论文部分内容阅读
摘 要：概念是思维的细胞，因此我们必须十分重视基本概念的教学，在核心概念的教学上更是要做到“不惜时，不惜力”，让学生能扬概念探究之帆，启能力提升之航。“数学根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也！” 本节课笔者在“为什么研究函数图象对称性”及“为什么要从代数的角度研究图象的对称性”等方面都设置了恰当的问题。
关键词：奇偶性；概念教学；自主探究
一、 问题的提出
（一） “双基”变“四基”——数学课程目标的新发展
数学教学在注重“双基”的基础上由东北师范大学史宁中校长提出了对数学基本思想方法和基本活动经验的要求，并于2011 年正式写入《义务教育数学课程标准》。作为义务教育后的高中课程，不仅是培养公民应有数学素养的基础性课程，也是一门培养公民应有数学素养的发展性课程。这就要求学生通过数学学习不仅要获得必需的知识与技能，还要在数学学习过程中提升对数学的感悟，加深对数学的认识，不断积累经验、获得数学发展，培养提出、分析、解决数学问题的能力。
（二） 教材分析
本节是《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修1）》（人教版）第一章第1.3.2“函数的奇偶性”。培养学生熟悉函数语言及符号并能熟练运用是本章的核心目标之一，本节的教学任务是通过符号化、形式化来使函数性质数学化，与此前函数单调性一脉相承，是后继研究指数函数、对数函数、幂函数及三角函数的基础。因此，本节课起着承上启下的作用。
教学目标：
（1） 学生通过动手画图的数学活动，在感知函数图象对称性的过程中，逐步建立奇偶性概念；
（2） 能用数量关系刻画函数图象的对称性；
（3） 会通过图象特点判断函数的奇偶性，能用奇偶性的定义判断证明函数的奇偶性；
教学重点：
用数量关系刻画函数图象的对称性
教学难点：
如何引导学生通过发现对称点之间坐标的数量关系过渡到用数量关系刻画函数图象的对称性
二、 教学实录
（一）由特殊到一般——从直观感受到深刻感悟
問题1 你能画出函数f（x）=x0、f（x）=x2、f（x）=x4的图象吗？
（事先发给学生一张带有坐标系及表格的纸，学生马上在纸上作图。前两个函数图象学生很快就画好，第三个函数很多学生愣住了，不知如何下笔）
师（适时提示）：如何画函数图象？
生（恍然大悟）：列表，描点，连线。
设计说明 前两个图象学生在初中都接触过，很容易画出，第三个图象对高一新生来说显然有点难度，但学生可以利用初中已经学过的“描点法”进行作图，通过动手实际画图的数学活动，既可直观感知图象的对称性，又可有在数量关系上的体验（在作图的过程中会发现点坐标间的关系），为突破本节课的难点埋下伏笔。奥苏贝尔指出：“影响学习的唯一的、最重要的因素是学生已经知道了什么。”
（教师实物投影学生的完成情况，再用几何画板画出函数y=x6，y=x8的图象）
问题2 观察这5个函数图象，从对称的角度你发现了什么？
生：图象关于y轴对称
师：像这类关于y轴对称的函数，我们起个什么名字好呢？
生（笑）：就叫偶函数吧，指数都是偶数的。
师：好，我们就把这类图象关于y轴对称的函数叫做“偶函数”。除了这些，你能说个偶函数的例子吗？
生：如y=|x|，只要图象关于y轴对称的函数都是偶函数，还有很多。
设计说明 直观感知图象的对称性，同时让学生试着给这类函数命名，提高学生学习的主动性和积极性。这是一个初步定义，暂不出现形式化的符号表示，虽然不严格，但符合人们认识事物的规律，自然、合情。同时也给出了偶函数判断的一种方法：几何法，只要函数图象关于y轴对称的，就是偶函数，不仅仅是指数为偶数的这一类函数。
师：在我们的日常生活中也有许多对称的现象：两只耳朵、树叶，摩天轮、剪纸等等（用投影显示图片），说明研究对称性有一定的实际意义。
