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摘 要：解题是学生学好数学必要的载体。实践表明，如果教师能给学生到位的引导，足够的空间和时间，鼓励学生在已经解题的基础上再“多想一步”，那么学生在继续研究的过程中，收获的不仅仅是会解决一道具体的题目，同时，抽象、推理、建模这些核心素养也能在其中得以培养和落实。
关键词：多想一步；抽象；推理；建模
解题是学生学好数学必要的载体。对于一道题目的解答，是只停留于解题的层面，还是可以在解题的基础上，引领学生再“多想一步”呢？实践表明，如果在解题的基础上，对题目本身再多研究一些，可以让学生对所学的知识应用更透彻，并且能在“多想一步”的过程中，培养学生相关的数学素养。
一、“多想一步”，在变式练习中感受“建模”
数学建模是从具体问题中抽象、提炼出数学模型的过程。当学生根据一道题中具体的信息解题后，教师可以通过变式训练，引导学生逐渐抽象，并从中找出这类题的共性，寻找解决这一类题的通用方法，感受其方法的“建模”。
比如这一题：用地砖铺成一块长方形活动场地，其中白地砖有8行，每行15块。同样大小的花地砖在白地砖外围铺一圈，且花地砖比白地砖少70块。花地砖有多少块？解决这一题时，可以先求白地砖的块数：15×8=120（块），再求花地砖的块数：120-70=50（块）。解答完后，再引领学生多想一步：“这一题还可以用不同方法解答吗？”随后，学生们在一系列的探索中，就会有更多的发现。
首先，可以将题中的信息用图1来表示。
可以发现，花地砖的块数可以分成三部分，第一部分可以横着看，是白地砖的一行的块数乘2；第二部分可以竖着看，是白地砖的行数乘2；第三部分是四个角落里的4块。可以列式为：15×2=30（块），8×2=16（块），30 16 4=50（块）。
如果再进一步，想一想：“如果白地砖有50行，每行100块。”花地砖的块数该怎么求？如果白地砖的行数、每行的块数更多，可以怎样求花地砖的块数？
学生在几次变式训练后，逐渐感悟到，如果把白地砖每行的块数看作里面这个长方形的长，把白地砖的行数看作里面这个长方形的宽，那么，外围一周花地砖的块数就是“长方形的周长 4”。由此，在“多想一步”的思索中，学生对问题的研究越来越深入，思维逐步由直观走向抽象，慢慢感悟，并最终建立起解决这一类题的相应的数学模型。
二、“多想一步”，在“寻找规律”中感受“抽象”
解一道题，可以带给学生相应的这道题的解题经验。某些时候，在解一道题的基础上，如果能适当地引导学生“多想一步”，就有可能将这一题变得丰厚，并能从中进行抽象，发现相关问题之间的规律。
比如这一题：甲、乙、丙三人去钓鱼。他们将钓得的鱼放在一个鱼篓中，就在原地躺下休息，结果都睡着了。甲先醒来，他将鱼篓中的鱼平均分成3份，发现还多1条，就将多的这条鱼扔回河中，拿着其中一份回家了。乙随后醒来，他将鱼篓中现有的鱼平均分成3份，发现还多1条，也将多的这条鱼扔回河中，拿着其中一份回家了。丙最后醒來，他也将鱼篓中的鱼平均分成3份，这时也多1条鱼。这三个人至少钓到多少条鱼？
解题时，从结果出发，根据条件进行倒推。从最少的情况出发，假设最后丙平均分得的每份为1条：
发现：甲分鱼时，三份中剩下的两份和为7条，不现实。所以这一假设不成立。
假设最后丙平均分得的每份为2条：
发现：乙分鱼时，三份中剩下的两份和为7条，不现实。所以这一假设不成立。
假设最后丙平均分得的每份为3条：
所以，这三个人至少钓到25条鱼。
可以感受到，学生在解决这一题中用到了多种策略，比如列表、假设、推理等，在这些策略综合运用的基础上，找到了三个人至少钓到的鱼数。照理说，学生能解决到这一步已经很不错了。但如果能在这个基础上，我们再引导学生多想一步：“如果这一题把‘至少’二字拿去，丙最后平均分得的每份还可能是多少呢？”学生就会遵循刚才解题中用到的策略继续思索下去，就会得到一系列的数据，丙最后平均分得的每份应是：3、7、15、31、63……再继续观察，就会发现，这些数据是有规律的，后面一个数是前一个数的2倍加1。在发现、推理中，学生不但能发现其中的规律，同时能感受到数学的思维美。
