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摘 要：北师大版小学数学五年级上册“尝试与猜测”的内容前置，面向四年级学生执教。教学中，引导学生遇到问题敢想、敢猜、敢试，在不断地尝试与猜测的过程中发现规律或模式；将学生原有的认识和经验作为教学资源外显出来组织全班交流，从而使课堂由传统的“一言堂”为“群言堂”，引导学生在思维的碰撞中去读懂他人的想法。
关键词：尝试与猜测 思考 原点
“尝试与猜测”是北师大版小学数学五年级上册第99～100页的内容，我将这一教学内容前置，面向四年级学生执教。
一、课堂实录
（一）谈话引入，直面问题
师 同学们，关于中国古代的数学名题，有了解的吗？说一说。
生 杨辉三角。
生 韩信点兵。
生 李白买酒。
生 以碗知僧。
师 1500多年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个问题——
（出示：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？）
生 （脱口而出）鸡兔同笼问题！
师 哈哈，大家都知道啊！这道题目的叙述方式是古代文言文，你们明白吗？
生 这里的“雉”就是指“鸡”，“头”就是“脑袋”，“足”就是“腿”或者“脚”，“几何”应该是“多少”的意思。
师 很准确。谁来具体解读一下这道题目是什么意思？
生 这道题目的意思就是：现在有鸡和兔关在同一个笼子里，从上面数有35只头，从下面数有94条腿，问：鸡和兔各有多少只？
（二）探究解法，顺势而为
师 你能解决这个问题吗？大家先独立思考，试着做一做。
（学生尝试做。教师巡视，了解学生的作答情况。随后，展示刘汉唐同学的想法，见图1。）
兔：（94-35×2）÷2=12（只）
鸡：35-12=23（只）
图1
生 （刘汉唐同学）我先假设35只全是鸡，这样有70条腿，少了24条腿，除以2，得到12，就是12只兔。再算鸡：35-12=23。
师 听明白他的想法了吗？
（学生有的明白，有的不明白。）
師 有问题吗？可直接与当事人交流。
生 [詹惠宁同学走上前，指着算式（94-35×2）÷2]我还是不太明白这里相除算出的怎么就是兔的只数。
生 （刘汉唐同学）35只全是鸡，共有70条腿，少了24条腿。把鸡换成兔，每把1只鸡换成兔，就会多2条腿，这样就需要把12只鸡换成兔，才能把少的那24条腿补上。这样就得到12只兔，23只鸡。
生 （李禹墨同学）刘汉唐假设全是鸡，还可以假设全是兔。每只兔有4条腿，35只兔有140条腿，多出46条腿。把兔换成鸡，每换1只就少2条腿，这样要换23只，才能把多出的46条腿抵消。这样就得到23只鸡，12只兔。
师 你们是怎么想到用这样的方法解决问题的？
生 在课外班上学的，这种方法叫假设法。
师 哦？我想了解一下，有多少人曾经在课外班上学过？请举手示意我。
（全班45人中有24人举手。）
师 好的。这个问题中的头和腿的数量有点多，我们研究问题时可先从简单一些的进行思考，下面我们把数变小一些。
（三）初步建构，感受策略
1.初步感受“尝试与猜测”，积累“从头开始想问题”的活动经验。
（出示：今有鸡兔同笼，上有7个头，下有20条腿。问鸡、兔各有几只？）
师 现在请大家把之前已有的想法暂时清空，从头开始想问题。我们能不能先来大胆地猜一猜：鸡和兔可能各有几只？比如，鸡的数量可不可能是8只？
生 不可能。因为鸡和兔一共才有7只。
生 鸡的数量也不可能是7只。
生 但鸡的数量一定比0大。
师 也就是说，鸡的数量应该在一个范围内。
生 大于0小于7。
（教师板书：0<鸡的数量<7。）
师 再进一步猜想——
生 如果鸡是2只，兔就是5只。
生 鸡1只，兔6只。
生 鸡3只，兔4只。