师： 以函数y=x2为例，请你说说是根据什么判断它的图象关于y轴对称？
生：沿y轴把它对“折”，发现左右重合。
师：你怎么判断对折后的图象是完全重合的？
设计说明学生都觉得这是显然的，但通过“折”这一数学活动，发现自己作的图没法达到预期的效果，但又不知道从何说起.学生思维进入了一种愤悱状态，就会产生认知冲突的建构，从而更容易地激发学生对新知识需求的迫切心理，让本课的研究主题“如何用精准入微的‘代数’重新定义‘函数的奇偶性’”呼之欲出。
师：刚才大家是出于一种几何的直观感觉判断这些函数图象关于y轴对称，好，数学学习的确需要这种直觉，但也要注意到，我们不但要能大胆猜测，更要小心求证。何况，我们即使利用“描点法”画的函数图象有时也不大精准，再如：y=1x4 2x2 3，没有几何画板这样的工具，仅靠“描点法”是不容易画出的。这个时候，我们就另寻他法，“形”上走不通，不妨走“数”，即用代数方法来研究几何图形！这样的方法我们有用过吗？
生：在研究函数单调性时，我们就是通过“任意的两个值x1，x2，当x1 设计说明 想通过回顾单调性，类比函数图象中用数量刻画“上升”还是“下降”，为对称性的数量刻画做准备.
（二） 由感性到理性——用数量关系刻画函数图象的对称性
问题3 如何从数的角度说明函数y=f（x）=x2的图象确实关于y轴对称？
生：我取了6个点（1，1），（2，4），（3，9）；（-1，1），（-2，4），（-3，9），发现它们关于y轴对称.所以，我认为它的图象是关于y轴对称的。 师：若在此图象上挖掉如下的一点呢？那它还关于y轴对称吗？
生：不是。
师：由此可见，函数的对称性是一个整体的概念，且定义域有何特点？
生：关于y轴对称。
师：那函数f（x）=x2，x∈[-1，3]是偶函数吗？若不是，如何改动使其成为一个偶函数？
生：不是。改变定义域为[-1，1]即可，或其他[-2，2]等等。
师：是的，定义域关于y轴对称（或者说关于原点对称）是前提条件。我们可以用特殊点来说明图象不是对称的。由特殊到一般是数学基本的思想方法。那你通过1个、2个，6个甚至无数多个点就能说明图象是关于y轴对称的吗？如何才能准确说明图象是关于y轴对称的？
片刻后，有学生回答：我们把 “点”改为“任意一点”。 设点P（a，f（a））是函数y=f（x）图象上的任意一点，说明它关于y轴对称的点也在函数图象上，因为它是任意的，所以就能说明图象确实是关于y轴对称的。
师：你能證明吗？
生：因为它关于y轴对称的点为Q（-a，f（a）），且f（-a）=a2=f（a），所以点Q（-a，f（a））也在y=f（x）图象上。
设计说明 通过尝试探究具体函数，学生能初步感知解析式满足f（-a）=f（a）的函数其图象关于y轴对称（先提是定义域关于原点对称）。为正式出台偶函数的概念积累一些具体的经验。同时前置定义域关于原点对称，呼应之前函数学习中提出的“定义域优先”的原则。
（三） 课时小结
1. 从函数知识脉络看：数学学习过程是一个知识建构的过程，我们不仅仅学习数学的基本知识，更为重要的是要学会如何去学习，如何建构自己的知识脉络结构。
2. 从思想方法看：数形结合思想是研究函数的一种重要思想方法，用代数方法研究几何图形特征，如本节课用数量关系刻画函数图象的对称性。从点的对称性到函数的奇偶性本质上也是一维到二维的延伸。
三、 回顾与反思
笔者精心设计教学流程，从“学生已有的学习经验”进行教学设计，按“由特殊到一般——从直观感受函数的对称性到深刻感悟”“由感性到理性——用数量关系刻画函数图象的对称性”“类比研究”“概念的深化”“概念的拓展”五个教学环节环环相扣。
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003，1-2.
