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摘 要：球铰联接是多自由度并联运动模拟台中普遍采用的一种连接方式，但由于球铰间隙的存在，使并联模拟台的运动精度明显降低。利用机器人运动学中的D-H（Denavit-Hartenberg）法推导出铰链间隙对并联模拟台运动的姿态角度的影响，采用MATLAB进行仿真分析。结果表明：针对所设计的并联运动模拟台，球铰间隙为 mm时，并联机构的精度小于 mrad，满足机构运动精度要求。
关键词：球铰 间隙误差 并联模拟台 D-H法 MATLAB仿真
中图分类号：TH115；TP302.7 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）03（c）-0084-02
球铰理论上具有结构简单、运动灵活、耐磨性好和承载力强等优点，常用于并联运动模拟机构。但由于球铰间隙一般较大，对模拟台运动精度的影响不可忽略[1]。
目前，提高球铰精度和刚度的方法，主要有提高加工精度、提高表面质量和采用铰链消隙装置等措施。但随着精度的提高，成本和实现难度均大幅增加，因此，研究铰链间隙对机构精度的影响，从而根据机构精度需要合理确定球铰间隙，优化精度分配，对提高并联机构的性价比意义重大。
1 具有SPS驱动支链的3-DOF并联模拟台的结构
本文针对外场试验用激光通信光端机运动模拟台的技术指标要求，设计了3-DOF（三自由度）并联模拟台的结构[2]，运动模拟台位置精度要求为1 mrad，经误差分配，球铰引起的误差应小于0.5 mrad，3-DOF并联模拟台如图1所示。
如图1所示，三自由度并联运动模拟台由三层平台、三个驱动电动缸、四个过渡支撑杆和一个中心支撑组成。其中：三个平台相互平行且同心，中平台为多边形，动平台和中平台之间有四个固定支撑，两个纵向的电动缸成90°分配，横向的电动缸中心线与基台平行，且与两个纵向电动缸垂直。其原理为控制三个电动缸的伸缩量，以实现并联模拟台横滚、俯仰和偏航的角度，中心支撑主要承载整个摇摆台的重量。
2 球铰间隙模型分析
如图2所示球铰[3]可视为由连杆1和连杆2组成，根据连杆坐标系设定的原则，分别在连杆1、2上建立三维直角坐标系和，且为与静平台固连的球铰球窝中心的静坐标系，为与驱动支链固连的球铰球心的动坐标系。
根据坐标变换法（即为局部动坐标系中任意点在整体静坐标系中的坐标表达式）：
其中，为动坐标系中任意点在静坐标系中的坐标；为点在动坐标系中的坐标；为动坐标系原点在静坐标系中的坐标（即坐标系的平移矩阵）。
为动坐标系的方向余弦阵（即坐标的旋转矩阵）。设初始状态动坐标系的原点与静坐标系的原点重合，产生间隙后的点为动坐标系中的任意点，且设在局部动坐标系中，则在局部动坐标系中球铰间隙随机点的坐标为：
在整体静坐标系中，球铰间隙随机点的坐标为：
其中：为球铰球心的平移间隙，为球铰球心的转角间隙，为静平台的半径。
3 模拟台姿态角度误差分析
机器人运动学中的D-H法[4]是机器人连杆和关节建模的一种非常简单的方法，可用于任何机构的构型。采用D-H法对运动模拟台的SPS（电动缸两端以球铰联接）单开支链进行分析计算，进而建立球铰间隙与模拟台姿态误差角[5]度间的数学模型。
如图3为单开支链的结构简图，在局部动坐标系中，定点。与上述同理，根据坐标变换法，在整体静坐标系中，经过旋转平移后，的坐标为：
其中：为动平台上固定点与局部坐标系原点之间的距离；为初始状态下与之间的夹角；为中心支撑铰链球心与基台整体静坐标系的垂直距离（见图3）。
初始状态下，此时
驱动杆长为：
4 实例
如图1所示并联运动模拟台结构形式，已知：
球铰间隙范围 mm，任取局部动坐标系坐标原点，并且在局部动坐标系中，随机取点随机取值，球铰球心沿静坐标系三个轴的平移间隙。
如图4所示，则：
同理可得：
计算得：
假设球铰间隙只对摇摆台的俯仰运动误差有影响，即，则：
驱动杆长化简得：
5 MATLAB编程与仿真
运用MATLAB进行编程仿真，得到球铰间隙影响下并联模拟台的角度误差。
由图5可知，球铰间隙对运动模拟台横滚角度的峰峰值为 mrad，方位和俯仰方向误差与横滚分析方法，经误差合成，由球铰引起的最大误差小于 mrad，满足模拟台角位置精度要求。
6 结论
运用D-H法和坐标变换法分析了单开支链下球铰间隙对模拟台姿态角度精度的影响，建立了球铰间隙与并联机构精度的简单实用的数学模型，为运动模拟台中球铰的选择提供了理论依据。
参考文献
[1] 崔道碧.关节间隙对机器人末端执行器位姿误差的影响[J].湖南大学学报：自然科学版，1999，26（2）：32-36.（CUI Dao-bi.Effect of Gap of Key Links on Location-posture Error for Tip Executing Apparatus of Robot[J].Journal of Hunan University（Natural Sciences Edition），1999，26（2）：32-36.