生 鸡4只，兔3只。
师 谁对呢？根据什么去验证？
生 算腿数，总腿数得是20条才行。
（教师结合学生的回答，在黑板上画出表格，随机填上数据，见表1。）
师 还有其他可能吗？
生 （张一帆同学）鸡2只，兔4只，总腿数也是20条。
（教师在表格下方板书：2、4、20。）
生 （丁忆欧同学）不对，如果这样，那鸡和兔加起来就是6只而不是7只了。
（教师板书：6。）
生 （张一帆同学）哦，是这样，我想错了。
师 刚才同学们的争论很精彩，我们既要把欣赏的掌声送给敢于猜想的张一帆同学，也要把赞美的大拇指送给敢于质疑的丁忆欧同学。
师 （指着黑板上的表格）问题解决了吗？
生 解决了。
（教师圈出表格中正确的一组答案。）
师 回顾刚才研究问题的过程，我们是怎么解决的？
生 猜出来的。
师 嗯，解决数学问题时大胆猜测很重要！历史上有很多伟大的数学家、科学家在解决问题时都是从猜测这一步开始的。还有吗？
生 先试着猜，还要对猜的结果进行验证，然后再把不合理的答案排除掉。
师 哦，看来光猜还不行，还需要经过验证才放心。具体说说是怎么验证的？
生 猜头数时要考虑腿数，拿腿数去验证；猜腿数时要考虑头数，用头数去验证。 师 太棒了！这就是我们这节课要探讨的解决问题的策略。
（板书：尝试与猜测。）
师 想自己再尝试解决一个问题吗？
生 想！
師 我们再看一个问题。
2.运用经验，解决问题。
（出示：今有鸡兔同笼，上有20个头，下有54条腿。问鸡、兔各有几只？学生独立尝试解决。教师巡视，了解学生的作答情况。之后，展示刘渊禾同学的想法，见图2。）
生 （刘渊禾同学）我先从鸡的数量19开始试，鸡是19只，兔是1只，算出总腿数42条，不对；鸡是18只，兔是2只，算出总腿数是44条，也不对；接着试，鸡是17只，兔是3只，算出总腿数是46条，还不对。这时，我发现了一个规律，鸡每减少1只，兔就要增加1只，这样腿数就会增加2条。因为腿数是54条，鸡的数量肯定要一直减少，后面再试时我就不用算了，腿数依次加2就行了。写到鸡是13只，兔是7只时，腿数正好是54条，这一组就是正确答案。
（教室里自发响起掌声。）
师 掌声代表民意。请大家仔细观察表格，变化的是什么？不变的是什么？
生 鸡和兔的数量在发生变化，腿数也在发生变化。
生 鸡的数量依次减少1，兔的数量依次增加1，腿数依次增加2。
生 在这个过程中，鸡和兔的总数20是不变的。
师 你们观察得真细致。刘渊禾同学就是在借助表格列举的过程中通过观察发现了这样的规律，并借助这个规律找到了正确答案。
生 （安乐澜同学）刘渊禾是从鸡的数量19开始试，我不是从19开始试的，也发现了类似的规律。
师 你能具体解释一下吗？
生 我先假设鸡和兔平均各占一半，鸡是10只，兔是10只，算出总腿数60条，不对；再试，鸡是11只，兔是9只，算出总腿数是58条，也不对；接着试，鸡是12只，兔是8只，算出总腿数是56条，还不对。这时，我就发现，鸡增加1只，兔减少1只，腿数就减少2。于是试到鸡是13只，兔是7只，总腿数是54条，就是正确答案。大家听懂我的想法了吗？还有什么问题吗？
（安乐澜同学的解法见图3。）
生 （王钰涵同学）我和你的想法基本一致。但我不明白试到第4次之后已经找到了正确答案，你为什么后面还要接着试呢？
（教师结合王钰涵同学的发言展示其作答，见图4。）
生 （安乐澜同学）后面接着试，我是想验证一下我发现的规律是不是成立，这样比较放心。
师 以上同学的想法怎么样？请大家评价一下。
生 （刘家诚同学）相比之下我比较欣赏王钰涵和安乐澜的想法。虽然都找到了正确答案，但刘渊禾试了7次，而王钰涵和安乐澜却只试了4次。
师 观察得很细致！为什么会这样？
生 那是因为他们试的起点不同，刘渊禾从19开始试，而王钰涵和安乐澜从10开始试，所以后者试的次数相对就少些。
