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平均数是小学统计内容中的重要概念，在教学中备受关注。在我国人教实验版教材中，平均数的内容安排在三年级下册，2011版课程标准颁布后，修订版教材安排在四年级下册。美国加州小学数学教材中（California Mathematics），平均数内容安排在五年级和六年级。为了更好地了解两国小学数学教材平均数内容的编排，本文选择我国人教修订版和美国加州版小学数学教材对平均数概念进行比较，以期对我国小学数学教学有所启示。
一、两国教材平均数概念的比较
1.平均数的引入。
两国教材都采用问题情境引入平均数。我国教材给出一个小队中四个小朋友收集的矿泉水瓶数量分别为14、12、11、15，问平均每人收集了多少个？教材中通过把数量较多的14瓶分1瓶到12瓶，15瓶分2瓶到11瓶，直观看出平均每人收集了13瓶。也就相当于，把该小队收集的矿泉水瓶平均分成4份，即（14+12+11+15）÷4=52÷4=13。
美国加州五年级教材中，把五天降雪的厚度用立方体直观地表示出来（如下图），要求学生动手移动立方体，使得每堆立方体的数量相同，并回答下面两个问题：
问题一：这五天平均每天降雪的厚度是多少？你是怎样移动立方体得出结果的？
问题二：如果第六天的降雪厚度是 9 英尺，那么這六天平均每天降雪的厚度又是多少？
图1 五天降雪的厚度
美国教材更强调学生的动手操作（Hands-on Mini Lab），首先采用“移多补少”的方法直观引入平均数，之后再给出平均数的定义：一组数据的平均数是这组数据之和除以数据个数。最后，解答五天降雪的平均厚度是：（4+3+5+1+2）÷5=3。我国教材利用生活情境引入平均数，但没有给出平均数的定义，而是通过以境会意，自己理解平均数的意蕴。
2.平均数的计算。
我国教材除了上述计算矿泉水瓶的平均数外，还给出了另外一个情境问题：男生和女生踢毽比赛，男生5人，女生4人，在两队人数不等的情况下，需要用平均数表示各队的成绩才公平。这个问题给出了平均数的计算方法，即数据之和除以个数，此外，还强调了平均数的使用条件。
美国教材对于如何求平均数，明确给出了两种方法：第一种方法采用“移多补少”的图示法，见下图；第二种方法采用定义法。
图2 移多补少图示法
由此可见，美国教材更强调平均数的直观计算方法，与平均数引入衔接较好。我国教材虽然在引入部分体现了“移多补少”的思想，但没有明确指出其意蕴，在后续的计算中也对此重视不够。
3.平均数意义的理解。
我国实验版教材中指出，平均数能较好地反映一组数据的总体情况，但修订版教材中没有明确给出平均数的意义，而是通过后面的练习和习题来加强学生对平均数概念的理解，这主要表现在以下几个方面：一组数据中的每一个数据不一定都等于平均数；数据可能大于平均数，也可能小于平均数；两组数据的平均数大小并不代表这两组数据中单个数据的大小。典型问题如下：一个水池的平均水深1.1m，李兵身高1.4m，下去游泳没有危险，他说的对吗？
美国教材给出了极端值的概念，即一组数据中与其余数据差异很大的数据，并强调极端值对平均数的影响。典型例子如下：周一至周五的最高气温分别是80、81、60、77和82（°F），识别这组数据的极端值，求出有极端值和无极端值时的平均数，说明极端值是如何影响平均数的。通过比较看出，60相对很小，是极端值。含有极端值的平均数是：（80+81+60+77+82）÷5=76，不含极端值的平均数是：（80+81+77+82）÷4=80。因此，含有极端值的平均数除一个数据之外，小于其余的所有数据；不含极端值的平均数能更好地代表这组数据。
