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【摘 要】研究者在教学实践中发现，某出版社编制的教科书关于“圆的切线判定定理”内容存在提供的知识量不足的问题。通过访谈12名初中数学教师和对两个班级的课堂教学结果进行对比研究，研究者发现部分教师对教材内容的把握不足，不做内容补充的教学活动效果不尽如人意。适当增加教科书与教师指导用书的数学知识量，将有助于一般的数学教师更好地使用教科书与教师指导用书，提高课堂教学效果。
【关键词】数学教科书；教学指导用书；知识结构；思维品质
【作者简介】张昆，中学高级教师，博士，供职于淮北师范大学数学科学学院、淮北市第一中学，主要研究方向为数学教学论、数学课程论、数学教育哲学、数学史。一、问题的提出
某义务教育教科书通过将圆心到已知直线的距离与圆的半径比较的方法，得出直线与圆相切的判定定理，即经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。在新数学课程标准的教学理念下，由于对平面几何知识（特别是逻辑推理证明）的要求有所降低（这个判定定理的证明要用到“反证法”），教科书没有给出这个判定定理的探究证明思路和证明过程是无可厚非的。但是，在这种不加证明的前提之下，笔者认为，教科书应依据学生学习该教学内容的某些重要的心理特征，对这一判定定理予以比较好的说明与解释。
直线与圆相切的判定定理出现在该教科书的这个地方，究竟意味着什么？如果是让学生记住这个判定定理的具体内容，将与新数学课程的实施理念相抵触。这一理念的要求不是直接向学生提供知识结论，而是要交代结论产生的思维过程。或者如果是有利于教师更好地引领学生进行探讨或研究，但如果部分数学教师能力有限或者不愿意引导学生进行探讨或研究，照本宣科地带领学生进行学习，教学效果又将如何？有人说，教科书如此处理也在情理之中，因为新数学课程要求教师在教学预设中对数学教材进行二次开发，是用教材教而非教教材。这种说法是有道理的。但是，有什么机制可以保证在数学教学中，教师一定会对教材上所呈现的教学内容加以必要的研究，对教科书进行二次开发，从而做到用教材教而非教教材呢？况且，即使教师具有二次开发教材的观念，如果找不到材料或者不愿意找材料对教科书做补充，又将如何处理呢？如果教科书不给出应用这个判定定理进行证明的例题与习题，如何让学生理解知识及掌握应用知识的方法呢？从而又如何形成有用的解决数学问题的数学观念呢？
这无疑对数学教师的教学素养提出了多方面的要求。这些要求在理论上似乎可以实现，但是在现实中，一部分数学教师还暂时达不到这种要求。
二、访谈相关的农村师生
笔者在安徽省农村初中数学教师的“国培计划”培训工作期间，访谈了12名一线初中数学教师（因为他们教学过这部分内容），了解他们如何处理这部分教学内容。有4位教师改变了教材上的安排，对教科书附加了不少内容，基本上是将过去依据数学教学大纲编制的教科书（人民教育出版社）的知识点、例题与习题进行较大程度的改造和借鉴，或者将中考试卷上的有关题目经过改编甚至原封不动地融入课堂教学。而另外的8位教师对此教学内容并没有做太大的变动，直接根据教科书上的材料进行了教学设计。
为了更深入地分析这样的教材编写对课堂教学产生的影响，笔者选择某镇上的一所初级中学的两个班作为调查对象。之所以选这所学校，是因为这所初级中学位于偏僻农村，没有家长为子女请家教，从而没有学生可以得到其他教师的补充教学内容，学生的学习途径只能是课堂上教师的讲解或学生的自学，从而避免其他因素影响调查结果。这两个班都有55名学生，学生初二期末统考的数学成绩基本相同。笔者将几乎采用照本宣科的形式进行教学的班级（记作A班），与教师详细说明、解释切线判定定理的形成，并附加了例题与习题，指导学生应用这一判定定理进行证明的班级（记作B班）做比较。完成教学任务的第二天上午，笔者用下面的一道题对这两个班的学生进行测试。
如图1，PO是∠APB的平分线，PA切⊙O于点C。求证：PB是⊙O的切线。
测试结果显示，A班仅有6名学生给出了这一道题的证明，B班有19名学生正确解答，人数是前者的3倍多，这与笔者的预计结果基本一致。
