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数学教育心理学（Psychology of Mathematics Education，缩写为PME）属于数学、心理学和教育学的交叉学科，侧重研究在数学课堂中，将教师的教学心理活动与学生的学习心理活动有机结合. 不少数学教育家认为，PME将是未来一段时间内数学教育的主要研究领域. 近年来，核心素养提出后，中小学及高校的一线教师、研究者从PME视角审视数学核心素养的培养并提出各种建议，也有研究者以PME视角对某些教学内容的教学设计加以改进，取得不错的效果.
一、PME视角下《运用平方差公式分解因式》教学设计的重构
笔者近期参加了一次广东省名教师工作室成员到延安市的教学交流活动，在异地教学的同课异构活动中，执教了人教版八年级上册14.3因式分解第1课时《运用平方差公式分解因式》一课. 以此课为例，探讨一下从PME视角重构教学设计的思考.
（一）上课热身：巧抛速算法，逆向思考引新知
第一次设计：你能在10秒内计算出20202-20192的结果吗？
本设计的意图是，通过抢答游戏比较常规算法和逆用平方差公式计算的简便性，调动学生上课积极性，同时引出学习公式法分解因式的必要性. 再三斟酌后发现：有学生可以脱口而出算式的得数，但未必如预设一样，能引起学生深入思考. 考虑到异地上课的学生也比较优秀，因此此设计调整如下：
第二次设计：你能在20秒内计算出1002-992 982-972 962-952 … 22-12的结果吗？
教学过程中发现：此问题能充分吸引学生的上课注意力，造成认知冲突，引发学生积极思考，但是他们很难在限定时间内回答出来，达到了热身激趣的效果，使学生产生浓厚的学习欲望，带着问题进入后续的学习环节.
（二）新课探究：精设问题链，寻求知识生长点
第一次设计：先分解因式（1）2x3-4x，（2）（a-b）2-3（a-b）;再计算（1）（a b）（a-b），（2）（x 5）（x-5），（3）（3x y）（3x-y）.
此设计的意图是先复习上节课的提公因式法，再通过计算几个有规律多项式乘法的例子，通过比较前后结果得到a2-b2=（a b）（a-b）. 试讲后发觉这样的引入方式表面上看似乎强调了整式乘法与因式分解的互逆关系，却在本质上忽视了因式分解的目的与意义，学生很容易出现“展开后分解，分解后再展开”的循环现象. 从本质上看，学生只是模仿操作，盲目被动，不明白因式分解的真正作用. 考虑到学生学习乘法公式时，借助于几何图形对公式作了直观解释，体现了代数与几何之间的内在联系和统一，能让学生更好地理解公式，因此教学设计调整如下：
第二次设计：如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，你能用含有字母a、b的式子表示出阴影部分的面积吗？
本设计的意图是，让学生通过等积法可以比较直观地得到公式. 但是磨课讨论时，发现存在两个问题.（1）用a、b表示图形的面积，只能取正值，不能和代数式中a、b的任意取值一致，逻辑上存在问题.（2）可能出现的结果比较多，课堂状态不好把握. 如果一一证明，时间不够，也冲淡了本节课的重点;如果不证明，囫囵吞枣，不足以说明结论的成立.
经过反复的磨课和工作室导师的指导，对教学设计再次作出调整.
第三次设计：在热身活动后教师以问题链的形式复习引入.
问题1：什么是因式分解？
■
学生回答因式分解的概念，课件呈现图2.
问题2：从运算的结果来看，多项式是什么运算？因式分解呢？
■
教師引导学生分析多项式是加减的形式，因式分解的结果是乘法的形式，课件呈现图3.
问题3：我们学过的因式分解有什么方法？什么条件下使用？
学生回答学过提公因式法，需要多项式各项有公因式（即相同因式）的时候可以使用，如：pa pb pc=p（a b c）.
问题4：若没有相同的因式怎么办？难不难？
如：4x2-9=？×？
教师引导分析：难. 难在式子由“加减”变形为“乘法”的形式没有现成的“工具”可以使用. 接着引导学生联想等号的作用就像天平，一边不行换另一边，转换思路尝试一下.
问题5：一个式子从“乘法”变成“加减”形式难不难？
教师引导分析：不难. 有许多的“工具”如运算法则、乘法公式等.
问题6：老师检测一下同学们的记忆力. 下边的几个式子如果给出右边，你能凭记忆写出左边的式子吗？
（1）_____=ab b2
（2）_____=6a2 3ab
（3）_____=6ab 2b2
（4）_____=a2-b2
教学中发现问题6一旦提出来，学生立即有了思维冲突，第（4）个式子学生可能可以回答上来，其他三个会感到比较困难.