再如这一题：一个皮球从16米的高处落下，如果每次弹起的高度总是它下落的一半，第3次弹起多少米？第4次呢？要求每次弹起的高度，可以从图3中发现，分别是：8米、4米、2米、1米。
如果再多想一步：“第5次、第6次、第7次、第8次……弹起的高度分别是多少呢？”如果高度逐渐减小，如果还是用图画来表示就很困难，而且，学生已经可以根据之前数据直接得出：0.5米、0.25米、0.125米、0.0625米……
在这一系列数据得出的同时，学生同时感受着其中的极限思想：当次数达到一定程度时，弹起高度已接近0，这时，球不再弹起。
可以发现，在解题时，我们要借助画图、列表等策略来解题，但在其基础之上，再“多想一步”时，学生就可以从其具体的策略中走出来，思维逐渐抽象，并能从中感受规律、极限等数学思想。
三、“多想一步”，在“化错”中感受“推理”
对于一些判断题，或者一些错误的命题，学生对待其态度是不是只停留在判断其对错呢？对待此类题，如果“多想一步”，同样能在“化错”中推出新的收获。
比如这一道选择：□□÷□=12……4，除数是一位数，有（ ）种可能。选项为：A. 6种；B. 5种；C. 4种。打眼一看，这一题考查的是余数和除数的关系，除数要比余数大，而且必须是一位数，所以可能会是5、6、7、8、9，有5种可能，应该选B选项。其实不然，因为“被除数是一个两位数”。这样想来，除数只能是：5、6、7这3种可能。因为：9×12 4=112（被除数是三位数）；8×12 4=100（被除数是三位数）。所以，要增加一个选项：D.3种。
那如果要使得这一题的选项为B，可以把原题怎样改动呢？学生发现：（1）如果把余数改为3，商还是12，则除数可以为4、5、6、7、8，这时被除数都是两位数。（2）如果把商改为10，余数还是4，则除数可以为5、6、7、8、9，这时被除数都是两位数。
所以，解题时，可以把“本身的错题”或“学生易错的题”转化成一种有利的资源，引导学生充分挖掘其中的数量关系，在把题目研究透彻的基础上，使学生得到最大的收获。
郑毓信教授在《数学教师的三项基本功》中提出：“我提倡‘一题一课，一课多题’——一节数学课做一道题目，以一道题为例子讲解、变化、延伸、拓展，通过师生互动、探讨、尝试、修正，最后真正学到的是很多题的知识。”这一段话或许可以给教师以启发。
所以，在教学中，如果教师能让学生“多想一步”，学生将收获更多。
关键词：多想一步；抽象；推理；建模
解题是学生学好数学必要的载体。对于一道题目的解答，是只停留于解题的层面，还是可以在解题的基础上，引领学生再“多想一步”呢？实践表明，如果在解题的基础上，对题目本身再多研究一些，可以让学生对所学的知识应用更透彻，并且能在“多想一步”的过程中，培养学生相关的数学素养。
一、“多想一步”，在变式练习中感受“建模”
数学建模是从具体问题中抽象、提炼出数学模型的过程。当学生根据一道题中具体的信息解题后，教师可以通过变式训练，引导学生逐渐抽象，并从中找出这类题的共性，寻找解决这一类题的通用方法，感受其方法的“建模”。
比如这一题：用地砖铺成一块长方形活动场地，其中白地砖有8行，每行15块。同样大小的花地砖在白地砖外围铺一圈，且花地砖比白地砖少70块。花地砖有多少块？解决这一题时，可以先求白地砖的块数：15×8=120（块），再求花地砖的块数：120-70=50（块）。解答完后，再引领学生多想一步：“这一题还可以用不同方法解答吗？”随后，学生们在一系列的探索中，就会有更多的发现。
首先，可以将题中的信息用图1来表示。
可以发现，花地砖的块数可以分成三部分，第一部分可以横着看，是白地砖的一行的块数乘2；第二部分可以竖着看，是白地砖的行数乘2；第三部分是四个角落里的4块。可以列式为：15×2=30（块），8×2=16（块），30 16 4=50（块）。
如果再进一步，想一想：“如果白地砖有50行，每行100块。”花地砖的块数该怎么求？如果白地砖的行数、每行的块数更多，可以怎样求花地砖的块数？
学生在几次变式训练后，逐渐感悟到，如果把白地砖每行的块数看作里面这个长方形的长，把白地砖的行数看作里面这个长方形的宽，那么，外围一周花地砖的块数就是“长方形的周长 4”。由此，在“多想一步”的思索中，学生对问题的研究越来越深入，思维逐步由直观走向抽象，慢慢感悟，并最终建立起解决这一类题的相应的数学模型。
