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参数方程是曲线上点的位置的另一种表达形式，它把曲线上的点的横、纵坐标分别通过参数直接表示出来，比较清楚地指出了曲线上的点的坐标特征.在处理解析几何问题时，恰当使用参数方程，把许多相关量统一放在一个参数下，就能起到减少变量，简化结构，优化运算的作用.
例1 已知椭圆x29+y24=1，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于P（m，0），试求m的取值范围.
分析：若用常规方法求解，涉及A，B两点和线段的中点M的坐标等多个参变量，头绪繁多，需要不断进行思维转移.若引入参数，就可以减少变量个数，简化运算.
根据椭圆参数方程，设A（3cosθ，2sinθ），B（3cosφ，2sinφ）， P（m，0）.由线段垂直平分线的性质可知|PA|2=|PB|2，
于是（m-3cosθ）2+（2sinθ）2=（m-3cosφ）2+（2sinφ）2，展开整理得5（cos2θ-cos2φ）=6m（cosθ-cosφ）.
又因为AB的垂直平分线与x轴相交，故AB与y轴不平行，故cosθ≠cosφ，所以m=56（cosθ+cosφ）.对任意θ、φ，当cosθ≠cosφ时， cosθ+cosφ∈（-2，2），从而m=56（cosθ+cosφ）∈（-53，53），即m的取值范围是（-53，53）.
例2 设P是椭圆x26+y24=1上的一个动点，则x+2y的最大值是
，最小值是
.
分析：由于研究二元函数x+2y相对困难，因此有必要消元，但由x，y满足的方程x26+y24=1表示出来的x或y，会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，能否有其他途径把二元函数x+2y转化为一元函数呢？方法是利用椭圆的参数方程x26+y24=1x=6cosθ
y=2sinθ ，代入x+2y中，即可转化为以θ为变量的一元函数.
解：由椭圆的方程x26+y24=1，可设x=6cosθ，y=2sinθ，代入x+2y，得：x+2y=6cosθ+2·2sinθ=22sin（θ+φ）.
其中tanφ=64，由于-1≤sin（θ+φ）≤1，所以-22≤x+2y≤22.
所以，x+2y的最小值为-22，最大值为22.
小结：使用参数方程，是解决解析几何中求取值范围、求最值的重要策略，其优点是思路清晰，运算简捷.
例3 若圆x2+（y-a）2=4与抛物线x2=2y有公共点，求实数a的范围.
分析：由于二次曲线中的变量受到取值范围条件约束，涉及几条二次曲线公共点问题，使用参数方程往往比较严密、简捷.
解：将圆的方程化为参数方程x=2cosθ
y=2sinθ+a，代入x2=2y得
4cos2θ=4sinθ+2a，所以，a=2cos2θ-2sinθ
①
圆与抛物线有公共点转化为关于θ的方程①有实数解，
又因为a=2cos2θ-2sinθ=-2sin2θ-2sinθ+2=
-2[（sinθ+12）2-54]
因为-1≤sinθ≤1， 所以-2≤a≤52.
小结：几条二次曲线有公共点的问题，也可以采用联立方程组的方法来求解，但其中许多关系不是充要条件，很容易出现错误.此题若使用数形结合的方法也是非常困难的.此类问题使用参数方程，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数的有界性能使解答严密而又简捷.
例4 过点P（102，0）作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2=1交于点M和点N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值.
分析：由于该题结论中涉及的PM、PN均可看成直线上动点到定点的距离，联想到直线参数方程的标准形式x=x0+tcosα
y=y0+tsinα（ t是参数），|t|的几何意义就是直线上动点P（x，y）到定点P0（x0，y0）的距离.因此该题可以设出直线PM、PN的参数方程，使问题迎刃而解.
解：设直线的参数方程为x=102+tcosα
y=tsinα（t是参数），代入曲线方程并整理得
（1+sin2α）t2+（10cosα）t+32=0.
