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【摘要】本文在论述思维的类型、特点的基础上，对数学思维能力培养的教学意义进行了初步的探讨。并通过实验、调查总结出影响数学思维的因素。在此基础上，提出了在数学教学中如何培养学生数学思维能力。
【关键词】数学思维；思维方法；思维过程
Discusses mathematics power of thought raise shallowly
Long Fangqiang
【Abstract】This article in the elaboration thought’s type, in the characteristic foundation, has carried on the preliminary discussion to mathematics power of thought raise’s teaching significance. And through the experiment, the investigation summarizes the influence mathematics thought factor. Based on this, proposed how to raise the student mathematics power of thought in mathematics teaching.
【Key words】Mathematics thought; Thought method; Thinking process
我们是否思考过这样一个问题，同是一个老师教出来的两个学生，他们的知识水平相当，可研究同一个问题时，一个是百思不得其解，另一个却没花多大功夫就有所突破。这说明，从发明创造角度讲，知识并不是决定性的，起决定作用的还在于你是否具有正确的科学思维方法。因此，我们必须在教学中注重培养学生的数学思维能力。
1 培养学生的逻辑思维能力
(1)在运算能力方面，欲达“正确迅速”目的，就需在各类运算中概括出相应的运算规律，将其归纳为一般形式。
数学概括在培养学生逻辑思维能力方面的作用也十分重要。逻辑思维是人类揭示客观世界的本质和规律的极其重要的思维活动，它几乎渗透到人类获取所有理论和新认识的每一过程，而数学则是体现逻辑最彻底的一门学科。学生在学习中遵循着数学的逻辑规律，他们从最基础最简单的数学概念出发，在这些基本概念的基础上进行概括，得到概括程度更高的新概念。例如：在初中，仅研究0－360间角的三角函数，到了高中，通过角概念的推广和弧度制的引入，概括出任意角三角函数，并从集合和映射的观点出发加以研究。即在数学思想方法上也采用了概括性更强的更一般的方法——集合和映射的思想方法。由上述各例可看出，学生逻辑思维能力的形成和发展离不开数学概括，数学概括不仅影响着学生逻辑思维的形成和发展，而且决定着学生逻辑思维的水平和质量，概括水平越高，其逻辑思维的能力就越强。
(2)数学教学活动中存在着三种思维活动：
1）数学家的思维活动（它或隐或现地存在于课本之中）；
2）数学教师的思维活动；
3）学生的思维活动；
教学时，应力致于暴露数学思维活动，教材——教师——学生——数学思维——创造性思维——学生思维
例“三角形内角和定理”，从运动变化的观点，注意到平行线与三角形的联系。
2 发展学生形象思维能力
形象思维是在形象地反映客体的具体形状或姿态的感性认识基础上，通过意象、联想和想象来揭示对象的本质及其规律的思维模式。形象思维是对形象的意象。意象是对同类事物形象的一般特征的反映。形象思维的思维过程的一般形式是运用意象进行联想和想象。想象是在联想的基础上加工原有意象而创造出新意象的思维活动。爱因斯坦曾深刻地指出：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括了世界的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉，严格的说，想象力是科学研究中的实在因素。”
2.1 加强数形结合教学，使学生形成数形结合的意识:运用数形结合的策略进行教学，无论以形辅数解决代数范畴的问题，还是以数助形解决几何范畴的问题，都有利于学生掌握形象思维的方法，形成数形结合的意识，这对于培养学生的形象思维能力是十分必要的。因此，在数学教学中，教师要注意挖掘教材中数形结合的因素，把握实现数形转变的契机，引导学生自觉地把事物的数形两个侧面联系起来作整体考察。大量的教学实践证明，充分运用联想与想象的方法，调动学生丰富的数学表象储备，发挥形象思维的作用，不仅有助于培养学生形象思维能力，从而发展创造性思维能力，而且是许多问题能够在数形结合指导下巧思妙解，也有助于学生形成创新意识，培养创新精神。