二、“多想一步”，在“寻找规律”中感受“抽象”
解一道题，可以带给学生相应的这道题的解题经验。某些时候，在解一道题的基础上，如果能适当地引导学生“多想一步”，就有可能将这一题变得丰厚，并能从中进行抽象，发现相关问题之间的规律。
比如这一题：甲、乙、丙三人去钓鱼。他们将钓得的鱼放在一个鱼篓中，就在原地躺下休息，结果都睡着了。甲先醒来，他将鱼篓中的鱼平均分成3份，发现还多1条，就将多的这条鱼扔回河中，拿着其中一份回家了。乙随后醒来，他将鱼篓中现有的鱼平均分成3份，发现还多1条，也将多的这条鱼扔回河中，拿着其中一份回家了。丙最后醒來，他也将鱼篓中的鱼平均分成3份，这时也多1条鱼。这三个人至少钓到多少条鱼？
解题时，从结果出发，根据条件进行倒推。从最少的情况出发，假设最后丙平均分得的每份为1条：
发现：甲分鱼时，三份中剩下的两份和为7条，不现实。所以这一假设不成立。
假设最后丙平均分得的每份为2条：
发现：乙分鱼时，三份中剩下的两份和为7条，不现实。所以这一假设不成立。
假设最后丙平均分得的每份为3条：
所以，这三个人至少钓到25条鱼。
可以感受到，学生在解决这一题中用到了多种策略，比如列表、假设、推理等，在这些策略综合运用的基础上，找到了三个人至少钓到的鱼数。照理说，学生能解决到这一步已经很不错了。但如果能在这个基础上，我们再引导学生多想一步：“如果这一题把‘至少’二字拿去，丙最后平均分得的每份还可能是多少呢？”学生就会遵循刚才解题中用到的策略继续思索下去，就会得到一系列的数据，丙最后平均分得的每份应是：3、7、15、31、63……再继续观察，就会发现，这些数据是有规律的，后面一个数是前一个数的2倍加1。在发现、推理中，学生不但能发现其中的规律，同时能感受到数学的思维美。
再如这一题：一个皮球从16米的高处落下，如果每次弹起的高度总是它下落的一半，第3次弹起多少米？第4次呢？要求每次弹起的高度，可以从图3中发现，分别是：8米、4米、2米、1米。
如果再多想一步：“第5次、第6次、第7次、第8次……弹起的高度分别是多少呢？”如果高度逐渐减小，如果还是用图画来表示就很困难，而且，学生已经可以根据之前数据直接得出：0.5米、0.25米、0.125米、0.0625米……
在这一系列数据得出的同时，学生同时感受着其中的极限思想：当次数达到一定程度时，弹起高度已接近0，这时，球不再弹起。
可以发现，在解题时，我们要借助画图、列表等策略来解题，但在其基础之上，再“多想一步”时，学生就可以从其具体的策略中走出来，思维逐渐抽象，并能从中感受规律、极限等数学思想。
三、“多想一步”，在“化错”中感受“推理”
对于一些判断题，或者一些错误的命题，学生对待其态度是不是只停留在判断其对错呢？对待此类题，如果“多想一步”，同样能在“化错”中推出新的收获。
比如这一道选择：□□÷□=12……4，除数是一位数，有（ ）种可能。选项为：A. 6种；B. 5种；C. 4种。打眼一看，这一题考查的是余数和除数的关系，除数要比余数大，而且必须是一位数，所以可能会是5、6、7、8、9，有5种可能，应该选B选项。其实不然，因为“被除数是一个两位数”。这样想来，除数只能是：5、6、7这3种可能。因为：9×12 4=112（被除数是三位数）；8×12 4=100（被除数是三位数）。所以，要增加一个选项：D.3种。
那如果要使得这一题的选项为B，可以把原题怎样改动呢？学生发现：（1）如果把余数改为3，商还是12，则除数可以为4、5、6、7、8，这时被除数都是两位数。（2）如果把商改为10，余数还是4，则除数可以为5、6、7、8、9，这时被除数都是两位数。
所以，解题时，可以把“本身的错题”或“学生易错的题”转化成一种有利的资源，引导学生充分挖掘其中的数量关系，在把题目研究透彻的基础上，使学生得到最大的收获。
郑毓信教授在《数学教师的三项基本功》中提出：“我提倡‘一题一课，一课多题’——一节数学课做一道题目，以一道题为例子讲解、变化、延伸、拓展，通过师生互动、探讨、尝试、修正，最后真正学到的是很多题的知识。”这一段话或许可以给教师以启发。
所以，在教学中，如果教师能让学生“多想一步”，学生将收获更多。