，故此定理称为勾股定理.这个定理在中国古代和西方早已被发现.数学史上普遍认为最先证明这个定理的是毕达哥拉斯，因此该定理也称为毕达哥拉斯定理.在中国，最早是三国时代东吴赵爽在注《周髀算经》时，用弦图证明了这个定理.[8]两千多年来，勾股定理由于其优美性和重要性，吸引了众多人进行研究，对它的证明已达数百种之多.
设计本案例，旨在让学生接受数学史、数学文化的熏陶，培养学生一题多解的发散性思维.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2001.7.
[2]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验稿）[M].北京： 人民教育出版社，2003.4
[3]李大潜.在上海市中小学教学改革研讨会的发言[J].数学教学，2003，（1）：6-10.
[4]张景中.数学家的眼光[M].北京：中国少年儿童出版社，2002.1.
[5]张景中.新概念几何[M].北京：中国少年儿童出版社，2002.1.
[6]张景中.计算机这样解几何题[M].广州：暨南大学出版社，2000.5.
[7]沈文选.平面几何证明方法全书[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学大学出版社，2005.9.
[8]李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社，2000.8.
著名数学家李大潜指出：“培养逻辑推理能力这一重要的数学素养，最有效的手段是学习平面几何，学习平面几何自然要学一些定理，但主要是训练思维，为此必须要学习严格的证明和推理.”[3] 古今中外的不少科学家，正是因为通过平面几何的学习才喜欢上数学，进而走向数学或科学研究的道路的.平面几何对于培养学生推理论证能力、逻辑思维能力、直觉思维能力、想象能力等，激发数学学习兴趣都具有不可替代的作用.
在此，我们暂且不谈平面几何如何改革，这个话题太大.我们从几个方面探讨如何设计平面几何教学案例，不是针对新授课，而是针对复习课、课题学习和课后拓展.设计意图不完全针对考试，而是点燃学生数学学习热情，培养学生数学创新思维.
1
采用问题串设计教学案例
围绕一两个主题，设计问题串，采用从点到面，由此及彼，从特殊到一般，归纳出相应结论.当然，平面几何学习过程中，也有很多知识的习得是由一般到特殊，例如，先研究平行四边形，再研究特殊平行四边形，也可以类似设计问题串.
案例1：几何图形的内角和与外角和
1-1. 求三角形的内角和与外角和；
1-2. 求凸四边形的内角和与外角和；
1-3. 求凸五边形的内角和与外角和；
1-4. 求凸n边形的内角和与外角和；
1-5. 总结出几何图形的内角和与外角和的一般规律；
1-6. 能定义圆周的几何图形的内角和与外角和吗？
设计背景与目的：
1980年，世界著名数学家陈省身教授在北京大学的一次讲学中说：“人们常说，三角形内角和等于180°，这是不对的！”接着，他解释道：“说三角形内角和等于180°不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应该说三角形外角和等于360°.” [4] 凸n边形的外角和等同于某个物体在凸n边形边上逆时针行走一周角度的改变量，其值恰为常数360°.相对而言，外角和才反映了事物变化中的不变，更为本质和一般.
设计本案例，旨在培养学生由特殊到一般的数学思维方法，变化中的不变量思维方法，换个角度看问题的转换思想.
2
采用专题形式设计教学案例
平面几何教学中，我们往往采用专题的形式进行小结、复习、拓展.例如，线段相等、直线平行、四点共圆、三线共点、三点共线等都可以作为一个专题.围绕一两个专题，将不同知识、多种方法集结，目的是培养学生融会贯通、举一反三的迁移能力.
案例2：三线共点与三点共线问题
2-1. 三角形的三条角平分线交于一点；
2-2. 三角形的三条高交于一点；
2-3. 三角形的三条中线交于一点；
2-4. 三角形的三条中垂线交于一点；
2-5. （欧拉定理）三角形的外心、重心、垂心三点共线，且外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半.
2-6.（塞瓦定理）如图1，设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是
设计背景与目的：
三角形的三条高、中线、中垂线、角平分线分别交于一点，而且三角形的外心、重心、垂心三点共线，体现了几何图形的对称性、和谐性、优美性和奇异性.学生在学习这些知识的过程中，一定会得到数学美的熏陶，激发强烈的学习兴趣，进而探究它们为什么会交于一点，又为什么外心、重心、垂心三点共线.这些问题的共同之处就是三线共点或三点共线，平面几何中有大量的此类问题，下面给出的一种证明方法要利用面积作为工具，证法简单、优美.
设计本案例，旨在让学生欣赏到数学美，培养推理论证能力.
[TPysx-1.tif，BP][TS（][JZ][HTK]图1 图2[TS）]
2-5的证明：
证明：如图2，作直径BK，取BC中点M，连接OM、CK、AK，则∠KCB=∠KAB=90°，从而KC∥AH，KA∥CH四边形CKAH是平行四边形AH=CK=2MO.
由OM∥AH，且AH=2OM，设中线AM与OH交于点G，则△GOM∽△GHA，故得MG∶GA=1∶2，从而G为△ABC的重心.且GH=2GO.
2-6的证明：
3
采用核心知识设计教学案例
核心知识具有统领作用，能够把各个知识有机串联起来.在中学数学中，函数、方程、不等式等就扮演着这样的角色.在平面几何中，长度、角度、面积、体积等都可以作为核心知识看待.我们可以围绕着某个核心知识，从知识和方法的角度设计系列题组或问题，使学生能够纲举目张，掌握核心知识，领会方法要领.
