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【摘 要】数学文化的教育价值在于培养学生的数学思维方式，形成正确的数学观念，并使之成为数学的核心素养。研究者以“等差数列的前n项和”为例，挖掘数学文化中的思想方法的典型性、思维活动的创造性、数学表达的深刻性，促进学生数学核心素养的培养。
【关键词】数学文化;核心素养;等差数列求和
【作者简介】莫邦哲，正高级教师，广西数学特级教师，广西八桂教育家摇篮工程学员，广西师范大学大学基础教育研究院兼职研究员;邵延会，一级教师。
【基金项目】广西“十三五”规划2019年度课题“新时代西部示范性高中卓越课程建设研究——以柳州铁一中学为例”（2019C292）
《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《新课标》）把数学文化贯穿于课程的全过程，不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。《新课标》指出，高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养;依据数学学科特点，关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的关联，重视数学实践和数学文化。《新课标》还进一步指出，数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展，还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动[1]。但是在实施意见中，如何渗透数学文化，如何挖掘数学文化的育人价值等关键问题，《新课标》却没有进行具体阐释，也没有给出可操作的指导意见，为此，笔者以“等差数列的前n项和”为例进行研究。
一、教学分析
“等差数列的前n项和”是人教版高中数学必修5第二章的内容。很多教师的教学设计都是从“数学天才高斯10岁计算1+2+3+…+100”的故事引入。这个故事能积极调动学生的学习热情，同时也给出了一个“不值一提”的等差数列求和的简单例证。其次，教师会提出这样一个问题：等差数列从第1项到第n项的和如何求？教师一般会提示学生仿照高斯算法（倒序相加），利用等差数列下标和性质，化简得到等差数列的前n项和公式。接着，教师示范如何用公式求等差数列的前n项和。最后，教师让学生练习巩固。其实本节课的教学重点在于公式的推导和运用，然而有的教师对公式的推导却轻描淡写，用高斯的算法故事带过，高斯的算法故事成了教学的噱头，甚至是回避教学难点的方法。数学文化的价值在于培养学生数学思维方式，并形成正确的数学观念，使之成为数学的核心素养。从这个意义上说，数学核心素养培育的过程就是数学文化孕育的过程，数学文化中所蕴含的思想方法的典型性、思维的创造性、表述的深刻性是进行数学文化孕育的重要原材料。
二、数学文化价值的挖掘
（一）挖掘数学思想方法的典型性
高斯算法的教学价值何在？是否只是一个天才的故事，抑或是一個等差数列求和的简单案例？如果是这样，那么故事的内容对于高中学生而言却过于简单。在教学中，如果教师对故事不加以改造，学生就不会想到其中蕴含的数学思想——对称的思想、配对的思想、数形结合的思想，以及数学的简洁美。因此，高斯算法的故事的教学价值不在于高斯的聪明，而在于故事中所蕴含的数学思想方法的代表性和典型性，这是教师在教学中需要挖掘的。结合学生实际情况，笔者对高斯算法的故事进行了挖掘，增加了下面三个教学环节。
环节一：计算1+2+3+…+101的值。
该教学环节是对高斯算法的反思与简单推广，让学生对对称性和配对思想有所感悟。将高斯算法从1+2+3+…+100推广到1+2+3+…+101，引导学生通过对比两式，发现它们的共性：首尾两数配对后仍然具有“等和”的特点，因此用高斯的算法仍然适用。与此同时，教师还要引导学生发现它们之间的个性：第一个算式是偶数项，恰好成双成对，第二个算式是奇数项，配对后剩余一个中间项，而此中间项是配对的两数和的平均数。通过简单的推广，让学生感悟到具有等和特点的数都具有共同的平均数，这些数以中间项为中点排列构成一个数列（等差数列），从而突出等差数列具有等和的性质，以及中心对称的几何特征，为教学环节二和环节三做铺垫。
