《几何图形初步》中蕴含的思想方法例析

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  数学思想是数学知识的灵魂,是解决数学问题的武器.恰当地运用数学思想方法,不但能提高学生的解题效率,还能提高学生的思维能力.因此,在数学学习中同学们要学会提炼和总结数学思想方法.《几何图形初步》一章中蕴含着许多的数学思想,同学们在小结时除了要掌握基本的知识外,还要学会运用数学思想解题.为此下面对本章的数学思想归纳如下,供同学们参考和选用.
  一、数形结合思想
  数形结合思想是数学解题中常用的思想方法,数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化,能够使同学们变抽象思维为形象思维,有助于同学们把握数学问题的本质.由于使用了数形结合思想,很多问题便可以迎刃而解,且解法简捷.
  例1 同学们去公路旁植树,每隔3米植一棵树,问在21米长的公路旁最多可植几棵树?
  分析:你可能会脱口说出:三七二十一,可植树7棵,那就错了!如果结合图形来解决问题就很直观了.
  解:如图1所示,可植树8棵.
  点评:解决本题要注意考虑线段的端点,否则容易出错.
  二、方程思想
  所谓方程思想,就是通过列方程或方程组(下学期我们将学习方程组)来解决问题的一种思想方法,特别是在解决某些几何问题时,运用方程思想往往可使问题的解决变得简便.
  例2 如图2,点D、E在线段AB上,且都在AB中点的同侧,点D分AB为2:5两部分,点E分AB为4:5两部分,若DE=5cm,求AB的长.
  例3 若两个角的度数之比是3∶4,它们的差是25°,求这两个角.
  分析:根据题意可设每份角为x度,于是两个角分别为3x度和4x度,从而由条件“差是25°”得到方程,解方程可求出两个角的度数.
  解:设每份角为x度,可得两个角分别为3x度和4x度,则列方程为4x-3x=25.
  解得x=25.所以3x=75,4x=100.
  所以这两个角的度数分别为75°、100°.
  点评:遇到比例问题时可以通过设未知数,列方程解决问题.
  三、整体思想
  整体思想就是根据问题的整体结构特征,从整体上去解决问题的一种重要的思想方法.
  例4 如图3所示,线段AB=4,点O是线段AB上一点,C、D分别是线段OA、OB的中点,求线段CD的长.
  分析:虽然通过已知条件不能求出线段OC、OD的具体长度,但可以把OC+OD作为整体进行求解.
  四、分类思想
  所谓分类思想,就是根据事物的共性和差异性的特点,分别归类,然后逐一去研究解决.在运用分类思想解决问题时,应明确分类的标准,做到不重不漏.
  例6 已知线段AB=8cm,在直线AB上有一点C,且BC=3cm,求线段AC的长.
  分析:题目的条件只是告诉我们A、B、C三点在一条直线上,但不能判断点C是在线段AB的延长线上,还是在线段AB上,所以要分类讨论解决问题.
  解:有两种情形:
  (1)当点C在线段AB的延长线时,如图5,AC=AB+BC=8+3=11(cm);
  (2)当点C在线段AB上时,如图6,AC=AB-BC=8-3=5(cm).
  所以线段AC的长为11cm或5cm.
  例7 OC平分∠AOB,OD是∠BOC内的一条三等份线,试问∠AOB是∠COD的几倍?
  分析:由于∠BOC的三等份线有两条,因此要分类讨论.
  故∠AOB是∠COD的6倍或3倍.
  点评:本题由于没有明确∠BOC内的一条三等份线OD是指靠近边OC还是边OB,因此要分类讨论求解.
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