[2] 高洪武.顺应学生认知基础 促进概念自然生成[J].中学数学教学，2015，09.
[3] 瞿高海.关注概念的本质[J].中学数学月刊，2015，06.
[4] 张彬.函数奇偶性教学之我见[J].中学数学教学版，2013，06.
关键词：奇偶性；概念教学；自主探究
一、 问题的提出
（一） “双基”变“四基”——数学课程目标的新发展
数学教学在注重“双基”的基础上由东北师范大学史宁中校长提出了对数学基本思想方法和基本活动经验的要求，并于2011 年正式写入《义务教育数学课程标准》。作为义务教育后的高中课程，不仅是培养公民应有数学素养的基础性课程，也是一门培养公民应有数学素养的发展性课程。这就要求学生通过数学学习不仅要获得必需的知识与技能，还要在数学学习过程中提升对数学的感悟，加深对数学的认识，不断积累经验、获得数学发展，培养提出、分析、解决数学问题的能力。
（二） 教材分析
本节是《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修1）》（人教版）第一章第1.3.2“函数的奇偶性”。培养学生熟悉函数语言及符号并能熟练运用是本章的核心目标之一，本节的教学任务是通过符号化、形式化来使函数性质数学化，与此前函数单调性一脉相承，是后继研究指数函数、对数函数、幂函数及三角函数的基础。因此，本节课起着承上启下的作用。
教学目标：
（1） 学生通过动手画图的数学活动，在感知函数图象对称性的过程中，逐步建立奇偶性概念；
（2） 能用数量关系刻画函数图象的对称性；
（3） 会通过图象特点判断函数的奇偶性，能用奇偶性的定义判断证明函数的奇偶性；
教学重点：
用数量关系刻画函数图象的对称性
教学难点：
如何引导学生通过发现对称点之间坐标的数量关系过渡到用数量关系刻画函数图象的对称性
二、 教学实录
（一）由特殊到一般——从直观感受到深刻感悟
問题1 你能画出函数f（x）=x0、f（x）=x2、f（x）=x4的图象吗？
（事先发给学生一张带有坐标系及表格的纸，学生马上在纸上作图。前两个函数图象学生很快就画好，第三个函数很多学生愣住了，不知如何下笔）
师（适时提示）：如何画函数图象？
生（恍然大悟）：列表，描点，连线。
设计说明 前两个图象学生在初中都接触过，很容易画出，第三个图象对高一新生来说显然有点难度，但学生可以利用初中已经学过的“描点法”进行作图，通过动手实际画图的数学活动，既可直观感知图象的对称性，又可有在数量关系上的体验（在作图的过程中会发现点坐标间的关系），为突破本节课的难点埋下伏笔。奥苏贝尔指出：“影响学习的唯一的、最重要的因素是学生已经知道了什么。”
（教师实物投影学生的完成情况，再用几何画板画出函数y=x6，y=x8的图象）
问题2 观察这5个函数图象，从对称的角度你发现了什么？
生：图象关于y轴对称
师：像这类关于y轴对称的函数，我们起个什么名字好呢？
生（笑）：就叫偶函数吧，指数都是偶数的。
师：好，我们就把这类图象关于y轴对称的函数叫做“偶函数”。除了这些，你能说个偶函数的例子吗？
生：如y=|x|，只要图象关于y轴对称的函数都是偶函数，还有很多。
设计说明 直观感知图象的对称性，同时让学生试着给这类函数命名，提高学生学习的主动性和积极性。这是一个初步定义，暂不出现形式化的符号表示，虽然不严格，但符合人们认识事物的规律，自然、合情。同时也给出了偶函数判断的一种方法：几何法，只要函数图象关于y轴对称的，就是偶函数，不仅仅是指数为偶数的这一类函数。
师：在我们的日常生活中也有许多对称的现象：两只耳朵、树叶，摩天轮、剪纸等等（用投影显示图片），说明研究对称性有一定的实际意义。
师： 以函数y=x2为例，请你说说是根据什么判断它的图象关于y轴对称？
生：沿y轴把它对“折”，发现左右重合。