生 所以说，开始猜时不一定非得从头开始尝试，还可以从中间开始尝试。
（教师展示邱晨朔同学的想法，见图5。）
生 （邱晨朔同学）我这样试的，鸡是1只，兔是19只，算出总腿数是78只；鸡是5只，兔是15只，总腿数是70只；鸡是7只，兔是13只，总腿数是66只。我发现，鸡增加4只，兔减少4只，总腿数就减少8；鸡增加2只，兔减少2只，总腿数就减少4。这样可以确定，鸡每增加1只，兔减少1只，总腿数就减少2。题目中总腿数是54条，还需减少66-54=12（条），这样还需要增加12÷2=7（只）鸡，最后确定鸡是13只，兔是7只，为确保答案正确，我还进行了验证。大家听明白我的想法了吗？
生 （鞠然同学）你的想法很好，连猜带算，通过你的讲解，我明白了前面“假设法”的道理。
生 （郑可瑞同学）我很欣赏邱晨朔的思路，他也是从鸡是1只开始试的，但后面接下来试的不是2只而是5只、7只，这样跳跃着试，在试中不断地调整，可以逐步缩小尝试的范围，就可以减少试的次数而快速找到答案。
生 （王润基同学）我只试了3次，就找到答案了。
师 给大家展示一下你的方法。
（教师展示王润基同学的解答，见图6。）
生 （王润基同学）我尝试、验证的方法以及发现的规律和前面的同学相同，只不过我是从鸡是15只、兔是5只开始试的，这样只需试3次就行了。
生 王润基的方法再次说明尝试的起点很重要。
师 大家的分析很有见地！回顾上述问题的解决过程，我们应用的策略是——尝试、猜测、调整、验证。请大家再来看两个问题。
（四）变式体验，拓展提升
（出示：乐乐的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，总值5.1元。1角和5角的硬币各有多少枚？）
师 看到这个问题你有什么感受？
生 这也是鸡兔同笼问题！
师 哪里有鸡，哪里有兔？
生 1角硬币相当于1条腿的鸡，5角硬币相当于5条腿的兔，共有27个头，51条腿。问鸡兔各几只？
师 哈哈，这里的鸡和兔长得都有点儿不正常啊！
（学生笑。教师再出示：自行车和三轮车共26辆，共有60个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？）
生 还是鸡兔同笼问题！
生 自行车相当于正常的鸡，三轮车相当于3条腿的不正常的兔，共有26个头，60条腿。问鸡兔各几只？
生 虽然素材不同，但是问题的本质是一样的。
生 解决的办法和前面一样，借助于表格列举，大胆尝试、猜测、验证，根据规律快速调整，问题也就解决了。
师 说得真好！大家对问题的认识又提升了。
（五）回顾过程，归纳总结 师 回顾这节课的学习，你有什么收获？给你带来了哪些启发或感受？
生 以前在课外班上学习时就是列几个公式解题。可通过这节课的学习，我知道了鸡兔同笼问题还可以借助表格工具来尝试与猜测，从头开始想，还能从中发现一些小规律。这是我在这节课上的收获。
生 这节课我的最大收获是，看问题还可以回到原始去想。还有类似的问题可以归为一类，遇到难解的问题时可以看看像以前学过的什么问题。
生 不只假设可以解决鸡兔同笼问题，猜想和枚举也可以解决。
生 我最大的启发是：在这以前我一直用公式解决问题，可学了这节课我发现重要的不是那些没有规律的公式，而是有规律的猜想。
生 我发现尝试与猜测在数学中很重要，比那些公式更简单，更容易记住，在解决没遇到过的难题的时候，没有公式，但可以列表发现规律来进一步找到答案。总结一句：大胆猜测最重要！
师 还有很多同学想发表感言，大家可以把感受写在纸条上课下“私信”给我。谢谢同学们的积极参与和精彩交流！
二、学习评价
为了解学生在学习“尝试与猜测”之后的效果和面对问题时的真实思考情况，我在一周后的思维评价作业中设计了这样的题目：
在一场NBA篮球赛中，姚明开场后不久连连得分，已知他投中16个球（没有罚球），共得36分。姚明投中了多少个2分球，多少个3分球？
