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摘要：研究曲率二次衰减的完备非紧黎曼流形，通过点到极小测地圈中点的距离的一致估计和在满足一定条件下证明了它的基本群是有限生成的，对著名的Milnor猜想起到更强的支持。
关键词：曲率二次衰减；基本群；射线密度函数
中图分类号：O186.12文献标识码：A文章编号：2095-7394（2014）06-0009-04
0引言
1968年，Milnor猜想对于一个完备非紧黎曼流形Mn，若它具有非负Ricci曲率，则其基本群必是有限生成的[1]。至今，虽然有一些进展，但这个猜想还没有得到完全证[2-4]。
最近，Sormani证明[5]了若Mn的直径增长还满足小的线性增长条件，则基本群是有限生成。文献[6]，[7]对文献[5]中的万有常数进行改进，得到了相应的结果。张运涛和徐栩证明[8]了若Mn的曲率满足二次衰减条件下，则在Mn满足小的直径线性增长条件下Mn一定具有有限的基本群，我们证明了Mn的曲率在满足更一般的条件（极小截曲率二次衰减）下，具有相同的结果。
本文在极小截曲率二次衰减的条件下推广了一致割引理，利用这一重要引理证明了此类流形在满足直径增长条件下具有有限的基本群，即
定理A设Mn是一个完备非紧黎曼流形，其极小截曲率关于常数C>0二次衰减，且存在一个万有常数C1>0，使得若limr∞ sup diam（Bp（r））1r<4C1，则Mn具有有限生成的基本群。
定理B设Mn是一个完备非紧黎曼流形，其极小截曲率关于常数C>0二次衰减，且存在一个万有常数C1>0，使得若limr∞ sup D（r）1r<4C1，则Mn具有有限生成的基本群。1主要引理
定义1[9]设0∈Mn为一个定点，Mn被称作具有关于常数C>0二次衰减极小截曲率，如果对任意的p∈Mn，其极小截曲率Kmino（p）满足Kmino（p）≥-C1d2（o，p）。
定义2射线密度函数D（r）定义为D（r）=supx∈Bo（r） infraysγ1γ（0）=0 d（x，γ（r）），其中d表示Mn中的距离函数。
为了研究曲率α次衰减的开流形的基本群，需要一些引理。
引理1[5]设Mn是一个完备非紧Riemannian流形，其基本群为π1（M，x0）其中x0∈Mn，则存在π1（M，x0）的线性无关的生成元的有序集合{g1，g2，g3，…}，以及相应长度为dk的极小测地圈γk，使得dM（γk（0），γk（dk12））=dk12。
下面叙述对本文两个定理的证明起非常重要的引理（一致割引理）。江苏理工学院学报第20卷第6期金亚东朱鹏：曲率二次衰减的开流形的基本群
引理2设Mn为关于常数C>0二次衰减极小截曲率的完备非紧Riemannian流形，γ为基点在x0∈Mn，长度为L（γ）=D的不可缩测地圈，满足下列条件：
（1）对于任意基点为x0且同伦与γ的测地圈σ，均有L（σ）≥D；
（2）测地圈γ限制在[0，D12]以及[D12，D]上都是极小测地线，则对于一个充分大的常数D，存在一个万有常数C1>0，使得只要x∈Bx0（RD）其中R≥112+C1，就有dM（x，γ（D12））≥（R-112）D+2C1D。
证明首先由引理1可知，这样的测地圈γ是存在。
先假设R=112+C1（C1>0），设dM（x，x0）=（112+C1）D，记γ（D14）=x1，γ（3D14）=x2。设～1M为M的万有覆盖，～1x0∈～1M点为x0∈Mn的一个提升，且g∈π1（M，x0）为基本群中给定测地圈γ的代表元的元素，而γ的提升～1γ是一条从～1x0到g～1x0的极小测地线，因此，d～1M（～1x0，g～1x0）=D。现在，我们把从γ（D12）到x的极小测地线f：[0，a]Mn提升到万有覆盖空间中的从～1γ（D12）到点x～1的曲线～1f，注意到L（～1f）=L（f）=a=dM（x，γ（D12））。
记～1x1，～1x2∈～1γ分别为x1，x2的提升，下面考察两个测地三角形△（～1x，～1x1，～1γ（D12）），△（～1x，～1x2，～1γ（D12）），则有