笔者对A班学生进行访谈发现，学生能够理解题意，图形也能看得清楚。但是，他们对圆的切线的判定定理的理解不够深入，有一部分学生对这个定理的意义不理解，当然就谈不上会使用这个判定定理解决证明性的问题了；有的学生虽然理解这个定理的意义，但是通过教师的教学活动，他们没有获得相应的证明问题的方法，因此，尽管理解了题意，也解决不了问题。
B班的学生说，教师讲过这种题型的例子，对添加辅助线还有着相当深刻的印象。对于B班而言，教师在课堂上的教学活动似乎取得了一定的成绩，但笔者对这样的结果还是不够满意，因为一共55人的班级只有19名学生正确解答。其实，执教该班的教师只是对判定定理在词语上加以解释（对于学生来说，这种解释远远没有揭示这个定理的结构内容及处理图形的具体的、直观的方法），在课堂上讲了三道例题与两道习题，可能是想通过证明题的探究和强化训练，促使学生理解这个判定定理。这种课堂教学活动的效率依然比较低。那么，如何改变这种课堂教学状况呢？
三、編制教科书时处理这一知识点的建议
笔者在对农村教师的调查访谈中发现，有的教师不够敬业，存在职业倦怠现象，他们只是依据教科书的内容带领学生在课堂教学中“走一遭”；有的教师教学定力不够，虽然他们也很想把课上好，把工作做好，但容易陷入与数学教学没有多大关联的事务中。在有的较为偏僻的农村，一些教师难以仔细推敲教材，对教材缺乏二次开发。对此，笔者认为教科书在处理这一知识点时不妨从以下两方面加以考虑。
1增加教科书的教学内容
学生对切线判定定理结构不理解，是由于教科书没有采用适当的方式提示教师如何处理这个知识点。教科书上的例题只有一道，与理解这个判定定理结构的关系却并不大，而且习题量也不够。一些农村教师找不到对教科书加以适当补充的教学材料，造成在课堂上的教学困难。“理在用中方知妙”，就像人们在游泳中学会游泳一样，学生也是在解题中学会解题的。仅仅培养学生基础的能力往往达不到对数学教学内容的理解，对教科书所给予的教育资源必须结合学生的基础性的能力，才能提高学生的数学思维品质，促使他们掌握数学解题方法[1]。因此，笔者认为教科书可以给教师提供多一点教学资源，增加例题和习题，一方面可以提供发挥学生探究能力的载体，另一方面也保证了教师的手头有教学材料。比如，教科书可以考虑增加以下两道例题。 例1 如图2，直线AB经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB。求证：AB是⊙O的切线。
例2 如图3，PO是∠APB的平分线，PA切⊙O于点C。求证：PB是⊙O的切线。
对这两个例子，教材既可以直接给出分析和证明的过程，也可以只给出其逻辑证明的过程，不给予分析，让教师自己去开发。但是，教师指导用书最好给予详细的分析与证明，以便教师获取所需要的教学材料，为教师对教科书的二次开发提供条件。
2精心编写教学指导用书
笔者调查还发现，有些教师对教学指导用书有抵触情绪，因为他们觉得无法从教学指导用书中吸收新的营养。但是，毋庸置疑，教学指导用书对教师（特别是难以得到相关教学材料的一些农村教师）而言是极其重要的一种资源，甚至比教科书更为重要。给予教师选择教学材料足够的余地，也是教师通过教学指导用书理解数学知识与把握学生心理的便捷途径之一。笔者认为，对于农村教师来说，有一本教科书与一本教学指导用书，只需教师稍做努力，就足以上好关于某个知识点的一节课。笔者就上述两道例题，谈谈如何通过教师用书的处理使教师获得课堂教学方法，由此带领学生深入理解切线判定定理，并促使学生比较好地应用这个定理探究相关习题的证明思路。
教材对切线的判定定理表述为：“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。”这段文字的含义是什么呢？
我们通过上述两道例题的课堂教学可以将其意义展开。这里有两个条件，其一是圆的半径，“经过半径的外端”是指这一点必在圆上，即圆上存有这一点，这是非常明白的，无须赘言；其二是“半径与直线垂直”，它是指垂足就是这个半径的外端点，在利用这个判定定理探究证明的思路时，需要思考如何保证某个点是半径外端点，即这个点在圆上。如此这两道例题分类成了如下两种情况。