我和学生约定：解答此题时，尽量详实地写出思考过程，让他人能看到你的真实想法。全班45人，学生解答情况详见表2：
除1人不会解答、方程法3人中有1人解方程出现错误外，其余学生全部解答正确，其中用列表枚举尝试解答的有31人，占68.9%。学生作答典例见图7、图8：
三、教学思考
本次教学前置的尝试基于两点原因：首先，这是一节与外省市的学术交流公开课，在确定教学这节课时已临近期末尾声，五年级所有班级学生已经学完此部分内容，故只能选择与我所任教的本班四年级学生一起学习。其次，虽然按正常编排学习时间提前了半年，但四年级学生对“鸡兔同笼”问题并不陌生，他们经常在课前“数学三分钟演讲”中与学伴分享此类问题，并乐此不疲。为此，我头脑中产生了一连串的大胆疑问：四年级学生现有的认知基础和学习经验能否帮助他们解决“鸡兔同笼”问题？如果真把这样的问题提前抛给学生，学生的接受度会如何？他们会有怎样的思考、反馈与表现？四年级学生对尝试解决此类问题的生命力到底有多强，会不会创造出另一重生长和惊喜？我很想知道。这一次教学，我更多地从数学的视界阐释教学的另一种意义：伴随数学知识的发生与发展过程，引导学生在朴素的数学学习中，遇到问题退回原点，静下心来进行陌生化的数学思考，在自主探究中带着理性的思考主动寻求问题的本质之理，创造数学中更多潜在的可能。
（一）最原始的，也是最本质的
本课的课题是“尝试与猜测”，解决“鸡兔同笼”问题的策略不止一种，假设法、方程法、“抬腿法”等都可以解决，为什么教材偏偏定位在“尝试与猜测”？在解决问题时，敢于大胆尝试，有根据地猜测、推断，合理地验证，灵活地调整，这些都有助于学生回到原点、“从头开始想问题”，帮助学生逐步积累数学的基本活动经验。其实，数学的发生与发展过程就是一场“从头到尾”思考问题的活动过程。从这个意义上说，“尝试与猜测”不仅是一种重要的解决问题的策略，一种从头开始想问题、研究问题的思想方法，更是一种数学思维活动经验逐步积累的过程，一种难能可贵的看问题的角度和数学精神。某种意义上，“鸡兔同笼”问题只是体现上述策略、方法、过程、经验学习的载体，学生习得的不仅仅是求得“鸡兔同笼”问题的解，而且要明白解决这类问题策略方法背后的道理，更重要的是对“此类”与“彼类”数学问题的解决过程有一个更加明晰而深刻的认识。遇到问题，敢想、敢猜、敢试，在不断地尝试与猜测的过程中发现规律或模式。最原始的，也是最本质的。在这样的思考中，我逐步明晰了这节课的目标定位，并在具体实施中得到了充分体现。正如课尾交流和课后学生给我的“私信”（如图9～图11）那样，让我更清醒地意识到本节课的目标定位带给学生数学思维、数学理解及数学思考上的重要价值和深远影响。学生学到了什么？也许很多年以后，很多知识、公式学生都忘记了，但这种通过尝试与猜测解决问题的经验历程，学生永远不会忘。
（二）读懂与交流，转变学习方式的价值
我必须直面的一个现实是：四年级学生已经有相当一部分人在课外辅导班上学习过“鸡兔同笼”的问题。既然无法逃脱必须面对，那就先顺应现实，顺应学生已有的想法，不回避。將学生原有的认识和经验作为教学资源外显出来组织全班交流，这是最具理性的因势利导。我组织生生交流，打破课堂由传统的“一言堂”为“群言堂”，引导学生在思维的碰撞中去读懂他人的想法。“听懂他的想法了吗？还有什么问题吗？直接与当事人交流。”而我在关键时刻把学生拉回原点：“现在请大家把之前已有这些想法暂时清空，从头开始想问题。我们能不能先来大胆地猜一猜：鸡和兔可能各有几只？”是为了帮助学生感受“尝试与猜测”、积累“从头开始想问题”的活动经验。在后续学生运用经验解决新问题展示不同思维策略的过程中，我注重引导学生之间倾听、思考、表达、交流、欣赏、分享、质疑、批判等数学思维习惯的培养，在读懂他人的想法中达成思维的互相碰撞与交流，这就是学习中真正的“习得”。两次对数学问题思考、研究过程的回顾，是为了帮助学生“从头开始想问题”，让学生的思维、理解以及对数学的认识走向深入。