r1=d～1M（～1x，～1x1）≥dM（x，x1）≥dM（x，x0）-dM（x0，x1）=（112+C1）D-114D=（114+C1）D（1）
r2=d～1M（～1x，～1x2）≥dM（x，x2）≥dM（x，x0）-dM（x0，x2）=（112+C1）D-114D=（114+C1）D。（2）
设θ为测地线～1x～1γ（D12）和～1x1～1γ（D12）所形成的夹角，由于KminM=KminM≥-k=-C1d2（x0，x1）=-16C1D2。
根据Toponogov比较定理和双曲几何中的余弦定理，有cosθ≤coshkacoshkD14-coshkr11sinhkasinhkD14，
cos（π-θ）≤coshkacoshkD14-coshkr21sinhkasinhkD14，从上面两式可以得到coshka≥coshkr1+coshkr212coshkD14。
再根据k=16C1D2以及式子（1）（2）可得cosh4C1121Da≥cosh（1+4C1）C1121coshC112。
若引理3中的结论不成立，则有dM（～1x，～1γ（D12））=dM（x，γ（D12））=a cosh3·4C112C1>cosh4C1121Da≥cosh（1+4C1）C1121coshC112。
但是cosh（3·4C112C1）coshC112-cosh（1+4C1）C112=（4cosh34C112C1-3cosh（4C1C112）coshC112-（coshC112cosh4C112C1+sinhC112sinh4C112C1）=（4cosh34C112C1-4cosh（4C1C112））coshC112-sinhC112sinh4C112C1=4sinh24C112C1cosh（4C1C112）coshC112-sinhC112sinh4C112C1=2sinh4C112C1sinh（8C1C112）coshC112-sinhC112sinh4C112C1=sinh4C112C1coshC112（2sinh8C1C112-tanhC112），令2sinh8C1C-tanhC=0，得C1=118C lnthC+（thC）2+412。 由于sinhx是单调增函数，取C1≤118C lnthC+（thC）2+412，就有cosh3·4C112）C1≤cosh（1+4C1）C112）1coshC112，矛盾，故dM（x，γ（D12））≥3C1D。
最后，考虑R>112+C1（C1>0），设x∈Bx0（RD），取y∈Bx0（（112+C1）D）位于x到γ（D12）的极小测地线上，则有dM（x，γ（D12））=dM（x，y）+dM（y，γ（D12））≥RD-（112+C1）D+3C1D=（R-112）D+2C1D。2定理的证明
定理A的证明假设Mn有无限生成的基本群π1（M，x0），根据引理1，存在基本群的生成元序列gk，基点在x0的极小测地圈γk满足引理3的条件，设dk=L（γk），注意，此时dk+∞（k∞）。
若xk∈Bx0（（112+C1）dk），则有d（xk，γ（dk12））≥3C1dk，因此，位于从xk到x0的极小测地线上的yk∈Bx0（112dk），应有d（yk，γ（dk12））≥d（xk，γ（dk12））-d（xk，yk）≥3C1dk-C1dk=2C1dk，则
lim1r∞ supdiam（Bp（r））1r≥limr∞ supd（yk，γ（dk12））1dk12≥limr∞ sup2C1dk1dk12=4C1。
这与定理A中的条件矛盾。
定理B的证明证明方法与定理A的证明相类似，只要定理A的证明的γ变为满足下面等式中的γ：d（γk（dk12），γ（dk12））=infraysγ1γ（0）=0d（γk（dk12），γ（dk12））。参考文献：
[1] Milnor J，A note on curvature and fundamental group[J].Journal of Differential Geometry，1968，2（1）：1-7.