（1）当所要判断的那条直线与圆的交点是已知时，我们可以直接联结圆心与这一交点（即“经过半径的外端”）作出圆的半径。此时，只要证明所作出的半径与这条直线垂直就达到目的。
例1的分析：如图4，直线AB与⊙O有交点C，于是，联结OC，只要证明OC⊥AB即可满足这个判定定理结构的形式，如此，就构造出了符合切线的判定定理所要求的图形。因为OA=OB，CA=CB，由“等腰三角形底边上的中线也是底边上的高”，知OC⊥AB成立，所以AB是⊙O的切线。
（2）当所判断的那条直线与圆的交点还不明确时，就不能直接明确地作出圆的半径，此时我们只要过圆心作这条直线的垂线（即利用“半径与直线垂直”这个条件），再证明这条垂线段是圆的半径就能达到目的。
例2的分析：如图5，直线PB与⊙O还不能确定有没有交点，于是，我们不能直接作出⊙O的半径。此时，先考虑过点O作直线OD⊥PB①（即利用“半径与直线垂直”这个条件），垂足为D，下面只要证明线段OD是⊙O的半径即可。为此，我们利用已知条件直线PA是⊙O的切线，切点是C，故联结OC，知OC⊥PA②，由①②及“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，知OD=OC，即OD是⊙O的半径。所以，直线PB是⊙O的切线。这道题目用“到圆心距离等于半径的直线与圆相切”证明更方便。
由以上分析可知，证明一条直线是圆的切线的一般方法（或指导探究证明思路的活动行为的数学观念）是线圆有交点连半径，线圆无交点作垂直[2]。这两道例题及其在教学指导用书中的深入剖析，将能够给部分教师以有益的帮助，使他们能够较为轻松地带领学生对圆的切线判定定理达到相当程度的理解，也为学生应用相关知识解决问题（证明圆的切线）做了铺垫，如此，解决问题（证明圆的切线）的方法也就比较容易为学生所掌握。事实上，这是向学生渗透了相关的数学观念。教师这样进行课堂教学，将使学生在数学知识的应用过程中理解数学知识的结构，并且掌握知识应用的方法，形成解决问题的数学观念。
在巩固圆的判定定理时，笔者认为教科书应配套相关的习题，同时，在教师指导用书里详尽地给出探究这些习题的解题思路、分析过程与证明过程，给教师提供选择，以帮助学生形成使用判定定理进行探究证明的思路的方法，并能迁移运用。这样能使教师的教学有据可依，从而促使学生深入地理解圆的切线判定定理这个重要的知识点。
笔者认为，教科书和教师指导用书如此处理有两个好处。其一，由于教科书没有给出知识的形成过程，使得教师在处理知识时有极大的灵活性与伸缩空间，如果时间允许，教师可以引领学生进行探究；否则，教师可以直接将分析和解题方法渗透给学生。其二，教学指导用书不仅保证教师可以对例题（习题）的解决思路有清晰的把握，而且可以随时翻阅，能够获得有效的教学资源，如此可避免教师在课堂教学中因照本宣科而影响学生对重要知识的深度理解。
四、简要结论
数学课堂教學要保证一般教师教学的有效性，就必须首先保证教师理解相关的知识体系及其思想方法，而应用知识解决问题对促进知识的深度理解起着极其重要的作用。由于数学新课程的教学理念重在让学生经由动手动脑探究发现，这样许多理解知识、应用知识、解决问题的方法就不宜直接进入数学教科书，教科书上所编写的数学材料很难将这些深层次结构直接展现在学生的面前，学生或者教师在阅读这些材料时，将会产生“犹抱琵琶半遮面”的感觉。知识的量与质都是非常重要的，两者要达到某种程度上的平衡[3]。新数学课程特别强调知识的质，学生只有掌握了适度的知识量，才能产生质变。因此，一定要发挥教师指导用书的重要作用，使教师加深对知识的理解，增强课堂教学的有效性。
参考文献：
[1]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995.
[2]张昆.基于理性思维平面几何理性思维教育价值的教学实践研究[C]//. 全国教育专业学位教育指导委员会.全国教育硕士专业学位优秀论文选：第二辑.北京：人民教育出版社，2013.