[2] 汪劲松，白杰文，高猛，等.Stewart平台铰链间隙的精度分析[J].清华大学学报：自然科学版，2002，42（6）：758-761.WANG Jin-song，BAI Jie-wen，GAO Meng，ZHENG Hao-jun，LI Tie-min.Accuracy analysis of joint-clearances in a Stewart platform[J].J T singhua Univ（Sci &Tech），2002，42（6）：758-761.
[3] 梁辉，白志富，陈五一.一种驱动冗余并联机床的铰链间隙误差分析[J].机床与液压，2006（4）：7-9.LIANG Hui，BAI Zhi-fu，CHEN Wu-yi.On the Joint Error of a Redundantly Actuated Parallel Machine Tool[J].Machine Tool and Hydraulics，2006（4）：7-9.
[4] 洪嘉振.计算多体系统动力学[M].北京：高等教育出版社，1999：37-60.HONG Jia-zhen.Computational Dynamics of Multibody Systems[M].Beijing：Higher Education Press，1999：37-60.
[5] 焦国太，冯永和，王锋，等.多因素影响下的机器人综合位姿误差分析方法[J].应用基础与工程科学学报，2004，12（4）：435-442.Jiao Guo-tai Feng Yong-he，Wang Feng，et.Synthetically analysis of the robot pose error resulting from various factors[J].Journal of Basic Science and Engineering，2004，12（4）：435-442.
关键词：球铰 间隙误差 并联模拟台 D-H法 MATLAB仿真
中图分类号：TH115；TP302.7 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）03（c）-0084-02
球铰理论上具有结构简单、运动灵活、耐磨性好和承载力强等优点，常用于并联运动模拟机构。但由于球铰间隙一般较大，对模拟台运动精度的影响不可忽略[1]。
目前，提高球铰精度和刚度的方法，主要有提高加工精度、提高表面质量和采用铰链消隙装置等措施。但随着精度的提高，成本和实现难度均大幅增加，因此，研究铰链间隙对机构精度的影响，从而根据机构精度需要合理确定球铰间隙，优化精度分配，对提高并联机构的性价比意义重大。
1 具有SPS驱动支链的3-DOF并联模拟台的结构
本文针对外场试验用激光通信光端机运动模拟台的技术指标要求，设计了3-DOF（三自由度）并联模拟台的结构[2]，运动模拟台位置精度要求为1 mrad，经误差分配，球铰引起的误差应小于0.5 mrad，3-DOF并联模拟台如图1所示。
如图1所示，三自由度并联运动模拟台由三层平台、三个驱动电动缸、四个过渡支撑杆和一个中心支撑组成。其中：三个平台相互平行且同心，中平台为多边形，动平台和中平台之间有四个固定支撑，两个纵向的电动缸成90°分配，横向的电动缸中心线与基台平行，且与两个纵向电动缸垂直。其原理为控制三个电动缸的伸缩量，以实现并联模拟台横滚、俯仰和偏航的角度，中心支撑主要承载整个摇摆台的重量。
2 球铰间隙模型分析
如图2所示球铰[3]可视为由连杆1和连杆2组成，根据连杆坐标系设定的原则，分别在连杆1、2上建立三维直角坐标系和，且为与静平台固连的球铰球窝中心的静坐标系，为与驱动支链固连的球铰球心的动坐标系。
根据坐标变换法（即为局部动坐标系中任意点在整体静坐标系中的坐标表达式）：
其中，为动坐标系中任意点在静坐标系中的坐标；为点在动坐标系中的坐标；为动坐标系原点在静坐标系中的坐标（即坐标系的平移矩阵）。
为动坐标系的方向余弦阵（即坐标的旋转矩阵）。设初始状态动坐标系的原点与静坐标系的原点重合，产生间隙后的点为动坐标系中的任意点，且设在局部动坐标系中，则在局部动坐标系中球铰间隙随机点的坐标为：