[2] Cheeger J，Gromoll D，On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature[J].Ann.of Math.，1972，96（2）：413-443.
[3] Schoen R，Yau S T，Complete three dimensional manifolds with positive Ricci curvature and scalar curvature[J].Seminar on Differential Geometry，1982，102：209-228.
[4] Anderson，Michael T.On the topology of complete manifolds of nonnegative Ricci curvature[J].Topology，1990，29（1）：41-55.
[5] Sormani C.Nonnegative Ricci curvature，small linear diameter growth and finite generation of fundamental groups[J].Journal of Differential Geometry，2000，54（3）：547-559.
[6] XU Sen-lin，WANG Zuo-qin，YANG Fang-yun.On the fundamental Group of open manifolds with nonnegative Ricci curvature[J].Chinese Annals of Mathematics，2003，24（4）：469-474.
[7] XU Sen-lin，DENG Qin-tao.The fundamental Group of open manifolds with nonnegative Ricci curvature[J].Acta Mathematica Sinica，Chinese Series，2006，49（2）：353-356.
[8] ZHANG Yun-tao，XU Xu.On the fundamental Group of Complete Manifolds with Lower Quadratic Curvature Decay[J].Acta Mathematica Sinca，Chinese Series，2007，50（5）：1 093-1 098.
[9] Santos Newton L.Manifolds with asymptotically nonnegative minimal radial curvature [J].Advances in Geometry，2007，7（3）：331-355.The Fundamental Groups of Open Manifolds
with 2-Curvature Decay
JIN Ya-dong，ZHU Peng
（School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of Technology，Changzhou 213001，China）
Abstract：In this paper，we study a complete Riemannian manifold with 2-curvature decay.we obtain the fundamental group of is finitely generated under the uniform estimates for the distance from a point to half way point of minimal geodesics and some conditions，This supports the famous Milnor conjecture strongly.
Key words：2-curvature decay；fundamental group；ray density function
关键词：曲率二次衰减；基本群；射线密度函数
中图分类号：O186.12文献标识码：A文章编号：2095-7394（2014）06-0009-04
0引言
1968年，Milnor猜想对于一个完备非紧黎曼流形Mn，若它具有非负Ricci曲率，则其基本群必是有限生成的[1]。至今，虽然有一些进展，但这个猜想还没有得到完全证[2-4]。
最近，Sormani证明[5]了若Mn的直径增长还满足小的线性增长条件，则基本群是有限生成。文献[6]，[7]对文献[5]中的万有常数进行改进，得到了相应的结果。张运涛和徐栩证明[8]了若Mn的曲率满足二次衰减条件下，则在Mn满足小的直径线性增长条件下Mn一定具有有限的基本群，我们证明了Mn的曲率在满足更一般的条件（极小截曲率二次衰减）下，具有相同的结果。
本文在极小截曲率二次衰减的条件下推广了一致割引理，利用这一重要引理证明了此类流形在满足直径增长条件下具有有限的基本群，即
定理A设Mn是一个完备非紧黎曼流形，其极小截曲率关于常数C>0二次衰减，且存在一个万有常数C1>0，使得若limr∞ sup diam（Bp（r））1r<4C1，则Mn具有有限生成的基本群。