[3]哈特.从信息到转化：为了意识进展的教育[M].彭正梅，译.上海：华东师范大学出版社，2007.
【关键词】数学教科书；教学指导用书；知识结构；思维品质
【作者简介】张昆，中学高级教师，博士，供职于淮北师范大学数学科学学院、淮北市第一中学，主要研究方向为数学教学论、数学课程论、数学教育哲学、数学史。一、问题的提出
某义务教育教科书通过将圆心到已知直线的距离与圆的半径比较的方法，得出直线与圆相切的判定定理，即经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。在新数学课程标准的教学理念下，由于对平面几何知识（特别是逻辑推理证明）的要求有所降低（这个判定定理的证明要用到“反证法”），教科书没有给出这个判定定理的探究证明思路和证明过程是无可厚非的。但是，在这种不加证明的前提之下，笔者认为，教科书应依据学生学习该教学内容的某些重要的心理特征，对这一判定定理予以比较好的说明与解释。
直线与圆相切的判定定理出现在该教科书的这个地方，究竟意味着什么？如果是让学生记住这个判定定理的具体内容，将与新数学课程的实施理念相抵触。这一理念的要求不是直接向学生提供知识结论，而是要交代结论产生的思维过程。或者如果是有利于教师更好地引领学生进行探讨或研究，但如果部分数学教师能力有限或者不愿意引导学生进行探讨或研究，照本宣科地带领学生进行学习，教学效果又将如何？有人说，教科书如此处理也在情理之中，因为新数学课程要求教师在教学预设中对数学教材进行二次开发，是用教材教而非教教材。这种说法是有道理的。但是，有什么机制可以保证在数学教学中，教师一定会对教材上所呈现的教学内容加以必要的研究，对教科书进行二次开发，从而做到用教材教而非教教材呢？况且，即使教师具有二次开发教材的观念，如果找不到材料或者不愿意找材料对教科书做补充，又将如何处理呢？如果教科书不给出应用这个判定定理进行证明的例题与习题，如何让学生理解知识及掌握应用知识的方法呢？从而又如何形成有用的解决数学问题的数学观念呢？
这无疑对数学教师的教学素养提出了多方面的要求。这些要求在理论上似乎可以实现，但是在现实中，一部分数学教师还暂时达不到这种要求。
二、访谈相关的农村师生
笔者在安徽省农村初中数学教师的“国培计划”培训工作期间，访谈了12名一线初中数学教师（因为他们教学过这部分内容），了解他们如何处理这部分教学内容。有4位教师改变了教材上的安排，对教科书附加了不少内容，基本上是将过去依据数学教学大纲编制的教科书（人民教育出版社）的知识点、例题与习题进行较大程度的改造和借鉴，或者将中考试卷上的有关题目经过改编甚至原封不动地融入课堂教学。而另外的8位教师对此教学内容并没有做太大的变动，直接根据教科书上的材料进行了教学设计。
为了更深入地分析这样的教材编写对课堂教学产生的影响，笔者选择某镇上的一所初级中学的两个班作为调查对象。之所以选这所学校，是因为这所初级中学位于偏僻农村，没有家长为子女请家教，从而没有学生可以得到其他教师的补充教学内容，学生的学习途径只能是课堂上教师的讲解或学生的自学，从而避免其他因素影响调查结果。这两个班都有55名学生，学生初二期末统考的数学成绩基本相同。笔者将几乎采用照本宣科的形式进行教学的班级（记作A班），与教师详细说明、解释切线判定定理的形成，并附加了例题与习题，指导学生应用这一判定定理进行证明的班级（记作B班）做比较。完成教学任务的第二天上午，笔者用下面的一道题对这两个班的学生进行测试。
如图1，PO是∠APB的平分线，PA切⊙O于点C。求证：PB是⊙O的切线。
测试结果显示，A班仅有6名学生给出了这一道题的证明，B班有19名学生正确解答，人数是前者的3倍多，这与笔者的预计结果基本一致。
笔者对A班学生进行访谈发现，学生能够理解题意，图形也能看得清楚。但是，他们对圆的切线的判定定理的理解不够深入，有一部分学生对这个定理的意义不理解，当然就谈不上会使用这个判定定理解决证明性的问题了；有的学生虽然理解这个定理的意义，但是通过教师的教学活动，他们没有获得相应的证明问题的方法，因此，尽管理解了题意，也解决不了问题。