关键词：尝试与猜测 思考 原点
“尝试与猜测”是北师大版小学数学五年级上册第99～100页的内容，我将这一教学内容前置，面向四年级学生执教。
一、课堂实录
（一）谈话引入，直面问题
师 同学们，关于中国古代的数学名题，有了解的吗？说一说。
生 杨辉三角。
生 韩信点兵。
生 李白买酒。
生 以碗知僧。
师 1500多年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个问题——
（出示：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？）
生 （脱口而出）鸡兔同笼问题！
师 哈哈，大家都知道啊！这道题目的叙述方式是古代文言文，你们明白吗？
生 这里的“雉”就是指“鸡”，“头”就是“脑袋”，“足”就是“腿”或者“脚”，“几何”应该是“多少”的意思。
师 很准确。谁来具体解读一下这道题目是什么意思？
生 这道题目的意思就是：现在有鸡和兔关在同一个笼子里，从上面数有35只头，从下面数有94条腿，问：鸡和兔各有多少只？
（二）探究解法，顺势而为
师 你能解决这个问题吗？大家先独立思考，试着做一做。
（学生尝试做。教师巡视，了解学生的作答情况。随后，展示刘汉唐同学的想法，见图1。）
兔：（94-35×2）÷2=12（只）
鸡：35-12=23（只）
图1
生 （刘汉唐同学）我先假设35只全是鸡，这样有70条腿，少了24条腿，除以2，得到12，就是12只兔。再算鸡：35-12=23。
师 听明白他的想法了吗？
（学生有的明白，有的不明白。）
師 有问题吗？可直接与当事人交流。
生 [詹惠宁同学走上前，指着算式（94-35×2）÷2]我还是不太明白这里相除算出的怎么就是兔的只数。
生 （刘汉唐同学）35只全是鸡，共有70条腿，少了24条腿。把鸡换成兔，每把1只鸡换成兔，就会多2条腿，这样就需要把12只鸡换成兔，才能把少的那24条腿补上。这样就得到12只兔，23只鸡。
生 （李禹墨同学）刘汉唐假设全是鸡，还可以假设全是兔。每只兔有4条腿，35只兔有140条腿，多出46条腿。把兔换成鸡，每换1只就少2条腿，这样要换23只，才能把多出的46条腿抵消。这样就得到23只鸡，12只兔。
师 你们是怎么想到用这样的方法解决问题的？
生 在课外班上学的，这种方法叫假设法。
师 哦？我想了解一下，有多少人曾经在课外班上学过？请举手示意我。
（全班45人中有24人举手。）
师 好的。这个问题中的头和腿的数量有点多，我们研究问题时可先从简单一些的进行思考，下面我们把数变小一些。
（三）初步建构，感受策略
1.初步感受“尝试与猜测”，积累“从头开始想问题”的活动经验。
（出示：今有鸡兔同笼，上有7个头，下有20条腿。问鸡、兔各有几只？）
师 现在请大家把之前已有的想法暂时清空，从头开始想问题。我们能不能先来大胆地猜一猜：鸡和兔可能各有几只？比如，鸡的数量可不可能是8只？
生 不可能。因为鸡和兔一共才有7只。
生 鸡的数量也不可能是7只。
生 但鸡的数量一定比0大。
师 也就是说，鸡的数量应该在一个范围内。
生 大于0小于7。
（教师板书：0<鸡的数量<7。）
师 再进一步猜想——
生 如果鸡是2只，兔就是5只。
生 鸡1只，兔6只。
生 鸡3只，兔4只。
生 鸡4只，兔3只。
师 谁对呢？根据什么去验证？
生 算腿数，总腿数得是20条才行。
（教师结合学生的回答，在黑板上画出表格，随机填上数据，见表1。）
师 还有其他可能吗？
生 （张一帆同学）鸡2只，兔4只，总腿数也是20条。