教师引导分析：为什么能记住式子（4），而对其他三个感到困难？因为式子（4）的形式比较常见，从而固化成了平方差公式，接着进行平方差公式的结构特征分析.
本设计运用“问题结构”推进教学，前一个问题解决了，又自然产生新的问题，这些问题环环相扣，形成一种思维导向的结构，当所有问题都解决，运用平方差公式分解因式的意义就明确了. 教师以问题带着学生前行，学生就有了学习的目标，有了学习的动力，而且前后自然联系，在探究的过程中不断产生新的问题，这些问题吸引着学生朝着目标问题层层深入，步步推进，导向清晰，目标明确，学生获得成功的喜悦，教师也能分享其中的乐趣.
李士锜教授曾指出，学习一个数学概念、原理、法则时，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，才是真正的理解. 在前两次的设计中，对于学生来说，无论是复习回顾还是利用面积探究公式，教学活动都显得被动而生硬，甚至不知“平方差公式等号两边的换位”学有何用;在学生的心理层次方面，没有真正收获知识的成就感，在没有真正地理解与接受的前提下，被动地吸收了知识，不利于学生自身知识体系的构建与巩固. 相比之下，在 PME 理论的指导下进行的教学设计，通过灵活地设置一系列的问题链，学生对于“运用平方差公式分解因式”的理解变得合情合理、有据可依，从而有利于后继学习的拾阶而上. （三）公式应用：精讲典型例题，变式训练强认知
第一次设计：因式分解题组1：（1）x2-4;（2）9x2-4y2;（3）-4y2 9x2;（4）25x2-■y2;（5）9（m n）2-（m-n）2.
因式分解题组2：（1）x2-4;（2）2x2-8;（3）2x3-8x.
本设计题组1意在通过变系数、变符号等一系列变式训练，让学生熟练掌握a2-b2=（a b）（a-b）的分解. 题组2意在通过变式训练让学生综合掌握提公因式法和平方差公式法.
第二次设计：因式分解题组1：（1）4x2-9;（2）（x p）2-（x q）2.
因式分解题组2：（1）x4-y4;（2）a3b-ab.
本设计主要是依纲靠本，题组1侧重整体思想的渗透. 题组2侧重多次分解的训练.
根据认知负荷理论，要最大限度促进学生的学习，既要保证降低外部认知负荷，又要在学生可接受范围内最大化内部认知负荷. 因此，变式训练不是低水平的重复，不仅仅要体现题目的改变，还要顺势而为，由简单到复杂，公式中的a、b由单项式变为多项式，由“直接运用平方差公式分解”到“結合式子特征灵活选用分解方法”，这样才能更好地提升思维水平. 故再次将教学设计进行修改，如下为第三次设计：
1. 因式分解题组1：（1）4x2-9;（2）（x p）2-（x q）2.
2. 因式分解题组2：（1）mx4-my4;（2）2a3b-8ab.
3. 速算解疑. 你能在20秒内计算出1002-992 982-972 962-952 … 22-12的结果吗？
本设计中，前两部分的分解因式，在课本原例题的基础上改变了系数，有的是增加了字母系数，有的是增加了数字系数，使得题目并不是直接使用平方差公式进行因式分解. 这样调整后，学生的认识就不只是停留在单一记忆和机械掌握的水平，而是以主动积极的心态投入有意义的数学学习之中，以整体综合的方式把握因式分解的方法，培养了学生判断与选择的自觉意识，有利于提高学生整体综合和灵活敏捷的思维品质.
第三部分，回应了课前热身活动的速算题. 学生学习了本节内容后，容易看出原题实际是由若干组平方差式子构成的，运用公式分解因式便能速算得到结果，前后呼应有助于学生体会学以致用的喜悦.
（四）拓展提高：增纵横联系，多重表征促理解
第一次设计：如图（前文图1所示），在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，你能用含有用字母a、b的式子表示出阴影部分的面积吗？
在现代认知心理学中，知识在学习者头脑中的呈现和表达方式称为知识的表征. 对于公式的表征方式一般有3种：由字母符号组成的表达式，文字语言的表述，图形语言. 一般而言，学生对公式的表征更倾向于选择表达式的方式. 如能让学生学会用不同方式表征一个公式，则能促其深层次地理解公式的内涵本质. 本设计旨在让学生通过几何方法验证平方差公式的合理性，借助几何图形与数形结合思想，对公式再次表征，加深学生对公式的理解.