例：设x，y，z∈R+，求证：x2+y2+xy+y2+z2+yz＞ z2+x2+zx
分析 结论的三个根式接近余弦定理的形式，联想到三角形，整个结构联想到三角形两边之和大于第三边的性质，于是构造出一个三角形如图1所示
解：设∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，AO=x,BO=y，
CO=z，则由弦定理得
AB=x2+y2+xy
BC=y2+z2+yz
AC=x2+z2+xz
由三角形两边之和大于第三边得AB+BC＞AC
即x2+y2+xy+y2+z2+yz＞ z2+x2+zx
众所周知，想象是一切发明创造的源泉，是形象思维的基本形式。为培养学生的形象思维能力，在教学中引导学生多进行观察动手操作，安排独立思考时间，为学生创设自由空间。
2.2 开发右脑:脑科学的研究证实，人的大脑分左右两个半球，功能高度分化。左脑掌管逻辑思维和语言等，右脑掌管形象思维，直觉思维等，具有高级功能，称创造脑。为培养学生的创造思维能力，当前特别要注意右脑的开发。例如在教学中，选一些具有创造性的，有利于形象思维和抽象思维能力培养的数学习题，促进学生的认知水平，理解能力，学习兴趣、主动性和积极性的提高。实践证明，右脑的开发，发展形象思维，使形象思维与抽象思维协调发展，是培养创新人才的有效途径。
3 培养学生创新思维意识
创新意识是创新的前提和关键，有了创新意识才能抓住创新的机会，产生创新的方法，启迪创新思维，从而获得创新成果。
3.1 兴趣是学好数学的“第一位老师”，也是创新的基础：数学是一门严谨性、逻辑性很强的较抽象的学科，不少学生对这门学科望而生畏。在数学教学中培养学生的创新意识，首先要激发学生的学习兴趣。如何将一种抽象的枯燥无味的知识变成生动活泼的使学生感兴趣的知识传授，这需要老师动脑筋，想办法创设教学情景，现代教学理论认为：数学学习过程是一个认知过程，学生为认知的主体，他们的主动参与是数学认知结构发生变化的内部动因。因此，教师应该根据教学内容特点，引用日常生活和周围看得见摸得着的事例，把抽象的概念，深奥的原理展现为浅显易懂、生动活泼的事实或现象，以引起学生的兴趣和爱好。
3.2 理论联系实际，鼓励大胆探索，培养学生创新意识：培养学生的创新思维能力，首先在理论联系实际方面培养学生的创新意识，破除数学上理论到理论的老框子，鼓励学生多联系实际问题，多猜想，多发问。爱因斯坦曾说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”教师要敢于创设教学情景，这个情景必然来自生活，生产实际，鼓励学生敢于揭示和发现前人尚未揭示的事物和规律。
3.3 善于挖掘课本开放性习题，通过“一题多解”、“一题多用”培养学生的创新意识数学课堂是培养学生创新意识、创造性活动的主阵地，也是素质教育的主渠道，挖掘课本开放性试题，通过“一题多解”培养学生的创新意识，有利于学生创造力的产生。具体做法是：钻研教材，深挖例题、习题的潜在功能，启发学生一题多解；大胆改变习题，启发学生一题多用，培养创新意识。
4 培养学生发散思维能力
发散思维是一种求异式、展开式思维，思维从一点出发，可以沿着不同的方向展开。徐利治教授指出：“数学创造性活动往往开始于不严格的发散思维，而继之于严格的逻辑思维。”因此把集中思维和发散思维相结合是数学创造性思维的重要途径。
4.1 组织一题多解，可以引导学生从整体、部分、已知、未知等不同的角度，运用直接法，间接法等不同的方法，调动多种范畴的知识处理同一问题，使解决问题的过程延伸到数学的各个领域，不仅有利于沟通知识之间的联系，而且有助于活跃学生的思维，拓宽思路，达到促成思维发散，培养创新思维能力的目的。
例3 在等差数列中，已知a3=-3, a9=21,求 a5的值。
分析：这个问题很简单。高中数学教材中提供的解法教师常用的方法都是等差数列的通项公式先求出a和d,再求a的值。如果用一题多解开拓学生的思路，则不难找出下面的解法。
解：由于函数an=a1+(n-1)d是关于的一次函数，故点(3,-3),(9,21)和(5,a5)三点共线。由斜率公式得21-(-3)9-3=a5-(-3)5-3从而有a5=5。
上述解法运用了函数的概念，一次函数的图像和斜率公式等知识，不仅沟通了代数和解析几何的联系，而且这种解法与现行高中教材提供的方法相比较显然是一种创新。