（教师在表格下方板书：2、4、20。）
生 （丁忆欧同学）不对，如果这样，那鸡和兔加起来就是6只而不是7只了。
（教师板书：6。）
生 （张一帆同学）哦，是这样，我想错了。
师 刚才同学们的争论很精彩，我们既要把欣赏的掌声送给敢于猜想的张一帆同学，也要把赞美的大拇指送给敢于质疑的丁忆欧同学。
师 （指着黑板上的表格）问题解决了吗？
生 解决了。
（教师圈出表格中正确的一组答案。）
师 回顾刚才研究问题的过程，我们是怎么解决的？
生 猜出来的。
师 嗯，解决数学问题时大胆猜测很重要！历史上有很多伟大的数学家、科学家在解决问题时都是从猜测这一步开始的。还有吗？
生 先试着猜，还要对猜的结果进行验证，然后再把不合理的答案排除掉。
师 哦，看来光猜还不行，还需要经过验证才放心。具体说说是怎么验证的？
生 猜头数时要考虑腿数，拿腿数去验证；猜腿数时要考虑头数，用头数去验证。 师 太棒了！这就是我们这节课要探讨的解决问题的策略。
（板书：尝试与猜测。）
师 想自己再尝试解决一个问题吗？
生 想！
師 我们再看一个问题。
2.运用经验，解决问题。
（出示：今有鸡兔同笼，上有20个头，下有54条腿。问鸡、兔各有几只？学生独立尝试解决。教师巡视，了解学生的作答情况。之后，展示刘渊禾同学的想法，见图2。）
生 （刘渊禾同学）我先从鸡的数量19开始试，鸡是19只，兔是1只，算出总腿数42条，不对；鸡是18只，兔是2只，算出总腿数是44条，也不对；接着试，鸡是17只，兔是3只，算出总腿数是46条，还不对。这时，我发现了一个规律，鸡每减少1只，兔就要增加1只，这样腿数就会增加2条。因为腿数是54条，鸡的数量肯定要一直减少，后面再试时我就不用算了，腿数依次加2就行了。写到鸡是13只，兔是7只时，腿数正好是54条，这一组就是正确答案。
（教室里自发响起掌声。）
师 掌声代表民意。请大家仔细观察表格，变化的是什么？不变的是什么？
生 鸡和兔的数量在发生变化，腿数也在发生变化。
生 鸡的数量依次减少1，兔的数量依次增加1，腿数依次增加2。
生 在这个过程中，鸡和兔的总数20是不变的。
师 你们观察得真细致。刘渊禾同学就是在借助表格列举的过程中通过观察发现了这样的规律，并借助这个规律找到了正确答案。
生 （安乐澜同学）刘渊禾是从鸡的数量19开始试，我不是从19开始试的，也发现了类似的规律。
师 你能具体解释一下吗？
生 我先假设鸡和兔平均各占一半，鸡是10只，兔是10只，算出总腿数60条，不对；再试，鸡是11只，兔是9只，算出总腿数是58条，也不对；接着试，鸡是12只，兔是8只，算出总腿数是56条，还不对。这时，我就发现，鸡增加1只，兔减少1只，腿数就减少2。于是试到鸡是13只，兔是7只，总腿数是54条，就是正确答案。大家听懂我的想法了吗？还有什么问题吗？
（安乐澜同学的解法见图3。）
生 （王钰涵同学）我和你的想法基本一致。但我不明白试到第4次之后已经找到了正确答案，你为什么后面还要接着试呢？
（教师结合王钰涵同学的发言展示其作答，见图4。）
生 （安乐澜同学）后面接着试，我是想验证一下我发现的规律是不是成立，这样比较放心。
师 以上同学的想法怎么样？请大家评价一下。
生 （刘家诚同学）相比之下我比较欣赏王钰涵和安乐澜的想法。虽然都找到了正确答案，但刘渊禾试了7次，而王钰涵和安乐澜却只试了4次。
师 观察得很细致！为什么会这样？
生 那是因为他们试的起点不同，刘渊禾从19开始试，而王钰涵和安乐澜从10开始试，所以后者试的次数相对就少些。
生 所以说，开始猜时不一定非得从头开始尝试，还可以从中间开始尝试。
（教师展示邱晨朔同学的想法，见图5。）