定理B设Mn是一个完备非紧黎曼流形，其极小截曲率关于常数C>0二次衰减，且存在一个万有常数C1>0，使得若limr∞ sup D（r）1r<4C1，则Mn具有有限生成的基本群。1主要引理
定义1[9]设0∈Mn为一个定点，Mn被称作具有关于常数C>0二次衰减极小截曲率，如果对任意的p∈Mn，其极小截曲率Kmino（p）满足Kmino（p）≥-C1d2（o，p）。
定义2射线密度函数D（r）定义为D（r）=supx∈Bo（r） infraysγ1γ（0）=0 d（x，γ（r）），其中d表示Mn中的距离函数。
为了研究曲率α次衰减的开流形的基本群，需要一些引理。
引理1[5]设Mn是一个完备非紧Riemannian流形，其基本群为π1（M，x0）其中x0∈Mn，则存在π1（M，x0）的线性无关的生成元的有序集合{g1，g2，g3，…}，以及相应长度为dk的极小测地圈γk，使得dM（γk（0），γk（dk12））=dk12。
下面叙述对本文两个定理的证明起非常重要的引理（一致割引理）。江苏理工学院学报第20卷第6期金亚东朱鹏：曲率二次衰减的开流形的基本群
引理2设Mn为关于常数C>0二次衰减极小截曲率的完备非紧Riemannian流形，γ为基点在x0∈Mn，长度为L（γ）=D的不可缩测地圈，满足下列条件：
（1）对于任意基点为x0且同伦与γ的测地圈σ，均有L（σ）≥D；
（2）测地圈γ限制在[0，D12]以及[D12，D]上都是极小测地线，则对于一个充分大的常数D，存在一个万有常数C1>0，使得只要x∈Bx0（RD）其中R≥112+C1，就有dM（x，γ（D12））≥（R-112）D+2C1D。
证明首先由引理1可知，这样的测地圈γ是存在。
先假设R=112+C1（C1>0），设dM（x，x0）=（112+C1）D，记γ（D14）=x1，γ（3D14）=x2。设～1M为M的万有覆盖，～1x0∈～1M点为x0∈Mn的一个提升，且g∈π1（M，x0）为基本群中给定测地圈γ的代表元的元素，而γ的提升～1γ是一条从～1x0到g～1x0的极小测地线，因此，d～1M（～1x0，g～1x0）=D。现在，我们把从γ（D12）到x的极小测地线f：[0，a]Mn提升到万有覆盖空间中的从～1γ（D12）到点x～1的曲线～1f，注意到L（～1f）=L（f）=a=dM（x，γ（D12））。
记～1x1，～1x2∈～1γ分别为x1，x2的提升，下面考察两个测地三角形△（～1x，～1x1，～1γ（D12）），△（～1x，～1x2，～1γ（D12）），则有
r1=d～1M（～1x，～1x1）≥dM（x，x1）≥dM（x，x0）-dM（x0，x1）=（112+C1）D-114D=（114+C1）D（1）
r2=d～1M（～1x，～1x2）≥dM（x，x2）≥dM（x，x0）-dM（x0，x2）=（112+C1）D-114D=（114+C1）D。（2）
设θ为测地线～1x～1γ（D12）和～1x1～1γ（D12）所形成的夹角，由于KminM=KminM≥-k=-C1d2（x0，x1）=-16C1D2。
根据Toponogov比较定理和双曲几何中的余弦定理，有cosθ≤coshkacoshkD14-coshkr11sinhkasinhkD14，
cos（π-θ）≤coshkacoshkD14-coshkr21sinhkasinhkD14，从上面两式可以得到coshka≥coshkr1+coshkr212coshkD14。
再根据k=16C1D2以及式子（1）（2）可得cosh4C1121Da≥cosh（1+4C1）C1121coshC112。
若引理3中的结论不成立，则有dM（～1x，～1γ（D12））=dM（x，γ（D12））=a
但是cosh（3·4C112C1）coshC112-cosh（1+4C1）C112=（4cosh34C112C1-3cosh（4C1C112）coshC112-（coshC112cosh4C112C1+sinhC112sinh4C112C1）=（4cosh34C112C1-4cosh（4C1C112））coshC112-sinhC112sinh4C112C1=4sinh24C112C1cosh（4C1C112）coshC112-sinhC112sinh4C112C1=2sinh4C112C1sinh（8C1C112）coshC112-sinhC112sinh4C112C1=sinh4C112C1coshC112（2sinh8C1C112-tanhC112），令2sinh8C1C-tanhC=0，得C1=118C lnthC+（thC）2+412。 由于sinhx是单调增函数，取C1≤118C lnthC+（thC）2+412，就有cosh3·4C112）C1≤cosh（1+4C1）C112）1coshC112，矛盾，故dM（x，γ（D12））≥3C1D。
最后，考虑R>112+C1（C1>0），设x∈Bx0（RD），取y∈Bx0（（112+C1）D）位于x到γ（D12）的极小测地线上，则有dM（x，γ（D12））=dM（x，y）+dM（y，γ（D12））≥RD-（112+C1）D+3C1D=（R-112）D+2C1D。2定理的证明