B班的学生说，教师讲过这种题型的例子，对添加辅助线还有着相当深刻的印象。对于B班而言，教师在课堂上的教学活动似乎取得了一定的成绩，但笔者对这样的结果还是不够满意，因为一共55人的班级只有19名学生正确解答。其实，执教该班的教师只是对判定定理在词语上加以解释（对于学生来说，这种解释远远没有揭示这个定理的结构内容及处理图形的具体的、直观的方法），在课堂上讲了三道例题与两道习题，可能是想通过证明题的探究和强化训练，促使学生理解这个判定定理。这种课堂教学活动的效率依然比较低。那么，如何改变这种课堂教学状况呢？
三、編制教科书时处理这一知识点的建议
笔者在对农村教师的调查访谈中发现，有的教师不够敬业，存在职业倦怠现象，他们只是依据教科书的内容带领学生在课堂教学中“走一遭”；有的教师教学定力不够，虽然他们也很想把课上好，把工作做好，但容易陷入与数学教学没有多大关联的事务中。在有的较为偏僻的农村，一些教师难以仔细推敲教材，对教材缺乏二次开发。对此，笔者认为教科书在处理这一知识点时不妨从以下两方面加以考虑。
1增加教科书的教学内容
学生对切线判定定理结构不理解，是由于教科书没有采用适当的方式提示教师如何处理这个知识点。教科书上的例题只有一道，与理解这个判定定理结构的关系却并不大，而且习题量也不够。一些农村教师找不到对教科书加以适当补充的教学材料，造成在课堂上的教学困难。“理在用中方知妙”，就像人们在游泳中学会游泳一样，学生也是在解题中学会解题的。仅仅培养学生基础的能力往往达不到对数学教学内容的理解，对教科书所给予的教育资源必须结合学生的基础性的能力，才能提高学生的数学思维品质，促使他们掌握数学解题方法[1]。因此，笔者认为教科书可以给教师提供多一点教学资源，增加例题和习题，一方面可以提供发挥学生探究能力的载体，另一方面也保证了教师的手头有教学材料。比如，教科书可以考虑增加以下两道例题。 例1 如图2，直线AB经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB。求证：AB是⊙O的切线。
例2 如图3，PO是∠APB的平分线，PA切⊙O于点C。求证：PB是⊙O的切线。
对这两个例子，教材既可以直接给出分析和证明的过程，也可以只给出其逻辑证明的过程，不给予分析，让教师自己去开发。但是，教师指导用书最好给予详细的分析与证明，以便教师获取所需要的教学材料，为教师对教科书的二次开发提供条件。
2精心编写教学指导用书
笔者调查还发现，有些教师对教学指导用书有抵触情绪，因为他们觉得无法从教学指导用书中吸收新的营养。但是，毋庸置疑，教学指导用书对教师（特别是难以得到相关教学材料的一些农村教师）而言是极其重要的一种资源，甚至比教科书更为重要。给予教师选择教学材料足够的余地，也是教师通过教学指导用书理解数学知识与把握学生心理的便捷途径之一。笔者认为，对于农村教师来说，有一本教科书与一本教学指导用书，只需教师稍做努力，就足以上好关于某个知识点的一节课。笔者就上述两道例题，谈谈如何通过教师用书的处理使教师获得课堂教学方法，由此带领学生深入理解切线判定定理，并促使学生比较好地应用这个定理探究相关习题的证明思路。
教材对切线的判定定理表述为：“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。”这段文字的含义是什么呢？
我们通过上述两道例题的课堂教学可以将其意义展开。这里有两个条件，其一是圆的半径，“经过半径的外端”是指这一点必在圆上，即圆上存有这一点，这是非常明白的，无须赘言；其二是“半径与直线垂直”，它是指垂足就是这个半径的外端点，在利用这个判定定理探究证明的思路时，需要思考如何保证某个点是半径外端点，即这个点在圆上。如此这两道例题分类成了如下两种情况。
（1）当所要判断的那条直线与圆的交点是已知时，我们可以直接联结圆心与这一交点（即“经过半径的外端”）作出圆的半径。此时，只要证明所作出的半径与这条直线垂直就达到目的。
