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摘 要：课堂教学的有效性始终是备受关注的话题，然而尽管教师备课精心，上课用心，但有时仍然难以实现教与学之间的平衡。数学课堂应关注知识背后的数学思想，关注学习新知之前的原始想法，关注意外生成背后的真实想法，以提高课堂教学质效，建构有效数学课堂。
[关键词 ] 数学思想；原始想法；真实想法；意外生成
课改至今，广大数学教师进入课堂的姿态更具理性：对于新课程理念的把握、课堂教学的目标达成、学习素材的选择、教学方式的灵活运用等，多数教师都有了比较清晰的认识。然而在不少课堂上，却仍然会看到“尽管老师备课清清楚楚一条线，但是学生上课却模模糊糊一大片”，教师的教与学生的学二者之间并不平衡，有效数学课堂成了教师心头可望却不可即的美丽梦想。本文从三个“关注”着眼，结合具体案例，谈谈建构有效数学课堂的一些思考。
一、 关注浅显知识背后的数学思想
就小学阶段而言，很多数学知识看上去较为浅显易懂，简单明了，但里面却蕴含着一些深刻的数学思想。教师应关注浅显知识背后的数学思想，从数学思想的角度把握教材，探寻教材的灵魂，将各种具体的、零散的数学知识凝结成知识结构，以数学思想方法引领具体数学知识教学。
以“5的乘法口诀”教学为例，这是二年级的学生第一次接触乘法口诀，但由于五个五个跳着数的数数技能，学生在一年級下册第一单元的学习中就已经具备了，加上乘法口诀朗朗上口，部分学生在未教前已会背诵，因此可将本课重点放在探索5的乘法口诀的规律上，着重引导孩子感受乘法口诀中的数字既有变化，又有内在联系和相互制约，从而体会到“当一个数变化，另一个数不变时，得数变化是有规律的”这种朴素的函数思想。
教学时，教师结合教材中“数松果”的活动，引导学生在数的基础上列出乘法算式，并编出相应的乘法口诀后，进而开展如下教学：
1.观察9个算式，找一找有什么规律？
2.（出示课件）9个算式中，什么变了，什么不变？
3.如果突然间忘记了“五七多少”，怎么办？
4.回顾5的乘法口诀，静静地在脑中想一想口诀之间发生的变化。（课件再次逐行出示在编制口诀时曾经出现过的方格图及右边的乘法算式及乘法口诀）
……
第1个环节中，让学生发现不变的是都乘以5，变化的是与5相乘的数越来越大，积也随着越来越大。这种对应关系正是函数思想的核心。第2个环节则通过图表方式帮助学生建立起对变量之间变化关系的直观感受，学生进一步发现5的乘法的对应规律。第3个环节鼓励学生采用多种方式探索规律，目的是使学生在探索过程中再次获得变量之间相互依赖关系的切身感受。最后方格图的二度运用，不再停留在之前编制口诀的层面，而是将函数思想与数形结合思想有效结合，学生不仅能感受一一对应、连续性，而且将抽象的数据借助具体的图像展现出来，在动态的过程中更好地把握数量间的变化规律。
事实证明，教学乘法口诀时，如果教师既关注九九乘法口诀表，又关注其背后的数学思想，用数学思想引领课堂教学，通过相关内容的“理性重建”，能使数学课真正“讲活”“讲懂”“讲深”，会带给学生多元而立体的影响、深刻而难忘的痕迹，这才是有效数学课堂的本质。
二、 关注学生新知学习之前的原始想法
奥苏伯尔说：“如果让我把所有的教学规律归结为一句话的话，那就是学生已经知道了些什么？教学必须在此基础上进行。”因为每个学生带着自己的学习经验、生活经验等进入课堂学习时，并不是一张白纸可以任由老师随意涂抹，只有关注学生学习之前的原始想法，才能使他们更积极主动地融入课堂。
以“用字母表示数”为例，这节课内容是学习代数知识的开始，是小学生数学学习的转折点。笔者曾听过三位教师对此课的同课异构：
