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【摘要】所谓按揭，就是消费者、商家、银行之间的一种协定，是消费者因购买资金不足而向银行贷款购物（以所购物作为抵押），再按照约定的时间间隔定期偿还贷款并付息的一种消费方式。本文主要探讨对于不同的还款方式如何计算各期还款额，现从数学模型的角度对其内容予以揭示。
【关键词】按揭贷款;一次性还本付息;等额本息;等额本金
1.问题的提出
目前按揭贷款主要有一次性还本付息、等额还款（包括等额本息还款和等额本金还款）及增减型还款三种不同的还款方式。允许借款人与贷款人在双方协商的基础上进行选择，但一笔借款合同只能选择一种还款方式，合同签定后，不得更改。
本文利用一阶线性差分方程建立相应的还款模型并加以求解。此模型可以帮助顾客根据自己的收入情况、贷款数额及期限来选择适合自己的还款方式。
基本假设:
(1) 假设外界因素的影响不改变还款期限。
(2)假设货币价值在贷款期限内不受外界因素影响，即不会发生升值或贬值。
(3)假设在贷款期限内利率固定不变，不受经济危机、通货膨胀、国家政策的影响。
(4)假设利率、借款期限和最短还款期限都按月计算。
(5) 假设每次还款都在当次期限的最后一天。
2.模型的建立
本文仅讨论计复利情况下的有关模型。
2.1一次性还本付息模型
到期一次性还本付息是指贷款到期后，借款人一次性归还全部本金和利息。即到期后一次性还本付息款额为：
AN =A0×(1+i)^N
2.2等额还款模型
2.2.1等额本息还款
等额本息还款是指借款人在还款期内每月偿还的本金与利息和不变的一种还款方式。
①当期末价值相等时建立模型。期初借款A0元，月利率为i，每月还款x元。At表示第t个月尚欠银行的款额，到一个月后的本息之和为 : At×(1+i)
則第t+1个月欠银行的钱数为：At+1=At×(1+i)-x此方程即为相应的一阶线性差分方程。所以：
A1=A0×(1+i)-x
A2=A1×(1+i)-x
AN+1=AN×(1+i)-x
解差分方程得：AN =A0×(1+i)^N-x×(1+i)^(N-1)--
因为 AN=0，所以A0×(1+i)^N = x×(1+i)^(N-1)+ x×(1+i)^(N-2)+ L+x
A0×= x×{1×[1-(1+i)^N]／1-(1+i)}
x=A0×i× (1+i)^N(1+i)^N-1①
这是每月需还银行的款额的计算公式。
②当现值相等时建立模型。贴现水平一般用贴现率d来表示 ：d=i／(1+i)，1-d=1／(1+i)第t+1个月尚欠银行的钱数为现值At+1，则第t个月欠银行的款额At应包括两个部分：一部分是At+1相当于第t个月的价值，另一部分是第t+1个月还款 相当于上一个月的价值。则相应的一阶线性差分方程为：At= At+1 ×(1-d )+ x× ( 1-d)
所以： = A1 ×(1-d )+ x× ( 1-d)
A1= A2 ×(1-d )+ x× ( 1-d)
AN-1 ×(1-d )+ x×( 1-d)
AN=0
则：
则每月需要还银行的钱数为：x= A0×d／[1-(1+d)^N] ×(1-d)②
将1-d=1／(1+i) 代入②便得到公式①，从中可以看出以期末价值相等和以现值相等建立的模型的计算结果是相同的。所以不再将它们区分，并将之统称为等额本息还款模型。
2.2.2等额本金还款
等额本金还款是指借款人每期偿还的贷款本金固定不变且利息逐期减少的一种还款方式。
①当期末价值相等时建立模型。期初借款A0元，月利率为i ，每月固定所偿还的本金额为m元。At为第t个月所还银行的钱数。则有差分方程模型：
At= At+1-m
则：A1= A0-m
A2=A1-m
·
·
·
AN+1= AN-m
得：m= A0／N
因为，每月所还款数额=每月所还本金+（本金-已经归还本金累计额）×利率
则第t个月所还银行的钱数为：xt= A0／N+ [A0-(t-1)m] ×i