可见，两国教材对平均数意义的编排采用了不同的途径。美国教材借助于极端值来强化平均数的意义。平均数对极端值比较敏感，而中位数比平均数更稳健（稳健性用于描述对极端值的不敏感性）。我国小学教材通过设置练习题来加强对平均数意义的理解，在修订版小学教材中没有中位数的概念，直至八年级学习中位数时才出现极端值。
4.平均数与其他概念的联系。
我国实验版教材五年级上册安排中位数内容，五年级下册是众数内容，修订版教材删去了这两部分，直至八年级才学习加权平均数、中位数和众数，因此，我国教材中平均数概念是孤立的，与其他概念割裂开，没有形成集中趋势的一个整体。美国小学数学五年级教材在学习了平均数这一章之后，紧接着下一章学习中位数、众数和极值，并在六年级学习“集中趋势的统计量”。在这部分，教材复习了平均数、中位数和众数的计算，概述了三个统计量特点、适用范围，以及在不同情境中的选择使用。可见，美国教材把集中趋势的三个统计量作为一个整体学习，能够更深刻理解平均数概念。
典型例题：某班学生一次数学考试的分数如图所示，问平均数、中位数和众数中哪个最能代表这次考试的成绩？通过计算得到，平均数为83，中位数81.5，众数89，因此，平均数或者中位数都能代表这次考试学生的成绩。
图3 某班学生数学考试分数统计
二、对我国小学数学教学的启示
1.渗透“移多补少”的思想。
我国《九章算术》中提出了“减多益少”的思想，如方田章第6题：今有三分之一，三分之二，四分之三。问：减多益少，各几何而平？该题采用的方法称为平分术，即当各个分数参差不齐时，为使它们齐等，可减那个分数所多的部分，增益这个分数所少的部分。
蔡金法考查学生对平均数概念理解时，经常使用一个帽子平均数问题：一商店出售帽子，下图列出了该商店在前三个星期售出的帽子数。这家商店在第四个星期应该卖掉多少顶帽子，才能使售出帽子的平均数为7？
图4 帽子平均数问题 这是一道考查学生对平均数概念理解的典型题目，要求学生根据图表中已知的前三个数字和四个数字的平均数，求出第四个未知的数。为了解决这个问题，学生不能直接使用“把它们相加然后相除”的求平均数的运算法则。对该问题的正确解答要求对运算法则有一个灵活的、可逆的运用，必须凭借对平均数概念的理解来解答这道题。
蔡金法通过对中美学生解答该题的研究发现，中国学生采用代数方法的人数较多，而采用“移多补少”图形表征的方法则比美国学生少，究其原因，可能与我们的教材编写有一定的關系。因此，我国平均数概念教学中，教师要明确提出“移多补少”的思想方法，并在具体情境中运用。
2.理解平均数的代表性。
在历史上，平均数首先是作为数据的代表出现。公元4世纪，在古印度有一个估计果树上树叶和果实数目的故事：
一棵枝叶茂盛的大树长有两条大的树枝，Rtuparna需要估计这两条树枝上树叶和果实的数目。他首先估计了根部的一条细枝上树叶和果实的数目，然后乘以树枝上所有细枝的数目，得到估计值为2095。经过一夜的计数，证明Rtuparna的估计十分接近实际的数目。
在这个例子中，尽管我们不能确定Rtuparna如何选择细枝，但可以猜想他可能选择了一条平均大小的细枝，因为所选的细枝代表了其余的所有细枝，其树叶和果实数量处于“中间”位置，应该不是太多，也不可能太少，否则所得总数将会变得太大或太小。平均大小的细枝具有代表性，这可能是算术平均数的直觉使用即选择枝条上树叶和果实数量的一个代表值，再乘以枝条的数目，便得总数。这个例子启发我们，教师在教学中要培养学生对平均数的直觉能力，只有在学生已经发展了代表性的思想之后，才教给他们平均数的计算方法，而不是让学生掌握了平均数的计算公式以后，再来理解平均数的代表性。