教师一在课前先玩游戏，用“A、2、6、Q”4张扑克牌算24点，使学生感受到字母可以表示数，上课后再利用情境串“淘气笑笑到游乐场玩”，通过编儿歌“1个游客1张票、2个游客2张票……”引出问题“谁能用一句话来表示这首儿歌”，学生因有课前的铺垫，很轻松便能答出用字母来表示数。
教师二同样在课前也先玩算24点游戏，只是扑克牌换成“A、2、3、6”， 上课后该师借助几把尺子直接引导学生用字母表示什么数。
教师三则在课前让学生欣赏三组图片，分别是CCTV、KFC、NBA，MH370，扑克牌Q、10、K、J，让学生感受到字母可以用来表示事物、标志、特定的数，课始则介入师生年龄关系的互动，引出用字母式表示数量关系。
上述三位教师虽然导入新课的方式不同，但共同之处都是直接让学生感受到用字母可以表示数，这种导入为学生学习新知降低了难度，畅通了“学习通道”，教师很用心地将用字母表示数的知识“掰碎、揉碎”了喂给学生，至于他们为什么要吃、想不想吃、想吃什么、想怎么吃等则被忽视了。
用字母表示数，是学生认识上的一个大飞跃，学生对这样的数学知识会充满哪些好奇和疑问？就此，笔者针对四年级学生进行了调查，3个班级的学生按学力强、中、弱各选取10名，共90名学生接受了调查，惊奇地发现，跟学力无关，学生所写的想研究什么问题很相似，整理归纳如下：1.为什么要用字母表示数？2.怎样表示？3.表示什么数？4. 用字母除了表示数，还能表示什么？5. 要用什么方式去研究？6.谁发明了用字母表示数？7.用字母表示数有没有缺点？8.中学还有用字母表示数吗？这些才是学生学习这堂课前的原始想法，教师只有用心关注学生在学习新知之前的这些原始想法，才能促使学生将这些原始想法与新信息发生作用，去建构属于学生自己的理解，这样的数学课堂也才会更主动、更有效。
三、关注意外生成背后的真实想法
课堂教学过程是师生交往、相互探讨的互动过程。在这样的互动中，思维的流动不再是单向、封闭、一元的，而是多维、开放、多元的。有效课堂不仅取决于教师对教材的认识水平，更取决于教师对课堂的调控艺术和应对意外生成的艺术。即使教师课前再“精心预设”，课上学生往往还是会提出一些出人意料的问题或出现难以预料的错误，令教师害怕和尴尬。这到底是学生“不配合”，还是教师对学生意外生成背后的真实想法不了解呢？
以“认识方程”为例，多种版本的教材都是用天平作为认识方程的引入素材，因为天平更容易让人从直观上认识到左右两边的大小关系。一位教师在执教这节课时，在借助天平图示引出好几组等式及不等式之后，继续出示下图，问：“从这幅图中你获得了哪些数学信息？你们能从这幅图中找到相等的关系吗？该怎么表示？”不曾想到，有一名学生起来直接回答90+90-20=160，一下便乱了教师的“阵脚”。事后教师在反思中，仍然对学生这一“生成”很是不理解，他认为，对照着之前几组等式及不等式的出现，学生不应该生出这样的等式，可事实又摆在面前。
仔细分析，学生的想法是真实、合理的。学生明显受到先前算术思维的影响，直接用算术方法求出未知数。学生的“想法”和老师的“想法”的“对立”正是在于，学生习惯性把已知量和未知量割裂了，老师却需要已知量和未知量融合在一起。如果教师能关注孩子这个意外生成背后的真实想法（也就是算术思维），他完全可以摒弃这种负面干扰，直接追问学生“天平左右两边的相等关系是什么？”让学生的目光聚焦在天平两边；教师也可以就学生的回答顺势写下这个等式，然后引导学生继续观察等量关系，如此还能为后面通过分类建立方程概念提供一个好的素材。
苏霍姆林斯基曾说过：“教学的技巧并不在于能预见到课的所有细节，而在于根据当时的具体判断，巧妙地在学生不知不觉中做出相应的变动。”教师要养成关注学生意外生成背后的真实想法的习惯，从专业的角度去解读和思考对策，化学生真实想法的“弊”为“利”，为课堂教学服务。