②当现值相等时建立模型。第t+1个月尚欠银行的钱数为现值At+1，则第t个月欠银行的款额At应包括三部分。A. At+1相当于第t个月的价值；B.所还固定不变的本金额m相当于第t个月的价值；C.所结利息相当于第t个月的价值。则相应的差分方程模型为：
At= At+1 ×(1-d )+ m× ( 1-d)+ At×i×(1-d )
Q i × (1-d )= d
移项解方程得：At×(1-d )=At+1 ×(1-d )+ m× ( 1-d)
At= At+1+ m
同上可得：m= A0／N且有xt= A0／N+[ A0-(t-1) × m] ×i
注意：同等额本息还款模型一样，在等额本金还款模型里，当期末价值相等时与当现值相等时所得到的计算结果也是相同的。因此也不再将其区分，并且将之统一称为等额本金还款模型。
以上建立的等额本息还款模型与等额本金还款模型被合并为此篇文章的第二大类模型，即等额还款模型。
3.还款方案的选择
3.1等本金还款法
等额本金还款法的优点在于不会产生所谓的“复利”，因为每个月本金所产生的利息均在下个月的还款日内全部偿还，相比较等本息还款，要少还一部分利息产生的利息。但由于一开始本金比较大，即使得每月的利息也很高，因此在还款初期每月所需要偿还的数额较大，但到后期随着本金减少，每期利息也随之减少，还款金额也将逐渐减少。所以这种还款方式比较适合初期资金比较充足，或者将要退休、离开工作岗位的、今后收入逐渐减少的人群。
3.2等额本息还款法
它以“复利”方式计息的，也即所谓的“利滚利”，且银行在每月的还款额中，是先收取利息，后收取本金。等额本息还款法的特点是在整个还款期内，每个月的还款额保持不变（遇调整利率除外），优点在于借款人可以准确掌握每月的还款数额，容易记忆，省去了许多麻烦。所以这种还款方式比较适合处于工作或事业处于稳定器或发展期的人（下转第１０９页）（上接第８５页）群，虽然此种还款方式还款数额要多一些，但更方便计划生活的开支。■
【参考文献】
［１］刘丽.按揭贷款还款的数学模型.中国电力教育.2007.
［２］郭蔚.等额本衰还款法与等额本全还款法哪种更好.辽宁行政学院学报.2005,(3).
［３］王兆喜.自己动手计算按揭贷款还款额.2009.
［４］曹霄琪.住房按揭贷款与一次性付款比例变化及问题分析.经济观察. 2008.09(下).
【关键词】按揭贷款;一次性还本付息;等额本息;等额本金
1.问题的提出
目前按揭贷款主要有一次性还本付息、等额还款（包括等额本息还款和等额本金还款）及增减型还款三种不同的还款方式。允许借款人与贷款人在双方协商的基础上进行选择，但一笔借款合同只能选择一种还款方式，合同签定后，不得更改。
本文利用一阶线性差分方程建立相应的还款模型并加以求解。此模型可以帮助顾客根据自己的收入情况、贷款数额及期限来选择适合自己的还款方式。
基本假设:
(1) 假设外界因素的影响不改变还款期限。
(2)假设货币价值在贷款期限内不受外界因素影响，即不会发生升值或贬值。
(3)假设在贷款期限内利率固定不变，不受经济危机、通货膨胀、国家政策的影响。
(4)假设利率、借款期限和最短还款期限都按月计算。
(5) 假设每次还款都在当次期限的最后一天。
2.模型的建立
本文仅讨论计复利情况下的有关模型。
2.1一次性还本付息模型
到期一次性还本付息是指贷款到期后，借款人一次性归还全部本金和利息。即到期后一次性还本付息款额为：
AN =A0×(1+i)^N
2.2等额还款模型
2.2.1等额本息还款
等额本息还款是指借款人在还款期内每月偿还的本金与利息和不变的一种还款方式。
①当期末价值相等时建立模型。期初借款A0元，月利率为i，每月还款x元。At表示第t个月尚欠银行的款额，到一个月后的本息之和为 : At×(1+i)
則第t+1个月欠银行的钱数为：At+1=At×(1+i)-x此方程即为相应的一阶线性差分方程。所以：
A1=A0×(1+i)-x
A2=A1×(1+i)-x
AN+1=AN×(1+i)-x
解差分方程得：AN =A0×(1+i)^N-x×(1+i)^(N-1)--
因为 AN=0，所以A0×(1+i)^N = x×(1+i)^(N-1)+ x×(1+i)^(N-2)+ L+x
