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【摘要】高中阶段所学的功的计算公式W=Fscosα只能用于计算恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用。文章对变力做功问题的几种常用解法进行归纳总结。
【关键词】变力做功 解法
Several kinds of solution for the work done by the changing force
Wei Yanqin
【Abstract】The formula, W=Fscosα, which students have learned in the senior high school, can just be used for counting the work done by the constant force. For the work done by the changing work, there is no one immovable formula to be used. The author in this article has made some conclusion on the solutions that are used often for the work done by the changing force.
【Keywords】Work done by the changing forceSolution
高中阶段所学的功的计算公式W=Fscosα只能用于计算恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功问题的几种常用解法归纳总结如下：
1．微元法。当物体在变力的作用下做曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
例1、如图所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为（）。
A、0 B、20πJ C、10J D、20J
解析：此题为求变力做功的题目。把圆周分成无限个小段，每个小段可认为与力在同一直线上，故∆W=F∆s，则转一周中各个小段做功的代数和为
W=F×2πR=10×2π×1J=20πJ
答案：B
2．平均力法。如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。
例2、一辆汽车质量为105kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进100m时，牵引力做的功是多少？
解析：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进100m过程中的牵引力做的功可看做是平均牵引力所做的功。由题意可知：
f0=0.05×105×10N=5×104N，
所以前进100m过程中的平均牵引力
∴W= s=1×105×100J=1×107J
答案：1×107J
3．用动能定理求变力做功。
例3、如图所示，AB为 圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长L=3m，BC处的动摩擦因数为 ，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。（g取10m/s2）
解析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力及AC段的摩擦力共三个力做功，重力做功WG=mgR，水平面上摩擦力做功Wf1=-μmgL，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知W合=0，
所以mgR－μmgL－WAB=0，
即WAB=mgR－μmgL=6J。
答案：6J
4．用机械能守恒定律求变力做功。如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律的条件。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。
例4、如图所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。（g取10m/s2）
解析：由于斜面光滑故系统机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点。
则状态A，EA=mgh+
对状态B，EB=－W弹簧+0，
由机械能守恒定律得，W弹簧=-（mgh+ ）=-125（J）。
答案：125J。
5．用功能原理求变力做功。
例5、一个运动员将质量为10kg的球踢出，踢出时的速度是10m/s，球沿水平地面前进40m停止，运动员对球做的功是多少？
解析：运动员踢球时对球做了功，踢球的力是变力，使足球具有了 ×10×102=500J的动能，根据功是能量转化的量度，运动员对球做的功为500J。
答案：500J。
以上几种解法是求解变力做功比较常用的几种解法，其中后三种解法都是运用能量的观点分析解决问题，这样做不涉及过程中力的作用细节，只关心过程中的能量转化的关系和过程中的始末状态，这往往更能把握住问题的实质，使解决问题的思路变得简捷。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】变力做功 解法
Several kinds of solution for the work done by the changing force
Wei Yanqin
【Abstract】The formula, W=Fscosα, which students have learned in the senior high school, can just be used for counting the work done by the constant force. For the work done by the changing work, there is no one immovable formula to be used. The author in this article has made some conclusion on the solutions that are used often for the work done by the changing force.
【Keywords】Work done by the changing forceSolution
高中阶段所学的功的计算公式W=Fscosα只能用于计算恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功问题的几种常用解法归纳总结如下：
1．微元法。当物体在变力的作用下做曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
例1、如图所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为（）。
A、0 B、20πJ C、10J D、20J
解析：此题为求变力做功的题目。把圆周分成无限个小段，每个小段可认为与力在同一直线上，故∆W=F∆s，则转一周中各个小段做功的代数和为
W=F×2πR=10×2π×1J=20πJ
答案：B
2．平均力法。如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。
例2、一辆汽车质量为105kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进100m时，牵引力做的功是多少？
解析：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进100m过程中的牵引力做的功可看做是平均牵引力所做的功。由题意可知：
f0=0.05×105×10N=5×104N，
所以前进100m过程中的平均牵引力
∴W= s=1×105×100J=1×107J
答案：1×107J
3．用动能定理求变力做功。
例3、如图所示，AB为 圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长L=3m，BC处的动摩擦因数为 ，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。（g取10m/s2）
解析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力及AC段的摩擦力共三个力做功，重力做功WG=mgR，水平面上摩擦力做功Wf1=-μmgL，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知W合=0，
所以mgR－μmgL－WAB=0，
即WAB=mgR－μmgL=6J。
答案：6J
4．用机械能守恒定律求变力做功。如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律的条件。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。
例4、如图所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。（g取10m/s2）
解析：由于斜面光滑故系统机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点。
则状态A，EA=mgh+
对状态B，EB=－W弹簧+0，
由机械能守恒定律得，W弹簧=-（mgh+ ）=-125（J）。
答案：125J。
5．用功能原理求变力做功。
例5、一个运动员将质量为10kg的球踢出，踢出时的速度是10m/s，球沿水平地面前进40m停止，运动员对球做的功是多少？
解析：运动员踢球时对球做了功，踢球的力是变力，使足球具有了 ×10×102=500J的动能，根据功是能量转化的量度，运动员对球做的功为500J。
答案：500J。
以上几种解法是求解变力做功比较常用的几种解法，其中后三种解法都是运用能量的观点分析解决问题，这样做不涉及过程中力的作用细节，只关心过程中的能量转化的关系和过程中的始末状态，这往往更能把握住问题的实质，使解决问题的思路变得简捷。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”