除此之外，拓展环节还应帮助学生建立知识之间的横向纵向联系，要让学生看到树木之余，更要让其看到森林，这样才能促其建立整体的学习观. 考虑到与后继知识的联系，可增加通过分解因式可解的三次方程.
第二次设计：
拓展活动1：你会解下面的方程吗？
2x3-8x=0
拓展活动2：如图（前文图1所示），在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，你能用含有用字母a、b的式子表示出阴影部分的面积吗？
本设计增加了解高次方程环节. 这样调整更能凸显通过因式分解实现多项式“降次”的作用，突出了因式分解知识与其他数学知识之间的内在的联系. 教师教学看问题的层次越高，就越有利于学生在知识学习过程中的整体感悟与灵活运用. 拓展活动2可让学生从几何角度体会公式含义，可用多种割补方法表示面积，此活动不一定能在课堂上完成，但是教学留有余地，犹如一个省略号，给学生自由发挥的空间，或能让课堂意犹未尽.
二、教学反思
公式的教学过程，对教师而言，把公式的学术形态转化为教育形态的实施过程;对于学生而言，则是借助经验、方法，将原有的认知结构同化为新公式的过程. 综观本节课的磨课与教学过程，笔者从一开始着眼于一节课、一个知识点、一种方法、一组练习的教学效果，简单生硬地引入，到从学生学习的角度出发，分析怎样由提公因式自然地联想到平方差公式，整体设计强调了对数学知识的单元递进教学;从最初设计时的学生反复机械练习，到正式上课时采用“问题导学法”，遵循“以学生为主体，以教师为主导，以数学活动为主线”的指导思想，深度挖掘纵向知识间的联系，提升学生思维. 这样重构设计，让教学的层次产生了质的变化. 同时，整个教学设计更加注重学生学习积极性与好奇心的调动，注重让学生内化、体悟，充分暴露思维过程，引导学生一步步地去思考、表达，促其提升数学素养.
关注教与学的心理活动，更加有利于学习质效的提升，这是不少教师的共识. 跨学科的研究未来教育趋势，PME正是研究的一个极佳视角，数学教师不妨多作尝试，将其渗透到更多的教学活动中.
注：本文系2019年广州市教育研究院课题“运用西蒙数学理论提高初中派位生核心素养的研究”（课题编号：GZJYTY2019—035）阶段性成果.
责任编辑 罗 峰
一、PME视角下《运用平方差公式分解因式》教学设计的重构
笔者近期参加了一次广东省名教师工作室成员到延安市的教学交流活动，在异地教学的同课异构活动中，执教了人教版八年级上册14.3因式分解第1课时《运用平方差公式分解因式》一课. 以此课为例，探讨一下从PME视角重构教学设计的思考.
（一）上课热身：巧抛速算法，逆向思考引新知
第一次设计：你能在10秒内计算出20202-20192的结果吗？
本设计的意图是，通过抢答游戏比较常规算法和逆用平方差公式计算的简便性，调动学生上课积极性，同时引出学习公式法分解因式的必要性. 再三斟酌后发现：有学生可以脱口而出算式的得数，但未必如预设一样，能引起学生深入思考. 考虑到异地上课的学生也比较优秀，因此此设计调整如下：
第二次设计：你能在20秒内计算出1002-992 982-972 962-952 … 22-12的结果吗？
教学过程中发现：此问题能充分吸引学生的上课注意力，造成认知冲突，引发学生积极思考，但是他们很难在限定时间内回答出来，达到了热身激趣的效果，使学生产生浓厚的学习欲望，带着问题进入后续的学习环节.
（二）新课探究：精设问题链，寻求知识生长点
第一次设计：先分解因式（1）2x3-4x，（2）（a-b）2-3（a-b）;再计算（1）（a b）（a-b），（2）（x 5）（x-5），（3）（3x y）（3x-y）.