设M、N对应的参数分别为t1、t2，而由参数t的几何意义得
|PM|=t1，|PN|=t2，
则|PM|·|PN|=|t1t2|=321+sin2α.
所以，当sin2α=1，即α=π2时，|PM|·|PN|有最小值34，此时α=π2.
小结：利用直线参数方程中的参数t的几何意义，处理两线段长度的积、和、差以及平方和等问题时有着普通方程无可比拟的优越性，可使求解过程变得简洁，同学们可以多尝试.
挑战思维：
1.已知椭圆x225+y216=1的右顶点为A，上顶点为B，P是椭圆在第一象限部分上的任意一点，则四边形OABP的面积的最大值为
.
2.实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则1Smax+1Smin的值为
.
3.已知直线L：x+y-1=0与抛物线y=x2交于A、B 两点，求线段AB的长和点M（-1，2）到A、B两点的距离之积.
答案链接：
1.102.提示：设点P的坐标为（5cosα，4sinα）（其中0<α<π2），连结OP，有S四边形OAPB=S△OAP+S△OBP=12×4×5cosα+12×5×4sinα=10（sinα+cosα）=102sin（α+π4）.
因为0<α<π2 ， 所以π4<α+π4<3π4.
当α=π4时，S四边形OAPB有最大值102.
2.85.提示：由S=x2+y2>0，设x=Scosθ，
y=Ssinθ，代入4x2-5xy+4y2=5，化简整理得sin2θ=8S-105S，根据正弦函数的有界性|8S-105S|≤1，解之得1013≤S≤103，Smax=103，Smin=1013，故本题答案为85.
3.解：因为直线L过定点M，且L的倾斜角为3π4，
所以它的参数方程是x=-1+tcos3π4，
y=2+tsin3π4
（t是参数）
即x=-1-22t
y=2+22t，把它代入抛物线方程，得t2+2t-2=0，解得t1=-2-102，t2=-2+102，
由参数t的几何意义得|AB|=|t1-t2|=10，|MA|·
|MB|=|t1t2|=2.
广东省佛山市南海区九江中学 （528203）
例1 已知椭圆x29+y24=1，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于P（m，0），试求m的取值范围.
分析：若用常规方法求解，涉及A，B两点和线段的中点M的坐标等多个参变量，头绪繁多，需要不断进行思维转移.若引入参数，就可以减少变量个数，简化运算.
根据椭圆参数方程，设A（3cosθ，2sinθ），B（3cosφ，2sinφ）， P（m，0）.由线段垂直平分线的性质可知|PA|2=|PB|2，
于是（m-3cosθ）2+（2sinθ）2=（m-3cosφ）2+（2sinφ）2，展开整理得5（cos2θ-cos2φ）=6m（cosθ-cosφ）.
又因为AB的垂直平分线与x轴相交，故AB与y轴不平行，故cosθ≠cosφ，所以m=56（cosθ+cosφ）.对任意θ、φ，当cosθ≠cosφ时， cosθ+cosφ∈（-2，2），从而m=56（cosθ+cosφ）∈（-53，53），即m的取值范围是（-53，53）.
例2 设P是椭圆x26+y24=1上的一个动点，则x+2y的最大值是
，最小值是
.
分析：由于研究二元函数x+2y相对困难，因此有必要消元，但由x，y满足的方程x26+y24=1表示出来的x或y，会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，能否有其他途径把二元函数x+2y转化为一元函数呢？方法是利用椭圆的参数方程x26+y24=1x=6cosθ
y=2sinθ ，代入x+2y中，即可转化为以θ为变量的一元函数.
解：由椭圆的方程x26+y24=1，可设x=6cosθ，y=2sinθ，代入x+2y，得：x+2y=6cosθ+2·2sinθ=22sin（θ+φ）.
其中tanφ=64，由于-1≤sin（θ+φ）≤1，所以-22≤x+2y≤22.