在整体静坐标系中，球铰间隙随机点的坐标为：
其中：为球铰球心的平移间隙，为球铰球心的转角间隙，为静平台的半径。
3 模拟台姿态角度误差分析
机器人运动学中的D-H法[4]是机器人连杆和关节建模的一种非常简单的方法，可用于任何机构的构型。采用D-H法对运动模拟台的SPS（电动缸两端以球铰联接）单开支链进行分析计算，进而建立球铰间隙与模拟台姿态误差角[5]度间的数学模型。
如图3为单开支链的结构简图，在局部动坐标系中，定点。与上述同理，根据坐标变换法，在整体静坐标系中，经过旋转平移后，的坐标为：
其中：为动平台上固定点与局部坐标系原点之间的距离；为初始状态下与之间的夹角；为中心支撑铰链球心与基台整体静坐标系的垂直距离（见图3）。
初始状态下，此时
驱动杆长为：
4 实例
如图1所示并联运动模拟台结构形式，已知：
球铰间隙范围 mm，任取局部动坐标系坐标原点，并且在局部动坐标系中，随机取点随机取值，球铰球心沿静坐标系三个轴的平移间隙。
如图4所示，则：
同理可得：
计算得：
假设球铰间隙只对摇摆台的俯仰运动误差有影响，即，则：
驱动杆长化简得：
5 MATLAB编程与仿真
运用MATLAB进行编程仿真，得到球铰间隙影响下并联模拟台的角度误差。
由图5可知，球铰间隙对运动模拟台横滚角度的峰峰值为 mrad，方位和俯仰方向误差与横滚分析方法，经误差合成，由球铰引起的最大误差小于 mrad，满足模拟台角位置精度要求。
6 结论
运用D-H法和坐标变换法分析了单开支链下球铰间隙对模拟台姿态角度精度的影响，建立了球铰间隙与并联机构精度的简单实用的数学模型，为运动模拟台中球铰的选择提供了理论依据。
参考文献
[1] 崔道碧.关节间隙对机器人末端执行器位姿误差的影响[J].湖南大学学报：自然科学版，1999，26（2）：32-36.（CUI Dao-bi.Effect of Gap of Key Links on Location-posture Error for Tip Executing Apparatus of Robot[J].Journal of Hunan University（Natural Sciences Edition），1999，26（2）：32-36.
[2] 汪劲松，白杰文，高猛，等.Stewart平台铰链间隙的精度分析[J].清华大学学报：自然科学版，2002，42（6）：758-761.WANG Jin-song，BAI Jie-wen，GAO Meng，ZHENG Hao-jun，LI Tie-min.Accuracy analysis of joint-clearances in a Stewart platform[J].J T singhua Univ（Sci &Tech），2002，42（6）：758-761.
[3] 梁辉，白志富，陈五一.一种驱动冗余并联机床的铰链间隙误差分析[J].机床与液压，2006（4）：7-9.LIANG Hui，BAI Zhi-fu，CHEN Wu-yi.On the Joint Error of a Redundantly Actuated Parallel Machine Tool[J].Machine Tool and Hydraulics，2006（4）：7-9.
[4] 洪嘉振.计算多体系统动力学[M].北京：高等教育出版社，1999：37-60.HONG Jia-zhen.Computational Dynamics of Multibody Systems[M].Beijing：Higher Education Press，1999：37-60.
[5] 焦国太，冯永和，王锋，等.多因素影响下的机器人综合位姿误差分析方法[J].应用基础与工程科学学报，2004，12（4）：435-442.Jiao Guo-tai Feng Yong-he，Wang Feng，et.Synthetically analysis of the robot pose error resulting from various factors[J].Journal of Basic Science and Engineering，2004，12（4）：435-442.