此设计的意图是先复习上节课的提公因式法，再通过计算几个有规律多项式乘法的例子，通过比较前后结果得到a2-b2=（a b）（a-b）. 试讲后发觉这样的引入方式表面上看似乎强调了整式乘法与因式分解的互逆关系，却在本质上忽视了因式分解的目的与意义，学生很容易出现“展开后分解，分解后再展开”的循环现象. 从本质上看，学生只是模仿操作，盲目被动，不明白因式分解的真正作用. 考虑到学生学习乘法公式时，借助于几何图形对公式作了直观解释，体现了代数与几何之间的内在联系和统一，能让学生更好地理解公式，因此教学设计调整如下：
第二次设计：如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，你能用含有字母a、b的式子表示出阴影部分的面积吗？
本设计的意图是，让学生通过等积法可以比较直观地得到公式. 但是磨课讨论时，发现存在两个问题.（1）用a、b表示图形的面积，只能取正值，不能和代数式中a、b的任意取值一致，逻辑上存在问题.（2）可能出现的结果比较多，课堂状态不好把握. 如果一一证明，时间不够，也冲淡了本节课的重点;如果不证明，囫囵吞枣，不足以说明结论的成立.
经过反复的磨课和工作室导师的指导，对教学设计再次作出调整.
第三次设计：在热身活动后教师以问题链的形式复习引入.
问题1：什么是因式分解？
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学生回答因式分解的概念，课件呈现图2.
问题2：从运算的结果来看，多项式是什么运算？因式分解呢？
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教師引导学生分析多项式是加减的形式，因式分解的结果是乘法的形式，课件呈现图3.
问题3：我们学过的因式分解有什么方法？什么条件下使用？
学生回答学过提公因式法，需要多项式各项有公因式（即相同因式）的时候可以使用，如：pa pb pc=p（a b c）.
问题4：若没有相同的因式怎么办？难不难？
如：4x2-9=？×？
教师引导分析：难. 难在式子由“加减”变形为“乘法”的形式没有现成的“工具”可以使用. 接着引导学生联想等号的作用就像天平，一边不行换另一边，转换思路尝试一下.
问题5：一个式子从“乘法”变成“加减”形式难不难？
教师引导分析：不难. 有许多的“工具”如运算法则、乘法公式等.
问题6：老师检测一下同学们的记忆力. 下边的几个式子如果给出右边，你能凭记忆写出左边的式子吗？
（1）_____=ab b2
（2）_____=6a2 3ab
（3）_____=6ab 2b2
（4）_____=a2-b2
教学中发现问题6一旦提出来，学生立即有了思维冲突，第（4）个式子学生可能可以回答上来，其他三个会感到比较困难.
教师引导分析：为什么能记住式子（4），而对其他三个感到困难？因为式子（4）的形式比较常见，从而固化成了平方差公式，接着进行平方差公式的结构特征分析.
本设计运用“问题结构”推进教学，前一个问题解决了，又自然产生新的问题，这些问题环环相扣，形成一种思维导向的结构，当所有问题都解决，运用平方差公式分解因式的意义就明确了. 教师以问题带着学生前行，学生就有了学习的目标，有了学习的动力，而且前后自然联系，在探究的过程中不断产生新的问题，这些问题吸引着学生朝着目标问题层层深入，步步推进，导向清晰，目标明确，学生获得成功的喜悦，教师也能分享其中的乐趣.
李士锜教授曾指出，学习一个数学概念、原理、法则时，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，才是真正的理解. 在前两次的设计中，对于学生来说，无论是复习回顾还是利用面积探究公式，教学活动都显得被动而生硬，甚至不知“平方差公式等号两边的换位”学有何用;在学生的心理层次方面，没有真正收获知识的成就感，在没有真正地理解与接受的前提下，被动地吸收了知识，不利于学生自身知识体系的构建与巩固. 相比之下，在 PME 理论的指导下进行的教学设计，通过灵活地设置一系列的问题链，学生对于“运用平方差公式分解因式”的理解变得合情合理、有据可依，从而有利于后继学习的拾阶而上. （三）公式应用：精讲典型例题，变式训练强认知
第一次设计：因式分解题组1：（1）x2-4;（2）9x2-4y2;（3）-4y2 9x2;（4）25x2-■y2;（5）9（m n）2-（m-n）2.
因式分解题组2：（1）x2-4;（2）2x2-8;（3）2x3-8x.
本设计题组1意在通过变系数、变符号等一系列变式训练，让学生熟练掌握a2-b2=（a b）（a-b）的分解. 题组2意在通过变式训练让学生综合掌握提公因式法和平方差公式法.
第二次设计：因式分解题组1：（1）4x2-9;（2）（x p）2-（x q）2.
因式分解题组2：（1）x4-y4;（2）a3b-ab.
本设计主要是依纲靠本，题组1侧重整体思想的渗透. 题组2侧重多次分解的训练.