A0×= x×{1×[1-(1+i)^N]／1-(1+i)}
x=A0×i× (1+i)^N(1+i)^N-1①
这是每月需还银行的款额的计算公式。
②当现值相等时建立模型。贴现水平一般用贴现率d来表示 ：d=i／(1+i)，1-d=1／(1+i)第t+1个月尚欠银行的钱数为现值At+1，则第t个月欠银行的款额At应包括两个部分：一部分是At+1相当于第t个月的价值，另一部分是第t+1个月还款 相当于上一个月的价值。则相应的一阶线性差分方程为：At= At+1 ×(1-d )+ x× ( 1-d)
所以： = A1 ×(1-d )+ x× ( 1-d)
A1= A2 ×(1-d )+ x× ( 1-d)
AN-1 ×(1-d )+ x×( 1-d)
AN=0
则：
则每月需要还银行的钱数为：x= A0×d／[1-(1+d)^N] ×(1-d)②
将1-d=1／(1+i) 代入②便得到公式①，从中可以看出以期末价值相等和以现值相等建立的模型的计算结果是相同的。所以不再将它们区分，并将之统称为等额本息还款模型。
2.2.2等额本金还款
等额本金还款是指借款人每期偿还的贷款本金固定不变且利息逐期减少的一种还款方式。
①当期末价值相等时建立模型。期初借款A0元，月利率为i ，每月固定所偿还的本金额为m元。At为第t个月所还银行的钱数。则有差分方程模型：
At= At+1-m
则：A1= A0-m
A2=A1-m
·
·
·
AN+1= AN-m
得：m= A0／N
因为，每月所还款数额=每月所还本金+（本金-已经归还本金累计额）×利率
则第t个月所还银行的钱数为：xt= A0／N+ [A0-(t-1)m] ×i
②当现值相等时建立模型。第t+1个月尚欠银行的钱数为现值At+1，则第t个月欠银行的款额At应包括三部分。A. At+1相当于第t个月的价值；B.所还固定不变的本金额m相当于第t个月的价值；C.所结利息相当于第t个月的价值。则相应的差分方程模型为：
At= At+1 ×(1-d )+ m× ( 1-d)+ At×i×(1-d )
Q i × (1-d )= d
移项解方程得：At×(1-d )=At+1 ×(1-d )+ m× ( 1-d)
At= At+1+ m
同上可得：m= A0／N且有xt= A0／N+[ A0-(t-1) × m] ×i
注意：同等额本息还款模型一样，在等额本金还款模型里，当期末价值相等时与当现值相等时所得到的计算结果也是相同的。因此也不再将其区分，并且将之统一称为等额本金还款模型。
以上建立的等额本息还款模型与等额本金还款模型被合并为此篇文章的第二大类模型，即等额还款模型。
3.还款方案的选择
3.1等本金还款法
等额本金还款法的优点在于不会产生所谓的“复利”，因为每个月本金所产生的利息均在下个月的还款日内全部偿还，相比较等本息还款，要少还一部分利息产生的利息。但由于一开始本金比较大，即使得每月的利息也很高，因此在还款初期每月所需要偿还的数额较大，但到后期随着本金减少，每期利息也随之减少，还款金额也将逐渐减少。所以这种还款方式比较适合初期资金比较充足，或者将要退休、离开工作岗位的、今后收入逐渐减少的人群。
3.2等额本息还款法
它以“复利”方式计息的，也即所谓的“利滚利”，且银行在每月的还款额中，是先收取利息，后收取本金。等额本息还款法的特点是在整个还款期内，每个月的还款额保持不变（遇调整利率除外），优点在于借款人可以准确掌握每月的还款数额，容易记忆，省去了许多麻烦。所以这种还款方式比较适合处于工作或事业处于稳定器或发展期的人（下转第１０９页）（上接第８５页）群，虽然此种还款方式还款数额要多一些，但更方便计划生活的开支。■
【参考文献】
［１］刘丽.按揭贷款还款的数学模型.中国电力教育.2007.
［２］郭蔚.等额本衰还款法与等额本全还款法哪种更好.辽宁行政学院学报.2005,(3).
［３］王兆喜.自己动手计算按揭贷款还款额.2009.
［４］曹霄琪.住房按揭贷款与一次性付款比例变化及问题分析.经济观察. 2008.09(下).