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数学教学的实质是数学思维的教学,对中学生而言,数学创造性思维能力就是独立地、创造性地掌握知识,在解决数学问题的过程中,创造出有一定价值的新思维成果。它包括如下一些内容;已知的定理、公式经过其自身的研究探索而获得,不满足现成的证明方法而独立地提出新的解法;对非标准的题目探索出独创性的解法等等。即使他们创造的产物无新的客观价值,但就其主观方面来说,都体现了某种创造精神,在数学教学中加强发散思维训练和发展直觉思维,对于提高学生创造性思维能力有着十分重要的作用。
一、培养学生的发散思维能力
著名的心理学家吉尔福特认为发散思维主要有三特征:流畅性、变通性、独特性。流畅性指在较短的时间内表达较多观念,它是发散思维的基础。变通性指思考能举一反三触类旁通,不易受思维定势的束缚,显示思维角度的转换;独特性是指对事物有不同寻常的独特见解,是发散思维的质的标志,只有同时具备流畅性和变通性才能产生独特的观念。数学家哈不莫斯说:数学真正的组成部分是问题和解。解题教学是数学教学的重要环节。往往可以用不同的方法证明,例如三角形的内角和定理、勾股定理有多种解法。在教学中引导学生积极探索证明题的途径和方法,不仅有利于学生牢固掌握所学知识,而且有利于培养学生从不同角度思考和解决问题的习惯。习题教学是学生巩固所学知识,灵活运用所学知识解决实际问题的重要途径。数学习题可分为开放性习题和封性习题。封闭性习题指条件完备、结论固定的习题,在封闭试题中要求学生进行一题多解(解法发散)训练,能很好地发展学生的发散思维,例如:求证等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高。根据题意画图形,已知△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,DE⊥AB,求证DE+DF=CG。
本题大致有3种解法:①等三角形法,作DH⊥CG,把CG分成两部分,CH、CH。易证DE=GH,只要证明了Rt△DHC≌Rt△CFD,就可以证明DE+DF=CG;②角形面积法:结AD,利用S△ABD+S△ACD=S△ABC易得到DE+DF=CG;③行线法:过C作CH//AB交ED延长线于H。在这三种解法中第一种解法是常规解法,第二种解法比较简捷突出了问题的本质,即两平行线间的距离处处相等,一题多解指一个题目可通过不同的解法获得解答,通过一题多解可以培养思维的灵活性、变通性,促进思维的提高,因此我们说,通过一题多解可以训练学生的集中思维,可以训练学生的发散思维,我们在一题多解教学中不仅要求学生用不同方法中寻求最佳解法。在进行一题多解的同时也可以进行一题多变,一法多用。例如:将上题的条件变为等边三角形结论将会是什么,将等腰三解形底边上一点改为底边延长线上一点,结论将又会怎样,相对于封闭习题,开放性习题更具有挑战性,更能激发学生积极主动探索的精神,例如有这样一道习题。
如图:PA、PB是圆O两条切线。
A、 B是切点,直线OP交⊙于点D、E交AB于C,
①图中的垂直关系有_______、_______ 、_______ 、
②图中所有的全等三角形有_______ 、_______、_______ 像这类已知条件确定而结论不固定的习题,学生应尽可能多联想到已学过的知识来确定未知的结论,解答本题要求学生联想到切线的性质,切线长的性质、等腰三角形的性质及全等三角形的有关知识,又如经过4个(或4个以上的)点是不是一定能作圆?就属于一个具有探索性的开放习题,教师引导如果能作圆,那么4个点应满足是什么条件?这样由结论确定,引发学生探讨使结论成立的条件。近年来,有的省市中考试题中出现的开放性试题,对于促进中学数学教学中培养学生发散思维起着良好的导向作用。
逆向思维则是一种重要的发散思维,它是通过变换思维角度,突破思维定势,从而获得问题的解决。历史上司马光砸缸救人,正是采用逆向思维的方法,人掉进水缸里,通常想到的办法是把人从水中拉出来,而司马光却一反常规用砸缸的方法使水离开人从而达到救人的目的。数学中运用逆向思维有时可使难解的问题轻而易举得以解决。
反证法是一种重要的证题方法,对于训练学生的逆向思维是很有用的,数学中公式、定理、法则的逆用都可以用来训练逆向思维。
二、发展学生直觉思维
创造性思维在一定意义上说,是逻辑思维和直觉思维的统一,直觉给逻辑以必要的补充,在逻辑思维受阻而中断时,直觉思维发挥作用,帮助逻辑明确前进的方向;另一方面,直觉对逻辑又存在一定的依赖性,直觉的特点在于它不能给人们提供思维的严谨性和可靠性,因而直觉又必须领先逻辑提供理论依据,直觉思维常常表现于归纳或类比之中,以及探索性演绎法之中,而归纳、类似和探索性演绎法通常是靠猜想和联想等心智活动串联起来的,因此,在教学中培养学生的猜想和联想能力对于发展学生的直觉思维是十分必要的,教学中教师既要引导学生大胆猜想,同时要求学生证明猜想的结论,这就是科学的精神。根据中学生比较普通喜欢直觉思维这一特点,教师在教学中应设法鼓励学生进行猜测。
三、培养学生的创新精神和实践能力