4.2 设计一题多变的训练，促成学生发散思维.所谓一题多变，是指在保持问题不变的情况下，通过变式改变问题的条件或结论，把一个问题化为梯度渐次上升的一个问题系列。随着问题条件和结论的不断演变，不仅解决问题所涉及的知识与方法处在动态的发展过程之中，而且学生的思维活动将在不同的方法和不同的层次上逐渐展开。这对于激活学生的思维，促成学生思维的发散，从而培养学生的发散思维能力有着重要的作用。
5 开展第二课堂，培养学生应用数学知识能力
通过开展第二课堂，让学生走出校门，课题组教师结合实际提出具体问题，让学生利用已掌握知识解决现实问题。数学《新课标》明确提出：“要注意数学知识与实际联系，发展学生的应用意识和能力。”数学应用意识应该从更广阔的空间上去培养学生“用”数学的意识。时代发展需要更多高素质的数学人才，因为高素质人才具备较强的逻辑思维能力、敏锐的判断力、精细的发展策略。高素质的数学人才除了学好丰富的理论知识之外，还必须学以致用，这样才能推动社会的发展。所以，“合理开发第二课堂资源，培养学生的数学应用意识”势在必行。
总之数学是思维的体操：数学作为一门基础学科，它的工具性决定了数学教学的基本任务是培养学生的思维能力，数学观念及数学思想。数学的重要性不仅体现在数学知识的应用，更重要的是数学的思维方式。它对培养人的思维、创新、分析、计算、归纳、推理能力都有好处。“数学是思维的体操”，这是不容置疑的共识。学好数学关键在于思考。看似枯燥无味的数学公式，细心品味其内涵与外延，便能触摸到深刻的美丽；通读数学教材，从最基本的概念出发，就能一步步推导出美丽的结论，前后勾连，交织成严密知识网络；解决问题要学会举一反三，注意不同条件下结论的变化，就能衍生出解决问题的有效模式。在我的数学课堂上，教学环节一环套一环，当学生解决一个问题后，又会不自觉地被我引入另一个问题的探讨中。学生带着问题走进课堂，通过学习解决问题之后，又能带着新的问题走出课堂。整堂课，学生的思维始终在活跃着，始终处于探索状态，我想，这就是 “数学是思维的体操”这句话的真正含义吧！
人类的大脑潜能无限，思维博大精深，奥妙无穷，插上想象的翅膀更使数学迭彩纷呈，引人着迷！数学倘若缺少了猜想，多少规律要被埋没，多少公式仍将隐藏。观察、思考、比较、分析、推理、发现、猜想、验证、概括……已成为数学规律形成的通道。课堂里，师生们的学习不正是沿着这条路径前行的吗？这样的例子俯拾皆是。“谁愿意来大胆的猜想一下？”“你思考的比较深入，能抓住问题的核心！”“概括精练，语言简洁”“可以用什么方法证明你的观点是正确的呢？”“比较一下，哪种方法更合理？”一句句提纲挈领的点拨，都能促进学生思维品质的提升。正如一位教育专家所说：数学知识无需终生铭记，但数学精神会激励终生；解题技能无需终生掌握，但观念及其文化哲学会受用终生。
参考文献
[1] 邵瑞珍，皮连生．教育心理学[M]．上海：上海教育出版社，1988
[2] 李士琦．PME：数学教育心理[M]．北京：高等教育出版社．
[3] 毛京中，高等数学概念教学的一些思考[J]．数学教育学报，2003，12(2)
[4] 陈琼，翁凯庆．试论数学学习中的理解学习[J]．数学教育学报，2003，12(1)
[5] 张定强．剖析高等数学结构，提高学生数学素质[J]．数学教育学报，1996，5(1)
[6] 刘继合．简析高等数学结构与化归[J]．聊城师范学院学报(自然科学版)，1999，12(3)
【关键词】数学思维；思维方法；思维过程
Discusses mathematics power of thought raise shallowly
Long Fangqiang
【Abstract】This article in the elaboration thought’s type, in the characteristic foundation, has carried on the preliminary discussion to mathematics power of thought raise’s teaching significance. And through the experiment, the investigation summarizes the influence mathematics thought factor. Based on this, proposed how to raise the student mathematics power of thought in mathematics teaching.