环节二：化简1+2+3+…+101+…+n。
教学环节二是将高斯算法从有限项推广到任意项的情形，把具体问题一般化。在该题的求解中，学生通过类比教学环节一的做法可以很快算出结果，但是计算的过程存在不少问题，而对这些问题的反思和解决，正是我们挖掘高斯算法故事的价值所在。例如学生不考虑n的奇偶性而直接套用结论，无法说出所得结果的算法意义，导致把问题推广到更一般的等差数列之后，学生不会运用倒序相加法。教师引导学生对n的奇偶性进行讨论后，一方面需要运用配对法来解题，另一方面也在不断渗透等和与对称的知识表征，为引出等差数列的求和做铺垫。
环节三：an是等差数列，求a1+a2+…+an的值。
通过教学环节一和环节二的铺垫，学生对自然数形态的等差数列的求和有了进一步的认识，能提炼出高斯算法中的等和性和对称性，为把问题推广到更一般的等差数列奠定了实践基础。在该题的求解中，教师可以通过设计支架性问题对学生进行引导：an=n是等差数列，求1+2+3+…+n的和运用了倒序相加的方法，那么求等差数列的前n项和是否也可以采用倒序相加的方法？
至此，通过设计三个教学环节，挖掘高斯算法的数列特征，把高斯算法从有限项的运算推广到任意项的情形，再推广到更一般的情形。
（二）挖掘数学思维活动的创造性
等差数列求和为什么要倒序相加？不倒序相加可以吗？怎么想到倒序相加的？在课堂教学中，笔者发现这是一个很有趣的问题。很多教师认为借助高斯算法的故事，这些问题的解决是一个很自然的过程。但是从实际的教学过程来看，学生却感到不好理解，教师认为高斯算法很简单、很好理解，所以从特殊到一般，从具体到抽象应该是一个很自然的过程。而学生却很茫然，因为他们觉得求1+2+3+…+100以及1+2+3+…+n的值没问题，但对如何求解a1+a2+…+an却没有思路。因为1+2+3+…+100=5050，1+2+3+…+n=f（n），而a1+a2+…+an能用什么样的式子来表达却不明白，即使学生能用n（n+1）2表示1+2+3+…+n的运算结果，并不意味着他们就能运用倒序相加的方法来推导，即学生对n（n+1）2的意义未必真正理解，而这正是倒序相加的关键。学生对n（n+1）2的理解更多是基于对100×（100+1）2类比，但是把一个式子重新写一遍，而且是把顺序倒过来，就不再是一种类比，而是一种思维的创新。 思维创新的过程实际上是矛盾转化的过程，是认识深化的过程。认知冲突才是引起思维创新的根本原因。思维创新的过程也是一个大胆猜想，小心求证的过程，设计学生的认知冲突点，是点燃创造思维火花的关键。倒序相加法的认知冲突点在于配对。高斯算法也好，等差数列求和也罢，其实都是运用等差数列的等和性质，从计算的直观性来看，n2是否为整数需要讨论，但是从等和性质来看，无论n2是否为整数都不影响结果，所以存在一种无须讨论n2是否为整数的方法（数学简洁美的特性）。那么这是什么方法呢？n（n+1）2中的“2”表达了怎样的意义？它是怎么来的？n（n+1）2反映了等差数列怎样的性质？至此，配对的思想得以揭示，奠定了把和式倒序相加的思想基础。
（三）挖掘数学表达的深刻性
数学理解的过程离不开数和形两种基本的表达方式，以及这两种表达方式之间的转换。对高斯算法的教学如果仅停留在公式本身，而忽略公式形成过程所蕴含的思想方法，就不能揭示公式结构的特征与性质，学生对知识的理解也就只能停留在表面。挖掘高斯算法中数和形这两种基本的表达方式以及它们之间的相互转换，是将理解推向了深入。
教师可以引导学生观察等差数列前n项和公式Sn=n（a1+an）2的结构特征，再结合推导过程所用到的等差数列等和性质，挖掘公式中a1+an2的中点几何特征，n2所蕴含的配对思想，以及Sn=na1+n（n-1）2d中对称轴体现的等和性质等，帮助学生理解代数式子的几何意义，揭示公式所蕴含的思想方法，实现代数与几何的相互转换。因此，在本节课，笔者增加了一个对高斯算法原理感悟的评价环节，并设计了这样一个评价问题：an是等差数列，Sn是其前n项和，a1>0，S4=S8，数列an的前多少项和最大？这个问题可以从知识性评价、方法性评价、素养性评价三个角度来展开讨论。
1.知识性评价