案例3：面积——平面几何的利器
3-1. 能利用面积来表示平行吗？
3-2. P是△ABC中∠A的平分线上任意一点，过C作CE∥PB，交AB延长线于点E，过B作BF∥PC，交AC延长线于点F.求证：BE=CF.
3-3.（共边定理）设直线AB与PQ交于点M，则
设计背景与目的：
根据古希腊学者希罗多德的研究，古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量，通过测量来确定损失地段的确切面积.从一开始，面积就成为几何学的核心概念，同时面积法是解决许多几何问题的有力武器.我国现代著名数学家张景中院士从面积出发所创立的消点法为几何定理可读证明发挥了关键作用，为面积这一核心概念谱写了新的篇章. 设计本案例，旨在让学生认识到面积概念在平面几何中的重要性，欣赏到数学的简洁美，培养推理论证能力，体会数学学科与计算机科学的交叉融合，进行爱国主义教育.
[TPysx-2.tif，Y][TS（][JZ][HTK]图3[TS）]
3-2的证明：
证明：如图3，连结PE、PF，由BF∥PC有S△PCF=S△PBC.又因为CE∥PB有S△PBE=S△PBC.所以S△PCF=S△PBE.而P是∠A的平分线上一点，则P点到BE及CF的距离相等，即△PCF的CF边上的高等于△PBE的BE边上的高，从而BE=CF.
3-4的证明：
证明：由共边定理得
4
通过引申拓展设计教学案例
欧几里德平面几何为几何学的学习和研究奠定了基础，在此基础上，结合数学其他学科知识和思想方法，派生和发展了射影几何，球面几何，微分几何、分形几何，代数几何等等学科.鉴于知识储备的不足和课时的限制，我们不可能过多涉足这些学科领域，当然，如果选取适当的素材，采用恰当的方式，我们也可以向学生引申拓展平面几何内容与方法，激发学生几何学习兴趣.
案例4：几何图形的平移和旋转
4-1. 如图4，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE、BD分别交CD、CE于G、H.求证：GH∥AB.
[TPysx-3.tif，BP][TS（][JZ][HTK]图4 图5[TS）]
4-2. 如图5，在等边△ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC，求证：以PA、PB、PC为边可以构成一个三角形.
4-3. 已知六边形AC1BA1CB1中， AC1=AB1，BC1=BA1，CA1=CB1，
∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1，求证：△ABC的面积是六边形AC1BA1CB1面积的一半.
4-4. （蝴蝶定理）AB是⊙O的一条弦，M为AB中点，CD，EF为过M的任意弦，CF，DE分别交AB于P，Q.求证：PM=MQ.
设计背景与目的： 1872年，德国数学家克莱因在题为《近代几何研究的比较评述》的演讲中，首次用变换的观点来看待几何.他认为，每种几何都由变换群所刻画，并且每种几何所要做的事情就是在这个变换群下考虑其不变量.[7]克莱因的观点对数学教育产生了重大影响.许多国家都强调用近代数学观点来改造传统的中学数学内容.在我国《全日制义务教育数学《标准》（实验稿）》也渗透了几何变换思想，但是力度不是太大.
设计本案例，旨在进一步渗透几何变换思想，培养学生秉持变化中的不变量思维方法，换个角度看问题的转换思想.
5
利用数学史料设计教学案例
古今中外的几何知识的发展，为我们留下了许多宝贵的文化精神财富.我们看到几何概念的提出，几何知识的形成有着某种顺其自然的规律，而不是遥不可及的天外来物.几何研究者留下的美妙定理和佳话，一直为后来者津津乐道.我们不妨在几何历史发展的长河中攫取一朵朵奇葩，一定会成为学生的一道丰盛的大餐.
案例5：勾股定理的证明
5-1. 勾股定理叙述.
5-2. 勾股定理的历史.
5-3. 勾股定理证法欣赏.
5-4. 勾股定理应用举例.
5-4. 勾股数与费马定理介绍.
设计背景与目的：
勾股定理：直角三角形两直角边上正方形面积的和等于斜边上正方形的面积.中国古代称直角三角形的直角边为勾和股，斜边为弦，故此定理称为勾股定理.这个定理在中国古代和西方早已被发现.数学史上普遍认为最先证明这个定理的是毕达哥拉斯，因此该定理也称为毕达哥拉斯定理.在中国，最早是三国时代东吴赵爽在注《周髀算经》时，用弦图证明了这个定理.[8]两千多年来，勾股定理由于其优美性和重要性，吸引了众多人进行研究，对它的证明已达数百种之多.
设计本案例，旨在让学生接受数学史、数学文化的熏陶，培养学生一题多解的发散性思维.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2001.7.
[2]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验稿）[M].北京： 人民教育出版社，2003.4
[3]李大潜.在上海市中小学教学改革研讨会的发言[J].数学教学，2003，（1）：6-10.
[4]张景中.数学家的眼光[M].北京：中国少年儿童出版社，2002.1.
[5]张景中.新概念几何[M].北京：中国少年儿童出版社，2002.1.
[6]张景中.计算机这样解几何题[M].广州：暨南大学出版社，2000.5.
[7]沈文选.平面几何证明方法全书[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学大学出版社，2005.9.
[8]李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社，2000.8.