例1的分析：如图4，直线AB与⊙O有交点C，于是，联结OC，只要证明OC⊥AB即可满足这个判定定理结构的形式，如此，就构造出了符合切线的判定定理所要求的图形。因为OA=OB，CA=CB，由“等腰三角形底边上的中线也是底边上的高”，知OC⊥AB成立，所以AB是⊙O的切线。
（2）当所判断的那条直线与圆的交点还不明确时，就不能直接明确地作出圆的半径，此时我们只要过圆心作这条直线的垂线（即利用“半径与直线垂直”这个条件），再证明这条垂线段是圆的半径就能达到目的。
例2的分析：如图5，直线PB与⊙O还不能确定有没有交点，于是，我们不能直接作出⊙O的半径。此时，先考虑过点O作直线OD⊥PB①（即利用“半径与直线垂直”这个条件），垂足为D，下面只要证明线段OD是⊙O的半径即可。为此，我们利用已知条件直线PA是⊙O的切线，切点是C，故联结OC，知OC⊥PA②，由①②及“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，知OD=OC，即OD是⊙O的半径。所以，直线PB是⊙O的切线。这道题目用“到圆心距离等于半径的直线与圆相切”证明更方便。
由以上分析可知，证明一条直线是圆的切线的一般方法（或指导探究证明思路的活动行为的数学观念）是线圆有交点连半径，线圆无交点作垂直[2]。这两道例题及其在教学指导用书中的深入剖析，将能够给部分教师以有益的帮助，使他们能够较为轻松地带领学生对圆的切线判定定理达到相当程度的理解，也为学生应用相关知识解决问题（证明圆的切线）做了铺垫，如此，解决问题（证明圆的切线）的方法也就比较容易为学生所掌握。事实上，这是向学生渗透了相关的数学观念。教师这样进行课堂教学，将使学生在数学知识的应用过程中理解数学知识的结构，并且掌握知识应用的方法，形成解决问题的数学观念。
在巩固圆的判定定理时，笔者认为教科书应配套相关的习题，同时，在教师指导用书里详尽地给出探究这些习题的解题思路、分析过程与证明过程，给教师提供选择，以帮助学生形成使用判定定理进行探究证明的思路的方法，并能迁移运用。这样能使教师的教学有据可依，从而促使学生深入地理解圆的切线判定定理这个重要的知识点。
笔者认为，教科书和教师指导用书如此处理有两个好处。其一，由于教科书没有给出知识的形成过程，使得教师在处理知识时有极大的灵活性与伸缩空间，如果时间允许，教师可以引领学生进行探究；否则，教师可以直接将分析和解题方法渗透给学生。其二，教学指导用书不仅保证教师可以对例题（习题）的解决思路有清晰的把握，而且可以随时翻阅，能够获得有效的教学资源，如此可避免教师在课堂教学中因照本宣科而影响学生对重要知识的深度理解。
四、简要结论
数学课堂教學要保证一般教师教学的有效性，就必须首先保证教师理解相关的知识体系及其思想方法，而应用知识解决问题对促进知识的深度理解起着极其重要的作用。由于数学新课程的教学理念重在让学生经由动手动脑探究发现，这样许多理解知识、应用知识、解决问题的方法就不宜直接进入数学教科书，教科书上所编写的数学材料很难将这些深层次结构直接展现在学生的面前，学生或者教师在阅读这些材料时，将会产生“犹抱琵琶半遮面”的感觉。知识的量与质都是非常重要的，两者要达到某种程度上的平衡[3]。新数学课程特别强调知识的质，学生只有掌握了适度的知识量，才能产生质变。因此，一定要发挥教师指导用书的重要作用，使教师加深对知识的理解，增强课堂教学的有效性。
参考文献：
[1]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995.
[2]张昆.基于理性思维平面几何理性思维教育价值的教学实践研究[C]//. 全国教育专业学位教育指导委员会.全国教育硕士专业学位优秀论文选：第二辑.北京：人民教育出版社，2013.
[3]哈特.从信息到转化：为了意识进展的教育[M].彭正梅，译.上海：华东师范大学出版社，2007.