大部分学生通过S4=S8得到a1=-112d，d<0，代入公式Sn=na1+n（n-1）2d，得Sn=d2n2-6dn，因此，當n=6时，Sn最大。如果教学停留于此，前面的高斯算法的设计就会大打折扣。
2.方法性评价
学生认知的困惑是认知冲突的结果，也是认知结构重建，把认知推向深入的契机。教师可以引导学生思考第一个问题：本题要求Sn的最大值，Sn是n的二次函数，二次函数取得最大值的条件是什么？怎么找到Sn的对称轴？Sn的对称轴具有等和性，S4=S8不就是表达等和性吗？由此，学生可以很快地找到对称轴n=6，问题得以解决。
3.素养性评价
教师继续引导学生思考第二个问题：等差数列的求和公式有两个，能用Sn=n（a1+an）2来解决吗？代数的方法就是函数的方法，从几何意义的角度来思考，Sn=n（a1+an）2描述了数列的中心对称性质，即等和性，由S4=S8能知道数列an的对称中心吗？因为a5+a6+a7+a8=0，从而a6+a7=0，由a1>0，得a6>0，a7<0，所以前6项和最大。素养性评价的价值在于得出了解决一般数列前n项和的最值问题的思路：判断数列的项的正负，即数列前n项和的最值问题，本质上就是项的正负问题。素养性评价是当前教学中比较欠缺的，因此，在课堂上，如果时间允许，教师还可以继续强化这样的素养评价：等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a4=18，S17=459，求（-1）na3n的前n项和Tn。该题通过（-1）n把两个等差数列糅合在一起，考查学生分类处理、正负符号处理的能力，既可以评价等差数列知识，又可以评价分类讨论的方法，还可以评价学生对等差数列等和性质的认识。素养评价的核心是学生会用数学的视角观察和思考世界，即用数学的形式表达对客观世界的思考。
三、结语
从等差到等和，从公式的代数形式到等差数列的几何对称，从具体到一般，讲好数学故事是培育数学文化的重要环节。数学故事的文化性在于其丰富的思想性、思辨性和情境性。因此挖掘数学故事中思想方法的典型性、思维活动的创造性、数学形式的深刻性，让其所孕育的概念、法则适时地回归本真，促进数学形式与本质的和谐统一，才有利于学生的理解，才有利于创新思维的培养，促进核心素养的发展。
（注：本文系广西八桂教育家摇篮工程系列成果之一）
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
【关键词】数学文化;核心素养;等差数列求和
【作者简介】莫邦哲，正高级教师，广西数学特级教师，广西八桂教育家摇篮工程学员，广西师范大学大学基础教育研究院兼职研究员;邵延会，一级教师。
【基金项目】广西“十三五”规划2019年度课题“新时代西部示范性高中卓越课程建设研究——以柳州铁一中学为例”（2019C292）
《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《新课标》）把数学文化贯穿于课程的全过程，不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。《新课标》指出，高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养;依据数学学科特点，关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的关联，重视数学实践和数学文化。《新课标》还进一步指出，数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展，还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动[1]。但是在实施意见中，如何渗透数学文化，如何挖掘数学文化的育人价值等关键问题，《新课标》却没有进行具体阐释，也没有给出可操作的指导意见，为此，笔者以“等差数列的前n项和”为例进行研究。
一、教学分析