所以，x+2y的最小值为-22，最大值为22.
小结：使用参数方程，是解决解析几何中求取值范围、求最值的重要策略，其优点是思路清晰，运算简捷.
例3 若圆x2+（y-a）2=4与抛物线x2=2y有公共点，求实数a的范围.
分析：由于二次曲线中的变量受到取值范围条件约束，涉及几条二次曲线公共点问题，使用参数方程往往比较严密、简捷.
解：将圆的方程化为参数方程x=2cosθ
y=2sinθ+a，代入x2=2y得
4cos2θ=4sinθ+2a，所以，a=2cos2θ-2sinθ
①
圆与抛物线有公共点转化为关于θ的方程①有实数解，
又因为a=2cos2θ-2sinθ=-2sin2θ-2sinθ+2=
-2[（sinθ+12）2-54]
因为-1≤sinθ≤1， 所以-2≤a≤52.
小结：几条二次曲线有公共点的问题，也可以采用联立方程组的方法来求解，但其中许多关系不是充要条件，很容易出现错误.此题若使用数形结合的方法也是非常困难的.此类问题使用参数方程，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数的有界性能使解答严密而又简捷.
例4 过点P（102，0）作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2=1交于点M和点N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值.
分析：由于该题结论中涉及的PM、PN均可看成直线上动点到定点的距离，联想到直线参数方程的标准形式x=x0+tcosα
y=y0+tsinα（ t是参数），|t|的几何意义就是直线上动点P（x，y）到定点P0（x0，y0）的距离.因此该题可以设出直线PM、PN的参数方程，使问题迎刃而解.
解：设直线的参数方程为x=102+tcosα
y=tsinα（t是参数），代入曲线方程并整理得
（1+sin2α）t2+（10cosα）t+32=0.
设M、N对应的参数分别为t1、t2，而由参数t的几何意义得
|PM|=t1，|PN|=t2，
则|PM|·|PN|=|t1t2|=321+sin2α.
所以，当sin2α=1，即α=π2时，|PM|·|PN|有最小值34，此时α=π2.
小结：利用直线参数方程中的参数t的几何意义，处理两线段长度的积、和、差以及平方和等问题时有着普通方程无可比拟的优越性，可使求解过程变得简洁，同学们可以多尝试.
挑战思维：
1.已知椭圆x225+y216=1的右顶点为A，上顶点为B，P是椭圆在第一象限部分上的任意一点，则四边形OABP的面积的最大值为
.
2.实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则1Smax+1Smin的值为
.
3.已知直线L：x+y-1=0与抛物线y=x2交于A、B 两点，求线段AB的长和点M（-1，2）到A、B两点的距离之积.
答案链接：
1.102.提示：设点P的坐标为（5cosα，4sinα）（其中0<α<π2），连结OP，有S四边形OAPB=S△OAP+S△OBP=12×4×5cosα+12×5×4sinα=10（sinα+cosα）=102sin（α+π4）.
因为0<α<π2 ， 所以π4<α+π4<3π4.
当α=π4时，S四边形OAPB有最大值102.
2.85.提示：由S=x2+y2>0，设x=Scosθ，
y=Ssinθ，代入4x2-5xy+4y2=5，化简整理得sin2θ=8S-105S，根据正弦函数的有界性|8S-105S|≤1，解之得1013≤S≤103，Smax=103，Smin=1013，故本题答案为85.
3.解：因为直线L过定点M，且L的倾斜角为3π4，
所以它的参数方程是x=-1+tcos3π4，
y=2+tsin3π4
（t是参数）
即x=-1-22t
y=2+22t，把它代入抛物线方程，得t2+2t-2=0，解得t1=-2-102，t2=-2+102，
由参数t的几何意义得|AB|=|t1-t2|=10，|MA|·
|MB|=|t1t2|=2.
广东省佛山市南海区九江中学 （528203）