1．二次函数[y＝ax2＋bx＋c]的图象和性质
　　（1）当[a＞0]时，函数[y＝ax2＋bx＋c]图象开口向上；顶点坐标为[(-b2a,4ac-b24a)]，对称轴为直线[x＝-b2a].当[x＜-b2a]时，[y]随着[x]的增大而减小；当[x＞-b2a]时，[y]随着[x]的增大而增大；当[x＝][-b2a]时，函数取最小值[y＝4ac-b24a]．
　　（2）当[a＜0]时，函数[y＝ax2＋bx＋c]图象开口向下；顶点坐标为[(-b2a,4ac-b24a)]，对称轴为直线[x＝－b2a].当[x＜-b2a]时，[y]随着[x]的增大而增大；当[x＞-b2a]时，[y]随着[x]的增大而减小；当[x＝-b2a]时，函数取最大值[y＝4ac-b24a]．
　　二次函数[y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)]中，[a]决定了二次函数图象的开口大小及方向；[h]决定了二次函数图象的左右平移，而且“[h]正左移，[h]负右移”；[k]决定了二次函数图象的上下平移，而且“[k]正上移，[k]负下移”．
　　例1已知函数[y＝x2]，[－2≤x≤a]，其中[a≥－2]，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量[x]的值．
　　分析本题中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对[a]的取值进行讨论．
　　解（1）当[a＝-2]时，函数[y＝x2]的图象仅仅对应着一个点（－2，4），所以，函数的最大值和最小值都是4，此时[x＝－2].
　　（2）当[－2＜a＜0]时，由图①可知，当[x＝－2]时，函数取最大值[y＝4]；当[x＝a]时，函数取最小值[y＝a2].
　　[①]
　　（3）当0≤[a]＜2时，由图②可知，当[x＝-2]时，函数取最大值[y＝4]；当[x＝0]时，函数取最小值[y＝0].
　　[②]
　　（4）当[a≥2]时，由图③可知，当[x＝a]时，函数取最大值[y＝a2]；当[x＝0]时，函数取最小值[y＝0]．
　　[③]
　　点评本题利用了分类讨论的方法，对[a]的所有可能情形进行讨论. 此外，本题所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，借助于函数图象更直观．
　　
　　2．二次函数的三种表达形式
　　二次函数通常可以表示成以下三种形式：
　　（1）一般式：[y＝ax2＋bx＋c(a≠0)]；
　　（2）顶点式：[y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)]，其中顶点坐标是[(－h，k)]；
　　（3）交点式：[y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)]，其中[x1、x2]是二次函数图象与[x]轴交点的横坐标．
　　今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．
　　探究二次函数的一般式、顶点式、交点式的适用条件分别是什么？
　　例2已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到[x]轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
　　分析一由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与[x]轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
　　解法一∵二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），
　　∴可设二次函数为[y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)]，
　　展开得[y＝ax2＋2ax－3a]，
　　顶点的纵坐标为 [-12a2-4a24a=-4a].
　　∵二次函数图象的顶点到[x]轴的距离2，
　　∴[|－4a|＝2]，即[a＝±12]．
　　∴二次函数的表达式为[y＝12x2+x-32]或[y＝－12x2-x+32]．
　　分析二由于二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），所以，对称轴为直线[x＝－1]，又由顶点到[x]轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点（－3，0）或（1，0），就可以求得函数的表达式．
　　解法二∵二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），∴对称轴为直线[x＝－1]．
　　又顶点到[x]轴的距离为2，
　　∴顶点的纵坐标为2或－2．
　　于是可设二次函数为[y＝a(x＋1)2＋2]或[y＝a(x＋1)2－2]，
　　由于函数图象过点（1，0），
　　∴[a(1＋1)2＋2=0]或[a(1＋1)2－2=0]．
　　∴[a＝－12]或[a＝12]．
　　所以，所求的二次函数的表达式为[y＝－12(x＋1)2＋2]或[y＝12(x＋1)2－2]．
　　点评上述两种解法分别从与[x]轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．