“等差数列的前n项和”是人教版高中数学必修5第二章的内容。很多教师的教学设计都是从“数学天才高斯10岁计算1+2+3+…+100”的故事引入。这个故事能积极调动学生的学习热情，同时也给出了一个“不值一提”的等差数列求和的简单例证。其次，教师会提出这样一个问题：等差数列从第1项到第n项的和如何求？教师一般会提示学生仿照高斯算法（倒序相加），利用等差数列下标和性质，化简得到等差数列的前n项和公式。接着，教师示范如何用公式求等差数列的前n项和。最后，教师让学生练习巩固。其实本节课的教学重点在于公式的推导和运用，然而有的教师对公式的推导却轻描淡写，用高斯的算法故事带过，高斯的算法故事成了教学的噱头，甚至是回避教学难点的方法。数学文化的价值在于培养学生数学思维方式，并形成正确的数学观念，使之成为数学的核心素养。从这个意义上说，数学核心素养培育的过程就是数学文化孕育的过程，数学文化中所蕴含的思想方法的典型性、思维的创造性、表述的深刻性是进行数学文化孕育的重要原材料。
二、数学文化价值的挖掘
（一）挖掘数学思想方法的典型性
高斯算法的教学价值何在？是否只是一个天才的故事，抑或是一個等差数列求和的简单案例？如果是这样，那么故事的内容对于高中学生而言却过于简单。在教学中，如果教师对故事不加以改造，学生就不会想到其中蕴含的数学思想——对称的思想、配对的思想、数形结合的思想，以及数学的简洁美。因此，高斯算法的故事的教学价值不在于高斯的聪明，而在于故事中所蕴含的数学思想方法的代表性和典型性，这是教师在教学中需要挖掘的。结合学生实际情况，笔者对高斯算法的故事进行了挖掘，增加了下面三个教学环节。
环节一：计算1+2+3+…+101的值。
该教学环节是对高斯算法的反思与简单推广，让学生对对称性和配对思想有所感悟。将高斯算法从1+2+3+…+100推广到1+2+3+…+101，引导学生通过对比两式，发现它们的共性：首尾两数配对后仍然具有“等和”的特点，因此用高斯的算法仍然适用。与此同时，教师还要引导学生发现它们之间的个性：第一个算式是偶数项，恰好成双成对，第二个算式是奇数项，配对后剩余一个中间项，而此中间项是配对的两数和的平均数。通过简单的推广，让学生感悟到具有等和特点的数都具有共同的平均数，这些数以中间项为中点排列构成一个数列（等差数列），从而突出等差数列具有等和的性质，以及中心对称的几何特征，为教学环节二和环节三做铺垫。
环节二：化简1+2+3+…+101+…+n。
教学环节二是将高斯算法从有限项推广到任意项的情形，把具体问题一般化。在该题的求解中，学生通过类比教学环节一的做法可以很快算出结果，但是计算的过程存在不少问题，而对这些问题的反思和解决，正是我们挖掘高斯算法故事的价值所在。例如学生不考虑n的奇偶性而直接套用结论，无法说出所得结果的算法意义，导致把问题推广到更一般的等差数列之后，学生不会运用倒序相加法。教师引导学生对n的奇偶性进行讨论后，一方面需要运用配对法来解题，另一方面也在不断渗透等和与对称的知识表征，为引出等差数列的求和做铺垫。
环节三：an是等差数列，求a1+a2+…+an的值。
通过教学环节一和环节二的铺垫，学生对自然数形态的等差数列的求和有了进一步的认识，能提炼出高斯算法中的等和性和对称性，为把问题推广到更一般的等差数列奠定了实践基础。在该题的求解中，教师可以通过设计支架性问题对学生进行引导：an=n是等差数列，求1+2+3+…+n的和运用了倒序相加的方法，那么求等差数列的前n项和是否也可以采用倒序相加的方法？
至此，通过设计三个教学环节，挖掘高斯算法的数列特征，把高斯算法从有限项的运算推广到任意项的情形，再推广到更一般的情形。
（二）挖掘数学思维活动的创造性
等差数列求和为什么要倒序相加？不倒序相加可以吗？怎么想到倒序相加的？在课堂教学中，笔者发现这是一个很有趣的问题。很多教师认为借助高斯算法的故事，这些问题的解决是一个很自然的过程。但是从实际的教学过程来看，学生却感到不好理解，教师认为高斯算法很简单、很好理解，所以从特殊到一般，从具体到抽象应该是一个很自然的过程。而学生却很茫然，因为他们觉得求1+2+3+…+100以及1+2+3+…+n的值没问题，但对如何求解a1+a2+…+an却没有思路。因为1+2+3+…+100=5050，1+2+3+…+n=f（n），而a1+a2+…+an能用什么样的式子来表达却不明白，即使学生能用n（n+1）2表示1+2+3+…+n的运算结果，并不意味着他们就能运用倒序相加的方法来推导，即学生对n（n+1）2的意义未必真正理解，而这正是倒序相加的关键。学生对n（n+1）2的理解更多是基于对100×（100+1）2类比，但是把一个式子重新写一遍，而且是把顺序倒过来，就不再是一种类比，而是一种思维的创新。 