根据认知负荷理论，要最大限度促进学生的学习，既要保证降低外部认知负荷，又要在学生可接受范围内最大化内部认知负荷. 因此，变式训练不是低水平的重复，不仅仅要体现题目的改变，还要顺势而为，由简单到复杂，公式中的a、b由单项式变为多项式，由“直接运用平方差公式分解”到“結合式子特征灵活选用分解方法”，这样才能更好地提升思维水平. 故再次将教学设计进行修改，如下为第三次设计：
1. 因式分解题组1：（1）4x2-9;（2）（x p）2-（x q）2.
2. 因式分解题组2：（1）mx4-my4;（2）2a3b-8ab.
3. 速算解疑. 你能在20秒内计算出1002-992 982-972 962-952 … 22-12的结果吗？
本设计中，前两部分的分解因式，在课本原例题的基础上改变了系数，有的是增加了字母系数，有的是增加了数字系数，使得题目并不是直接使用平方差公式进行因式分解. 这样调整后，学生的认识就不只是停留在单一记忆和机械掌握的水平，而是以主动积极的心态投入有意义的数学学习之中，以整体综合的方式把握因式分解的方法，培养了学生判断与选择的自觉意识，有利于提高学生整体综合和灵活敏捷的思维品质.
第三部分，回应了课前热身活动的速算题. 学生学习了本节内容后，容易看出原题实际是由若干组平方差式子构成的，运用公式分解因式便能速算得到结果，前后呼应有助于学生体会学以致用的喜悦.
（四）拓展提高：增纵横联系，多重表征促理解
第一次设计：如图（前文图1所示），在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，你能用含有用字母a、b的式子表示出阴影部分的面积吗？
在现代认知心理学中，知识在学习者头脑中的呈现和表达方式称为知识的表征. 对于公式的表征方式一般有3种：由字母符号组成的表达式，文字语言的表述，图形语言. 一般而言，学生对公式的表征更倾向于选择表达式的方式. 如能让学生学会用不同方式表征一个公式，则能促其深层次地理解公式的内涵本质. 本设计旨在让学生通过几何方法验证平方差公式的合理性，借助几何图形与数形结合思想，对公式再次表征，加深学生对公式的理解.
除此之外，拓展环节还应帮助学生建立知识之间的横向纵向联系，要让学生看到树木之余，更要让其看到森林，这样才能促其建立整体的学习观. 考虑到与后继知识的联系，可增加通过分解因式可解的三次方程.
第二次设计：
拓展活动1：你会解下面的方程吗？
2x3-8x=0
拓展活动2：如图（前文图1所示），在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，你能用含有用字母a、b的式子表示出阴影部分的面积吗？
本设计增加了解高次方程环节. 这样调整更能凸显通过因式分解实现多项式“降次”的作用，突出了因式分解知识与其他数学知识之间的内在的联系. 教师教学看问题的层次越高，就越有利于学生在知识学习过程中的整体感悟与灵活运用. 拓展活动2可让学生从几何角度体会公式含义，可用多种割补方法表示面积，此活动不一定能在课堂上完成，但是教学留有余地，犹如一个省略号，给学生自由发挥的空间，或能让课堂意犹未尽.
二、教学反思
公式的教学过程，对教师而言，把公式的学术形态转化为教育形态的实施过程;对于学生而言，则是借助经验、方法，将原有的认知结构同化为新公式的过程. 综观本节课的磨课与教学过程，笔者从一开始着眼于一节课、一个知识点、一种方法、一组练习的教学效果，简单生硬地引入，到从学生学习的角度出发，分析怎样由提公因式自然地联想到平方差公式，整体设计强调了对数学知识的单元递进教学;从最初设计时的学生反复机械练习，到正式上课时采用“问题导学法”，遵循“以学生为主体，以教师为主导，以数学活动为主线”的指导思想，深度挖掘纵向知识间的联系，提升学生思维. 这样重构设计，让教学的层次产生了质的变化. 同时，整个教学设计更加注重学生学习积极性与好奇心的调动，注重让学生内化、体悟，充分暴露思维过程，引导学生一步步地去思考、表达，促其提升数学素养.
关注教与学的心理活动，更加有利于学习质效的提升，这是不少教师的共识. 跨学科的研究未来教育趋势，PME正是研究的一个极佳视角，数学教师不妨多作尝试，将其渗透到更多的教学活动中.
注：本文系2019年广州市教育研究院课题“运用西蒙数学理论提高初中派位生核心素养的研究”（课题编号：GZJYTY2019—035）阶段性成果.
责任编辑 罗 峰