培养学生的创新精神和实践能力是素质教育的核心内容,又是培养创新思维能力的重要组成部分,在教学中教师要灵活运用教学方法启发学生思维,激发学生学习数学的强烈兴趣,引导学生积极探索、帮助他们在接受知识的基础上,逐步学会发现新知识,创造性获取新知识,掌握基本的解题模式和方法,教师在教学中要发扬教学民,要鼓励学生敢于质疑、敢于标新立异,如果学生提出的问题或解答的方法有创新就应当及时鼓励,要培养学生的创新精神和实践能力,必须把学生从过重的课业中解散出来,坚决摒弃题海战术,让他们接触自然,接触社会。
收稿日期:2010-01-19
一、培养学生的发散思维能力
著名的心理学家吉尔福特认为发散思维主要有三特征:流畅性、变通性、独特性。流畅性指在较短的时间内表达较多观念,它是发散思维的基础。变通性指思考能举一反三触类旁通,不易受思维定势的束缚,显示思维角度的转换;独特性是指对事物有不同寻常的独特见解,是发散思维的质的标志,只有同时具备流畅性和变通性才能产生独特的观念。数学家哈不莫斯说:数学真正的组成部分是问题和解。解题教学是数学教学的重要环节。往往可以用不同的方法证明,例如三角形的内角和定理、勾股定理有多种解法。在教学中引导学生积极探索证明题的途径和方法,不仅有利于学生牢固掌握所学知识,而且有利于培养学生从不同角度思考和解决问题的习惯。习题教学是学生巩固所学知识,灵活运用所学知识解决实际问题的重要途径。数学习题可分为开放性习题和封性习题。封闭性习题指条件完备、结论固定的习题,在封闭试题中要求学生进行一题多解(解法发散)训练,能很好地发展学生的发散思维,例如:求证等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高。根据题意画图形,已知△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,DE⊥AB,求证DE+DF=CG。
本题大致有3种解法:①等三角形法,作DH⊥CG,把CG分成两部分,CH、CH。易证DE=GH,只要证明了Rt△DHC≌Rt△CFD,就可以证明DE+DF=CG;②角形面积法:结AD,利用S△ABD+S△ACD=S△ABC易得到DE+DF=CG;③行线法:过C作CH//AB交ED延长线于H。在这三种解法中第一种解法是常规解法,第二种解法比较简捷突出了问题的本质,即两平行线间的距离处处相等,一题多解指一个题目可通过不同的解法获得解答,通过一题多解可以培养思维的灵活性、变通性,促进思维的提高,因此我们说,通过一题多解可以训练学生的集中思维,可以训练学生的发散思维,我们在一题多解教学中不仅要求学生用不同方法中寻求最佳解法。在进行一题多解的同时也可以进行一题多变,一法多用。例如:将上题的条件变为等边三角形结论将会是什么,将等腰三解形底边上一点改为底边延长线上一点,结论将又会怎样,相对于封闭习题,开放性习题更具有挑战性,更能激发学生积极主动探索的精神,例如有这样一道习题。
如图:PA、PB是圆O两条切线。
A、 B是切点,直线OP交⊙于点D、E交AB于C,
①图中的垂直关系有_______、_______ 、_______ 、
②图中所有的全等三角形有_______ 、_______、_______ 像这类已知条件确定而结论不固定的习题,学生应尽可能多联想到已学过的知识来确定未知的结论,解答本题要求学生联想到切线的性质,切线长的性质、等腰三角形的性质及全等三角形的有关知识,又如经过4个(或4个以上的)点是不是一定能作圆?就属于一个具有探索性的开放习题,教师引导如果能作圆,那么4个点应满足是什么条件?这样由结论确定,引发学生探讨使结论成立的条件。近年来,有的省市中考试题中出现的开放性试题,对于促进中学数学教学中培养学生发散思维起着良好的导向作用。
逆向思维则是一种重要的发散思维,它是通过变换思维角度,突破思维定势,从而获得问题的解决。历史上司马光砸缸救人,正是采用逆向思维的方法,人掉进水缸里,通常想到的办法是把人从水中拉出来,而司马光却一反常规用砸缸的方法使水离开人从而达到救人的目的。数学中运用逆向思维有时可使难解的问题轻而易举得以解决。
反证法是一种重要的证题方法,对于训练学生的逆向思维是很有用的,数学中公式、定理、法则的逆用都可以用来训练逆向思维。
二、发展学生直觉思维
创造性思维在一定意义上说,是逻辑思维和直觉思维的统一,直觉给逻辑以必要的补充,在逻辑思维受阻而中断时,直觉思维发挥作用,帮助逻辑明确前进的方向;另一方面,直觉对逻辑又存在一定的依赖性,直觉的特点在于它不能给人们提供思维的严谨性和可靠性,因而直觉又必须领先逻辑提供理论依据,直觉思维常常表现于归纳或类比之中,以及探索性演绎法之中,而归纳、类似和探索性演绎法通常是靠猜想和联想等心智活动串联起来的,因此,在教学中培养学生的猜想和联想能力对于发展学生的直觉思维是十分必要的,教学中教师既要引导学生大胆猜想,同时要求学生证明猜想的结论,这就是科学的精神。根据中学生比较普通喜欢直觉思维这一特点,教师在教学中应设法鼓励学生进行猜测。
三、培养学生的创新精神和实践能力
培养学生的创新精神和实践能力是素质教育的核心内容,又是培养创新思维能力的重要组成部分,在教学中教师要灵活运用教学方法启发学生思维,激发学生学习数学的强烈兴趣,引导学生积极探索、帮助他们在接受知识的基础上,逐步学会发现新知识,创造性获取新知识,掌握基本的解题模式和方法,教师在教学中要发扬教学民,要鼓励学生敢于质疑、敢于标新立异,如果学生提出的问题或解答的方法有创新就应当及时鼓励,要培养学生的创新精神和实践能力,必须把学生从过重的课业中解散出来,坚决摒弃题海战术,让他们接触自然,接触社会。
收稿日期:2010-01-19