平均数重要的不是它们的定义和作为代数公式的运算程序，而是它们所包含的统计意义。我国教材中淡化平均数的定义，注重对平均数意义的理解，但忽视了平均数作为数据代表的认识，教材中仅从微观上让学生理解平均数的意义，而缺乏宏观认识，由于没有引入中位数和众数的概念，因此平均数的理解是不完整的，在这种情况下，在教学中让学生知道平均数是一组数据的代表不可或缺。
◇责任编辑：徐新亮◇
xinliang1314@sina.com
一、两国教材平均数概念的比较
1.平均数的引入。
两国教材都采用问题情境引入平均数。我国教材给出一个小队中四个小朋友收集的矿泉水瓶数量分别为14、12、11、15，问平均每人收集了多少个？教材中通过把数量较多的14瓶分1瓶到12瓶，15瓶分2瓶到11瓶，直观看出平均每人收集了13瓶。也就相当于，把该小队收集的矿泉水瓶平均分成4份，即（14+12+11+15）÷4=52÷4=13。
美国加州五年级教材中，把五天降雪的厚度用立方体直观地表示出来（如下图），要求学生动手移动立方体，使得每堆立方体的数量相同，并回答下面两个问题：
问题一：这五天平均每天降雪的厚度是多少？你是怎样移动立方体得出结果的？
问题二：如果第六天的降雪厚度是 9 英尺，那么這六天平均每天降雪的厚度又是多少？
图1 五天降雪的厚度
美国教材更强调学生的动手操作（Hands-on Mini Lab），首先采用“移多补少”的方法直观引入平均数，之后再给出平均数的定义：一组数据的平均数是这组数据之和除以数据个数。最后，解答五天降雪的平均厚度是：（4+3+5+1+2）÷5=3。我国教材利用生活情境引入平均数，但没有给出平均数的定义，而是通过以境会意，自己理解平均数的意蕴。
2.平均数的计算。
我国教材除了上述计算矿泉水瓶的平均数外，还给出了另外一个情境问题：男生和女生踢毽比赛，男生5人，女生4人，在两队人数不等的情况下，需要用平均数表示各队的成绩才公平。这个问题给出了平均数的计算方法，即数据之和除以个数，此外，还强调了平均数的使用条件。
美国教材对于如何求平均数，明确给出了两种方法：第一种方法采用“移多补少”的图示法，见下图；第二种方法采用定义法。
图2 移多补少图示法
由此可见，美国教材更强调平均数的直观计算方法，与平均数引入衔接较好。我国教材虽然在引入部分体现了“移多补少”的思想，但没有明确指出其意蕴，在后续的计算中也对此重视不够。
3.平均数意义的理解。
我国实验版教材中指出，平均数能较好地反映一组数据的总体情况，但修订版教材中没有明确给出平均数的意义，而是通过后面的练习和习题来加强学生对平均数概念的理解，这主要表现在以下几个方面：一组数据中的每一个数据不一定都等于平均数；数据可能大于平均数，也可能小于平均数；两组数据的平均数大小并不代表这两组数据中单个数据的大小。典型问题如下：一个水池的平均水深1.1m，李兵身高1.4m，下去游泳没有危险，他说的对吗？
美国教材给出了极端值的概念，即一组数据中与其余数据差异很大的数据，并强调极端值对平均数的影响。典型例子如下：周一至周五的最高气温分别是80、81、60、77和82（°F），识别这组数据的极端值，求出有极端值和无极端值时的平均数，说明极端值是如何影响平均数的。通过比较看出，60相对很小，是极端值。含有极端值的平均数是：（80+81+60+77+82）÷5=76，不含极端值的平均数是：（80+81+77+82）÷4=80。因此，含有极端值的平均数除一个数据之外，小于其余的所有数据；不含极端值的平均数能更好地代表这组数据。
可见，两国教材对平均数意义的编排采用了不同的途径。美国教材借助于极端值来强化平均数的意义。平均数对极端值比较敏感，而中位数比平均数更稳健（稳健性用于描述对极端值的不敏感性）。我国小学教材通过设置练习题来加强对平均数意义的理解，在修订版小学教材中没有中位数的概念，直至八年级学习中位数时才出现极端值。
4.平均数与其他概念的联系。