生 （邱晨朔同学）我这样试的，鸡是1只，兔是19只，算出总腿数是78只；鸡是5只，兔是15只，总腿数是70只；鸡是7只，兔是13只，总腿数是66只。我发现，鸡增加4只，兔减少4只，总腿数就减少8；鸡增加2只，兔减少2只，总腿数就减少4。这样可以确定，鸡每增加1只，兔减少1只，总腿数就减少2。题目中总腿数是54条，还需减少66-54=12（条），这样还需要增加12÷2=7（只）鸡，最后确定鸡是13只，兔是7只，为确保答案正确，我还进行了验证。大家听明白我的想法了吗？
生 （鞠然同学）你的想法很好，连猜带算，通过你的讲解，我明白了前面“假设法”的道理。
生 （郑可瑞同学）我很欣赏邱晨朔的思路，他也是从鸡是1只开始试的，但后面接下来试的不是2只而是5只、7只，这样跳跃着试，在试中不断地调整，可以逐步缩小尝试的范围，就可以减少试的次数而快速找到答案。
生 （王润基同学）我只试了3次，就找到答案了。
师 给大家展示一下你的方法。
（教师展示王润基同学的解答，见图6。）
生 （王润基同学）我尝试、验证的方法以及发现的规律和前面的同学相同，只不过我是从鸡是15只、兔是5只开始试的，这样只需试3次就行了。
生 王润基的方法再次说明尝试的起点很重要。
师 大家的分析很有见地！回顾上述问题的解决过程，我们应用的策略是——尝试、猜测、调整、验证。请大家再来看两个问题。
（四）变式体验，拓展提升
（出示：乐乐的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，总值5.1元。1角和5角的硬币各有多少枚？）
师 看到这个问题你有什么感受？
生 这也是鸡兔同笼问题！
师 哪里有鸡，哪里有兔？
生 1角硬币相当于1条腿的鸡，5角硬币相当于5条腿的兔，共有27个头，51条腿。问鸡兔各几只？
师 哈哈，这里的鸡和兔长得都有点儿不正常啊！
（学生笑。教师再出示：自行车和三轮车共26辆，共有60个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？）
生 还是鸡兔同笼问题！
生 自行车相当于正常的鸡，三轮车相当于3条腿的不正常的兔，共有26个头，60条腿。问鸡兔各几只？
生 虽然素材不同，但是问题的本质是一样的。
生 解决的办法和前面一样，借助于表格列举，大胆尝试、猜测、验证，根据规律快速调整，问题也就解决了。
师 说得真好！大家对问题的认识又提升了。
（五）回顾过程，归纳总结 师 回顾这节课的学习，你有什么收获？给你带来了哪些启发或感受？
生 以前在课外班上学习时就是列几个公式解题。可通过这节课的学习，我知道了鸡兔同笼问题还可以借助表格工具来尝试与猜测，从头开始想，还能从中发现一些小规律。这是我在这节课上的收获。
生 这节课我的最大收获是，看问题还可以回到原始去想。还有类似的问题可以归为一类，遇到难解的问题时可以看看像以前学过的什么问题。
生 不只假设可以解决鸡兔同笼问题，猜想和枚举也可以解决。
生 我最大的启发是：在这以前我一直用公式解决问题，可学了这节课我发现重要的不是那些没有规律的公式，而是有规律的猜想。
生 我发现尝试与猜测在数学中很重要，比那些公式更简单，更容易记住，在解决没遇到过的难题的时候，没有公式，但可以列表发现规律来进一步找到答案。总结一句：大胆猜测最重要！
师 还有很多同学想发表感言，大家可以把感受写在纸条上课下“私信”给我。谢谢同学们的积极参与和精彩交流！
二、学习评价
为了解学生在学习“尝试与猜测”之后的效果和面对问题时的真实思考情况，我在一周后的思维评价作业中设计了这样的题目：
在一场NBA篮球赛中，姚明开场后不久连连得分，已知他投中16个球（没有罚球），共得36分。姚明投中了多少个2分球，多少个3分球？
我和学生约定：解答此题时，尽量详实地写出思考过程，让他人能看到你的真实想法。全班45人，学生解答情况详见表2：