师：你怎么判断对折后的图象是完全重合的？
设计说明学生都觉得这是显然的，但通过“折”这一数学活动，发现自己作的图没法达到预期的效果，但又不知道从何说起.学生思维进入了一种愤悱状态，就会产生认知冲突的建构，从而更容易地激发学生对新知识需求的迫切心理，让本课的研究主题“如何用精准入微的‘代数’重新定义‘函数的奇偶性’”呼之欲出。
师：刚才大家是出于一种几何的直观感觉判断这些函数图象关于y轴对称，好，数学学习的确需要这种直觉，但也要注意到，我们不但要能大胆猜测，更要小心求证。何况，我们即使利用“描点法”画的函数图象有时也不大精准，再如：y=1x4 2x2 3，没有几何画板这样的工具，仅靠“描点法”是不容易画出的。这个时候，我们就另寻他法，“形”上走不通，不妨走“数”，即用代数方法来研究几何图形！这样的方法我们有用过吗？
生：在研究函数单调性时，我们就是通过“任意的两个值x1，x2，当x1
（二） 由感性到理性——用数量关系刻画函数图象的对称性
问题3 如何从数的角度说明函数y=f（x）=x2的图象确实关于y轴对称？
生：我取了6个点（1，1），（2，4），（3，9）；（-1，1），（-2，4），（-3，9），发现它们关于y轴对称.所以，我认为它的图象是关于y轴对称的。 师：若在此图象上挖掉如下的一点呢？那它还关于y轴对称吗？
生：不是。
师：由此可见，函数的对称性是一个整体的概念，且定义域有何特点？
生：关于y轴对称。
师：那函数f（x）=x2，x∈[-1，3]是偶函数吗？若不是，如何改动使其成为一个偶函数？
生：不是。改变定义域为[-1，1]即可，或其他[-2，2]等等。
师：是的，定义域关于y轴对称（或者说关于原点对称）是前提条件。我们可以用特殊点来说明图象不是对称的。由特殊到一般是数学基本的思想方法。那你通过1个、2个，6个甚至无数多个点就能说明图象是关于y轴对称的吗？如何才能准确说明图象是关于y轴对称的？
片刻后，有学生回答：我们把 “点”改为“任意一点”。 设点P（a，f（a））是函数y=f（x）图象上的任意一点，说明它关于y轴对称的点也在函数图象上，因为它是任意的，所以就能说明图象确实是关于y轴对称的。
师：你能證明吗？
生：因为它关于y轴对称的点为Q（-a，f（a）），且f（-a）=a2=f（a），所以点Q（-a，f（a））也在y=f（x）图象上。
设计说明 通过尝试探究具体函数，学生能初步感知解析式满足f（-a）=f（a）的函数其图象关于y轴对称（先提是定义域关于原点对称）。为正式出台偶函数的概念积累一些具体的经验。同时前置定义域关于原点对称，呼应之前函数学习中提出的“定义域优先”的原则。
（三） 课时小结
1. 从函数知识脉络看：数学学习过程是一个知识建构的过程，我们不仅仅学习数学的基本知识，更为重要的是要学会如何去学习，如何建构自己的知识脉络结构。
2. 从思想方法看：数形结合思想是研究函数的一种重要思想方法，用代数方法研究几何图形特征，如本节课用数量关系刻画函数图象的对称性。从点的对称性到函数的奇偶性本质上也是一维到二维的延伸。
三、 回顾与反思
笔者精心设计教学流程，从“学生已有的学习经验”进行教学设计，按“由特殊到一般——从直观感受函数的对称性到深刻感悟”“由感性到理性——用数量关系刻画函数图象的对称性”“类比研究”“概念的深化”“概念的拓展”五个教学环节环环相扣。
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003，1-2.
[2] 高洪武.顺应学生认知基础 促进概念自然生成[J].中学数学教学，2015，09.
[3] 瞿高海.关注概念的本质[J].中学数学月刊，2015，06.
[4] 张彬.函数奇偶性教学之我见[J].中学数学教学版，2013，06.