虽说教学是一门遗憾的艺术，但教学的有效性却是教师永恒的价值追求。有效的数学课堂，是由师生共同营建的，相信只要教师心中有“思想”，眼里有学生，在教学中持之以恒将“三个关注”贯穿于课堂内外，并通过课堂实践持续磨砺，一定能够建构有效的数学课堂。
[关键词 ] 数学思想；原始想法；真实想法；意外生成
课改至今，广大数学教师进入课堂的姿态更具理性：对于新课程理念的把握、课堂教学的目标达成、学习素材的选择、教学方式的灵活运用等，多数教师都有了比较清晰的认识。然而在不少课堂上，却仍然会看到“尽管老师备课清清楚楚一条线，但是学生上课却模模糊糊一大片”，教师的教与学生的学二者之间并不平衡，有效数学课堂成了教师心头可望却不可即的美丽梦想。本文从三个“关注”着眼，结合具体案例，谈谈建构有效数学课堂的一些思考。
一、 关注浅显知识背后的数学思想
就小学阶段而言，很多数学知识看上去较为浅显易懂，简单明了，但里面却蕴含着一些深刻的数学思想。教师应关注浅显知识背后的数学思想，从数学思想的角度把握教材，探寻教材的灵魂，将各种具体的、零散的数学知识凝结成知识结构，以数学思想方法引领具体数学知识教学。
以“5的乘法口诀”教学为例，这是二年级的学生第一次接触乘法口诀，但由于五个五个跳着数的数数技能，学生在一年級下册第一单元的学习中就已经具备了，加上乘法口诀朗朗上口，部分学生在未教前已会背诵，因此可将本课重点放在探索5的乘法口诀的规律上，着重引导孩子感受乘法口诀中的数字既有变化，又有内在联系和相互制约，从而体会到“当一个数变化，另一个数不变时，得数变化是有规律的”这种朴素的函数思想。
教学时，教师结合教材中“数松果”的活动，引导学生在数的基础上列出乘法算式，并编出相应的乘法口诀后，进而开展如下教学：
1.观察9个算式，找一找有什么规律？
2.（出示课件）9个算式中，什么变了，什么不变？
3.如果突然间忘记了“五七多少”，怎么办？
4.回顾5的乘法口诀，静静地在脑中想一想口诀之间发生的变化。（课件再次逐行出示在编制口诀时曾经出现过的方格图及右边的乘法算式及乘法口诀）
……
第1个环节中，让学生发现不变的是都乘以5，变化的是与5相乘的数越来越大，积也随着越来越大。这种对应关系正是函数思想的核心。第2个环节则通过图表方式帮助学生建立起对变量之间变化关系的直观感受，学生进一步发现5的乘法的对应规律。第3个环节鼓励学生采用多种方式探索规律，目的是使学生在探索过程中再次获得变量之间相互依赖关系的切身感受。最后方格图的二度运用，不再停留在之前编制口诀的层面，而是将函数思想与数形结合思想有效结合，学生不仅能感受一一对应、连续性，而且将抽象的数据借助具体的图像展现出来，在动态的过程中更好地把握数量间的变化规律。
事实证明，教学乘法口诀时，如果教师既关注九九乘法口诀表，又关注其背后的数学思想，用数学思想引领课堂教学，通过相关内容的“理性重建”，能使数学课真正“讲活”“讲懂”“讲深”，会带给学生多元而立体的影响、深刻而难忘的痕迹，这才是有效数学课堂的本质。
二、 关注学生新知学习之前的原始想法
奥苏伯尔说：“如果让我把所有的教学规律归结为一句话的话，那就是学生已经知道了些什么？教学必须在此基础上进行。”因为每个学生带着自己的学习经验、生活经验等进入课堂学习时，并不是一张白纸可以任由老师随意涂抹，只有关注学生学习之前的原始想法，才能使他们更积极主动地融入课堂。
以“用字母表示数”为例，这节课内容是学习代数知识的开始，是小学生数学学习的转折点。笔者曾听过三位教师对此课的同课异构：
教师一在课前先玩游戏，用“A、2、6、Q”4张扑克牌算24点，使学生感受到字母可以表示数，上课后再利用情境串“淘气笑笑到游乐场玩”，通过编儿歌“1个游客1张票、2个游客2张票……”引出问题“谁能用一句话来表示这首儿歌”，学生因有课前的铺垫，很轻松便能答出用字母来表示数。