除1人不会解答、方程法3人中有1人解方程出现错误外，其余学生全部解答正确，其中用列表枚举尝试解答的有31人，占68.9%。学生作答典例见图7、图8：
三、教学思考
本次教学前置的尝试基于两点原因：首先，这是一节与外省市的学术交流公开课，在确定教学这节课时已临近期末尾声，五年级所有班级学生已经学完此部分内容，故只能选择与我所任教的本班四年级学生一起学习。其次，虽然按正常编排学习时间提前了半年，但四年级学生对“鸡兔同笼”问题并不陌生，他们经常在课前“数学三分钟演讲”中与学伴分享此类问题，并乐此不疲。为此，我头脑中产生了一连串的大胆疑问：四年级学生现有的认知基础和学习经验能否帮助他们解决“鸡兔同笼”问题？如果真把这样的问题提前抛给学生，学生的接受度会如何？他们会有怎样的思考、反馈与表现？四年级学生对尝试解决此类问题的生命力到底有多强，会不会创造出另一重生长和惊喜？我很想知道。这一次教学，我更多地从数学的视界阐释教学的另一种意义：伴随数学知识的发生与发展过程，引导学生在朴素的数学学习中，遇到问题退回原点，静下心来进行陌生化的数学思考，在自主探究中带着理性的思考主动寻求问题的本质之理，创造数学中更多潜在的可能。
（一）最原始的，也是最本质的
本课的课题是“尝试与猜测”，解决“鸡兔同笼”问题的策略不止一种，假设法、方程法、“抬腿法”等都可以解决，为什么教材偏偏定位在“尝试与猜测”？在解决问题时，敢于大胆尝试，有根据地猜测、推断，合理地验证，灵活地调整，这些都有助于学生回到原点、“从头开始想问题”，帮助学生逐步积累数学的基本活动经验。其实，数学的发生与发展过程就是一场“从头到尾”思考问题的活动过程。从这个意义上说，“尝试与猜测”不仅是一种重要的解决问题的策略，一种从头开始想问题、研究问题的思想方法，更是一种数学思维活动经验逐步积累的过程，一种难能可贵的看问题的角度和数学精神。某种意义上，“鸡兔同笼”问题只是体现上述策略、方法、过程、经验学习的载体，学生习得的不仅仅是求得“鸡兔同笼”问题的解，而且要明白解决这类问题策略方法背后的道理，更重要的是对“此类”与“彼类”数学问题的解决过程有一个更加明晰而深刻的认识。遇到问题，敢想、敢猜、敢试，在不断地尝试与猜测的过程中发现规律或模式。最原始的，也是最本质的。在这样的思考中，我逐步明晰了这节课的目标定位，并在具体实施中得到了充分体现。正如课尾交流和课后学生给我的“私信”（如图9～图11）那样，让我更清醒地意识到本节课的目标定位带给学生数学思维、数学理解及数学思考上的重要价值和深远影响。学生学到了什么？也许很多年以后，很多知识、公式学生都忘记了，但这种通过尝试与猜测解决问题的经验历程，学生永远不会忘。
（二）读懂与交流，转变学习方式的价值
我必须直面的一个现实是：四年级学生已经有相当一部分人在课外辅导班上学习过“鸡兔同笼”的问题。既然无法逃脱必须面对，那就先顺应现实，顺应学生已有的想法，不回避。將学生原有的认识和经验作为教学资源外显出来组织全班交流，这是最具理性的因势利导。我组织生生交流，打破课堂由传统的“一言堂”为“群言堂”，引导学生在思维的碰撞中去读懂他人的想法。“听懂他的想法了吗？还有什么问题吗？直接与当事人交流。”而我在关键时刻把学生拉回原点：“现在请大家把之前已有这些想法暂时清空，从头开始想问题。我们能不能先来大胆地猜一猜：鸡和兔可能各有几只？”是为了帮助学生感受“尝试与猜测”、积累“从头开始想问题”的活动经验。在后续学生运用经验解决新问题展示不同思维策略的过程中，我注重引导学生之间倾听、思考、表达、交流、欣赏、分享、质疑、批判等数学思维习惯的培养，在读懂他人的想法中达成思维的互相碰撞与交流，这就是学习中真正的“习得”。两次对数学问题思考、研究过程的回顾，是为了帮助学生“从头开始想问题”，让学生的思维、理解以及对数学的认识走向深入。