思维创新的过程实际上是矛盾转化的过程，是认识深化的过程。认知冲突才是引起思维创新的根本原因。思维创新的过程也是一个大胆猜想，小心求证的过程，设计学生的认知冲突点，是点燃创造思维火花的关键。倒序相加法的认知冲突点在于配对。高斯算法也好，等差数列求和也罢，其实都是运用等差数列的等和性质，从计算的直观性来看，n2是否为整数需要讨论，但是从等和性质来看，无论n2是否为整数都不影响结果，所以存在一种无须讨论n2是否为整数的方法（数学简洁美的特性）。那么这是什么方法呢？n（n+1）2中的“2”表达了怎样的意义？它是怎么来的？n（n+1）2反映了等差数列怎样的性质？至此，配对的思想得以揭示，奠定了把和式倒序相加的思想基础。
（三）挖掘数学表达的深刻性
数学理解的过程离不开数和形两种基本的表达方式，以及这两种表达方式之间的转换。对高斯算法的教学如果仅停留在公式本身，而忽略公式形成过程所蕴含的思想方法，就不能揭示公式结构的特征与性质，学生对知识的理解也就只能停留在表面。挖掘高斯算法中数和形这两种基本的表达方式以及它们之间的相互转换，是将理解推向了深入。
教师可以引导学生观察等差数列前n项和公式Sn=n（a1+an）2的结构特征，再结合推导过程所用到的等差数列等和性质，挖掘公式中a1+an2的中点几何特征，n2所蕴含的配对思想，以及Sn=na1+n（n-1）2d中对称轴体现的等和性质等，帮助学生理解代数式子的几何意义，揭示公式所蕴含的思想方法，实现代数与几何的相互转换。因此，在本节课，笔者增加了一个对高斯算法原理感悟的评价环节，并设计了这样一个评价问题：an是等差数列，Sn是其前n项和，a1>0，S4=S8，数列an的前多少项和最大？这个问题可以从知识性评价、方法性评价、素养性评价三个角度来展开讨论。
1.知识性评价
大部分学生通过S4=S8得到a1=-112d，d<0，代入公式Sn=na1+n（n-1）2d，得Sn=d2n2-6dn，因此，當n=6时，Sn最大。如果教学停留于此，前面的高斯算法的设计就会大打折扣。
2.方法性评价
学生认知的困惑是认知冲突的结果，也是认知结构重建，把认知推向深入的契机。教师可以引导学生思考第一个问题：本题要求Sn的最大值，Sn是n的二次函数，二次函数取得最大值的条件是什么？怎么找到Sn的对称轴？Sn的对称轴具有等和性，S4=S8不就是表达等和性吗？由此，学生可以很快地找到对称轴n=6，问题得以解决。
3.素养性评价
教师继续引导学生思考第二个问题：等差数列的求和公式有两个，能用Sn=n（a1+an）2来解决吗？代数的方法就是函数的方法，从几何意义的角度来思考，Sn=n（a1+an）2描述了数列的中心对称性质，即等和性，由S4=S8能知道数列an的对称中心吗？因为a5+a6+a7+a8=0，从而a6+a7=0，由a1>0，得a6>0，a7<0，所以前6项和最大。素养性评价的价值在于得出了解决一般数列前n项和的最值问题的思路：判断数列的项的正负，即数列前n项和的最值问题，本质上就是项的正负问题。素养性评价是当前教学中比较欠缺的，因此，在课堂上，如果时间允许，教师还可以继续强化这样的素养评价：等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a4=18，S17=459，求（-1）na3n的前n项和Tn。该题通过（-1）n把两个等差数列糅合在一起，考查学生分类处理、正负符号处理的能力，既可以评价等差数列知识，又可以评价分类讨论的方法，还可以评价学生对等差数列等和性质的认识。素养评价的核心是学生会用数学的视角观察和思考世界，即用数学的形式表达对客观世界的思考。
三、结语
从等差到等和，从公式的代数形式到等差数列的几何对称，从具体到一般，讲好数学故事是培育数学文化的重要环节。数学故事的文化性在于其丰富的思想性、思辨性和情境性。因此挖掘数学故事中思想方法的典型性、思维活动的创造性、数学形式的深刻性，让其所孕育的概念、法则适时地回归本真，促进数学形式与本质的和谐统一，才有利于学生的理解，才有利于创新思维的培养，促进核心素养的发展。
（注：本文系广西八桂教育家摇篮工程系列成果之一）
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.