我国实验版教材五年级上册安排中位数内容，五年级下册是众数内容，修订版教材删去了这两部分，直至八年级才学习加权平均数、中位数和众数，因此，我国教材中平均数概念是孤立的，与其他概念割裂开，没有形成集中趋势的一个整体。美国小学数学五年级教材在学习了平均数这一章之后，紧接着下一章学习中位数、众数和极值，并在六年级学习“集中趋势的统计量”。在这部分，教材复习了平均数、中位数和众数的计算，概述了三个统计量特点、适用范围，以及在不同情境中的选择使用。可见，美国教材把集中趋势的三个统计量作为一个整体学习，能够更深刻理解平均数概念。
典型例题：某班学生一次数学考试的分数如图所示，问平均数、中位数和众数中哪个最能代表这次考试的成绩？通过计算得到，平均数为83，中位数81.5，众数89，因此，平均数或者中位数都能代表这次考试学生的成绩。
图3 某班学生数学考试分数统计
二、对我国小学数学教学的启示
1.渗透“移多补少”的思想。
我国《九章算术》中提出了“减多益少”的思想，如方田章第6题：今有三分之一，三分之二，四分之三。问：减多益少，各几何而平？该题采用的方法称为平分术，即当各个分数参差不齐时，为使它们齐等，可减那个分数所多的部分，增益这个分数所少的部分。
蔡金法考查学生对平均数概念理解时，经常使用一个帽子平均数问题：一商店出售帽子，下图列出了该商店在前三个星期售出的帽子数。这家商店在第四个星期应该卖掉多少顶帽子，才能使售出帽子的平均数为7？
图4 帽子平均数问题 这是一道考查学生对平均数概念理解的典型题目，要求学生根据图表中已知的前三个数字和四个数字的平均数，求出第四个未知的数。为了解决这个问题，学生不能直接使用“把它们相加然后相除”的求平均数的运算法则。对该问题的正确解答要求对运算法则有一个灵活的、可逆的运用，必须凭借对平均数概念的理解来解答这道题。
蔡金法通过对中美学生解答该题的研究发现，中国学生采用代数方法的人数较多，而采用“移多补少”图形表征的方法则比美国学生少，究其原因，可能与我们的教材编写有一定的關系。因此，我国平均数概念教学中，教师要明确提出“移多补少”的思想方法，并在具体情境中运用。
2.理解平均数的代表性。
在历史上，平均数首先是作为数据的代表出现。公元4世纪，在古印度有一个估计果树上树叶和果实数目的故事：
一棵枝叶茂盛的大树长有两条大的树枝，Rtuparna需要估计这两条树枝上树叶和果实的数目。他首先估计了根部的一条细枝上树叶和果实的数目，然后乘以树枝上所有细枝的数目，得到估计值为2095。经过一夜的计数，证明Rtuparna的估计十分接近实际的数目。
在这个例子中，尽管我们不能确定Rtuparna如何选择细枝，但可以猜想他可能选择了一条平均大小的细枝，因为所选的细枝代表了其余的所有细枝，其树叶和果实数量处于“中间”位置，应该不是太多，也不可能太少，否则所得总数将会变得太大或太小。平均大小的细枝具有代表性，这可能是算术平均数的直觉使用即选择枝条上树叶和果实数量的一个代表值，再乘以枝条的数目，便得总数。这个例子启发我们，教师在教学中要培养学生对平均数的直觉能力，只有在学生已经发展了代表性的思想之后，才教给他们平均数的计算方法，而不是让学生掌握了平均数的计算公式以后，再来理解平均数的代表性。
平均数重要的不是它们的定义和作为代数公式的运算程序，而是它们所包含的统计意义。我国教材中淡化平均数的定义，注重对平均数意义的理解，但忽视了平均数作为数据代表的认识，教材中仅从微观上让学生理解平均数的意义，而缺乏宏观认识，由于没有引入中位数和众数的概念，因此平均数的理解是不完整的，在这种情况下，在教学中让学生知道平均数是一组数据的代表不可或缺。
◇责任编辑：徐新亮◇
xinliang1314@sina.com