教师二同样在课前也先玩算24点游戏，只是扑克牌换成“A、2、3、6”， 上课后该师借助几把尺子直接引导学生用字母表示什么数。
教师三则在课前让学生欣赏三组图片，分别是CCTV、KFC、NBA，MH370，扑克牌Q、10、K、J，让学生感受到字母可以用来表示事物、标志、特定的数，课始则介入师生年龄关系的互动，引出用字母式表示数量关系。
上述三位教师虽然导入新课的方式不同，但共同之处都是直接让学生感受到用字母可以表示数，这种导入为学生学习新知降低了难度，畅通了“学习通道”，教师很用心地将用字母表示数的知识“掰碎、揉碎”了喂给学生，至于他们为什么要吃、想不想吃、想吃什么、想怎么吃等则被忽视了。
用字母表示数，是学生认识上的一个大飞跃，学生对这样的数学知识会充满哪些好奇和疑问？就此，笔者针对四年级学生进行了调查，3个班级的学生按学力强、中、弱各选取10名，共90名学生接受了调查，惊奇地发现，跟学力无关，学生所写的想研究什么问题很相似，整理归纳如下：1.为什么要用字母表示数？2.怎样表示？3.表示什么数？4. 用字母除了表示数，还能表示什么？5. 要用什么方式去研究？6.谁发明了用字母表示数？7.用字母表示数有没有缺点？8.中学还有用字母表示数吗？这些才是学生学习这堂课前的原始想法，教师只有用心关注学生在学习新知之前的这些原始想法，才能促使学生将这些原始想法与新信息发生作用，去建构属于学生自己的理解，这样的数学课堂也才会更主动、更有效。
三、关注意外生成背后的真实想法
课堂教学过程是师生交往、相互探讨的互动过程。在这样的互动中，思维的流动不再是单向、封闭、一元的，而是多维、开放、多元的。有效课堂不仅取决于教师对教材的认识水平，更取决于教师对课堂的调控艺术和应对意外生成的艺术。即使教师课前再“精心预设”，课上学生往往还是会提出一些出人意料的问题或出现难以预料的错误，令教师害怕和尴尬。这到底是学生“不配合”，还是教师对学生意外生成背后的真实想法不了解呢？
以“认识方程”为例，多种版本的教材都是用天平作为认识方程的引入素材，因为天平更容易让人从直观上认识到左右两边的大小关系。一位教师在执教这节课时，在借助天平图示引出好几组等式及不等式之后，继续出示下图，问：“从这幅图中你获得了哪些数学信息？你们能从这幅图中找到相等的关系吗？该怎么表示？”不曾想到，有一名学生起来直接回答90+90-20=160，一下便乱了教师的“阵脚”。事后教师在反思中，仍然对学生这一“生成”很是不理解，他认为，对照着之前几组等式及不等式的出现，学生不应该生出这样的等式，可事实又摆在面前。
仔细分析，学生的想法是真实、合理的。学生明显受到先前算术思维的影响，直接用算术方法求出未知数。学生的“想法”和老师的“想法”的“对立”正是在于，学生习惯性把已知量和未知量割裂了，老师却需要已知量和未知量融合在一起。如果教师能关注孩子这个意外生成背后的真实想法（也就是算术思维），他完全可以摒弃这种负面干扰，直接追问学生“天平左右两边的相等关系是什么？”让学生的目光聚焦在天平两边；教师也可以就学生的回答顺势写下这个等式，然后引导学生继续观察等量关系，如此还能为后面通过分类建立方程概念提供一个好的素材。
苏霍姆林斯基曾说过：“教学的技巧并不在于能预见到课的所有细节，而在于根据当时的具体判断，巧妙地在学生不知不觉中做出相应的变动。”教师要养成关注学生意外生成背后的真实想法的习惯，从专业的角度去解读和思考对策，化学生真实想法的“弊”为“利”，为课堂教学服务。
虽说教学是一门遗憾的艺术，但教学的有效性却是教师永恒的价值追求。有效的数学课堂，是由师生共同营建的，相信只要教师心中有“思想”，眼里有学生，在教学中持之以恒将“三个关注”贯穿于课堂内外，并通过课堂实践持续磨砺，一定能够建构有效的数学课堂。