定理A的证明假设Mn有无限生成的基本群π1（M，x0），根据引理1，存在基本群的生成元序列gk，基点在x0的极小测地圈γk满足引理3的条件，设dk=L（γk），注意，此时dk+∞（k∞）。
若xk∈Bx0（（112+C1）dk），则有d（xk，γ（dk12））≥3C1dk，因此，位于从xk到x0的极小测地线上的yk∈Bx0（112dk），应有d（yk，γ（dk12））≥d（xk，γ（dk12））-d（xk，yk）≥3C1dk-C1dk=2C1dk，则
lim1r∞ supdiam（Bp（r））1r≥limr∞ supd（yk，γ（dk12））1dk12≥limr∞ sup2C1dk1dk12=4C1。
这与定理A中的条件矛盾。
定理B的证明证明方法与定理A的证明相类似，只要定理A的证明的γ变为满足下面等式中的γ：d（γk（dk12），γ（dk12））=infraysγ1γ（0）=0d（γk（dk12），γ（dk12））。参考文献：
[1] Milnor J，A note on curvature and fundamental group[J].Journal of Differential Geometry，1968，2（1）：1-7.
[2] Cheeger J，Gromoll D，On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature[J].Ann.of Math.，1972，96（2）：413-443.
[3] Schoen R，Yau S T，Complete three dimensional manifolds with positive Ricci curvature and scalar curvature[J].Seminar on Differential Geometry，1982，102：209-228.
[4] Anderson，Michael T.On the topology of complete manifolds of nonnegative Ricci curvature[J].Topology，1990，29（1）：41-55.
[5] Sormani C.Nonnegative Ricci curvature，small linear diameter growth and finite generation of fundamental groups[J].Journal of Differential Geometry，2000，54（3）：547-559.
[6] XU Sen-lin，WANG Zuo-qin，YANG Fang-yun.On the fundamental Group of open manifolds with nonnegative Ricci curvature[J].Chinese Annals of Mathematics，2003，24（4）：469-474.
[7] XU Sen-lin，DENG Qin-tao.The fundamental Group of open manifolds with nonnegative Ricci curvature[J].Acta Mathematica Sinica，Chinese Series，2006，49（2）：353-356.
[8] ZHANG Yun-tao，XU Xu.On the fundamental Group of Complete Manifolds with Lower Quadratic Curvature Decay[J].Acta Mathematica Sinca，Chinese Series，2007，50（5）：1 093-1 098.
[9] Santos Newton L.Manifolds with asymptotically nonnegative minimal radial curvature [J].Advances in Geometry，2007，7（3）：331-355.The Fundamental Groups of Open Manifolds
with 2-Curvature Decay
JIN Ya-dong，ZHU Peng
（School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of Technology，Changzhou 213001，China）
Abstract：In this paper，we study a complete Riemannian manifold with 2-curvature decay.we obtain the fundamental group of is finitely generated under the uniform estimates for the distance from a point to half way point of minimal geodesics and some conditions，This supports the famous Milnor conjecture strongly.
Key words：2-curvature decay；fundamental group；ray density function