【Key words】Mathematics thought; Thought method; Thinking process
我们是否思考过这样一个问题，同是一个老师教出来的两个学生，他们的知识水平相当，可研究同一个问题时，一个是百思不得其解，另一个却没花多大功夫就有所突破。这说明，从发明创造角度讲，知识并不是决定性的，起决定作用的还在于你是否具有正确的科学思维方法。因此，我们必须在教学中注重培养学生的数学思维能力。
1 培养学生的逻辑思维能力
(1)在运算能力方面，欲达“正确迅速”目的，就需在各类运算中概括出相应的运算规律，将其归纳为一般形式。
数学概括在培养学生逻辑思维能力方面的作用也十分重要。逻辑思维是人类揭示客观世界的本质和规律的极其重要的思维活动，它几乎渗透到人类获取所有理论和新认识的每一过程，而数学则是体现逻辑最彻底的一门学科。学生在学习中遵循着数学的逻辑规律，他们从最基础最简单的数学概念出发，在这些基本概念的基础上进行概括，得到概括程度更高的新概念。例如：在初中，仅研究0－360间角的三角函数，到了高中，通过角概念的推广和弧度制的引入，概括出任意角三角函数，并从集合和映射的观点出发加以研究。即在数学思想方法上也采用了概括性更强的更一般的方法——集合和映射的思想方法。由上述各例可看出，学生逻辑思维能力的形成和发展离不开数学概括，数学概括不仅影响着学生逻辑思维的形成和发展，而且决定着学生逻辑思维的水平和质量，概括水平越高，其逻辑思维的能力就越强。
(2)数学教学活动中存在着三种思维活动：
1）数学家的思维活动（它或隐或现地存在于课本之中）；
2）数学教师的思维活动；
3）学生的思维活动；
教学时，应力致于暴露数学思维活动，教材——教师——学生——数学思维——创造性思维——学生思维
例“三角形内角和定理”，从运动变化的观点，注意到平行线与三角形的联系。
2 发展学生形象思维能力
形象思维是在形象地反映客体的具体形状或姿态的感性认识基础上，通过意象、联想和想象来揭示对象的本质及其规律的思维模式。形象思维是对形象的意象。意象是对同类事物形象的一般特征的反映。形象思维的思维过程的一般形式是运用意象进行联想和想象。想象是在联想的基础上加工原有意象而创造出新意象的思维活动。爱因斯坦曾深刻地指出：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括了世界的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉，严格的说，想象力是科学研究中的实在因素。”
2.1 加强数形结合教学，使学生形成数形结合的意识:运用数形结合的策略进行教学，无论以形辅数解决代数范畴的问题，还是以数助形解决几何范畴的问题，都有利于学生掌握形象思维的方法，形成数形结合的意识，这对于培养学生的形象思维能力是十分必要的。因此，在数学教学中，教师要注意挖掘教材中数形结合的因素，把握实现数形转变的契机，引导学生自觉地把事物的数形两个侧面联系起来作整体考察。大量的教学实践证明，充分运用联想与想象的方法，调动学生丰富的数学表象储备，发挥形象思维的作用，不仅有助于培养学生形象思维能力，从而发展创造性思维能力，而且是许多问题能够在数形结合指导下巧思妙解，也有助于学生形成创新意识，培养创新精神。
例：设x，y，z∈R+，求证：x2+y2+xy+y2+z2+yz＞ z2+x2+zx
分析 结论的三个根式接近余弦定理的形式，联想到三角形，整个结构联想到三角形两边之和大于第三边的性质，于是构造出一个三角形如图1所示
解：设∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，AO=x,BO=y，
CO=z，则由弦定理得
AB=x2+y2+xy
BC=y2+z2+yz
AC=x2+z2+xz
由三角形两边之和大于第三边得AB+BC＞AC
即x2+y2+xy+y2+z2+yz＞ z2+x2+zx
众所周知，想象是一切发明创造的源泉，是形象思维的基本形式。为培养学生的形象思维能力，在教学中引导学生多进行观察动手操作，安排独立思考时间，为学生创设自由空间。
2.2 开发右脑:脑科学的研究证实，人的大脑分左右两个半球，功能高度分化。左脑掌管逻辑思维和语言等，右脑掌管形象思维，直觉思维等，具有高级功能，称创造脑。为培养学生的创造思维能力，当前特别要注意右脑的开发。例如在教学中，选一些具有创造性的，有利于形象思维和抽象思维能力培养的数学习题，促进学生的认知水平，理解能力，学习兴趣、主动性和积极性的提高。实践证明，右脑的开发，发展形象思维，使形象思维与抽象思维协调发展，是培养创新人才的有效途径。
3 培养学生创新思维意识
创新意识是创新的前提和关键，有了创新意识才能抓住创新的机会，产生创新的方法，启迪创新思维，从而获得创新成果。
3.1 兴趣是学好数学的“第一位老师”，也是创新的基础：数学是一门严谨性、逻辑性很强的较抽象的学科，不少学生对这门学科望而生畏。在数学教学中培养学生的创新意识，首先要激发学生的学习兴趣。如何将一种抽象的枯燥无味的知识变成生动活泼的使学生感兴趣的知识传授，这需要老师动脑筋，想办法创设教学情景，现代教学理论认为：数学学习过程是一个认知过程，学生为认知的主体，他们的主动参与是数学认知结构发生变化的内部动因。因此，教师应该根据教学内容特点，引用日常生活和周围看得见摸得着的事例，把抽象的概念，深奥的原理展现为浅显易懂、生动活泼的事实或现象，以引起学生的兴趣和爱好。
3.2 理论联系实际，鼓励大胆探索，培养学生创新意识：培养学生的创新思维能力，首先在理论联系实际方面培养学生的创新意识，破除数学上理论到理论的老框子，鼓励学生多联系实际问题，多猜想，多发问。爱因斯坦曾说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”教师要敢于创设教学情景，这个情景必然来自生活，生产实际，鼓励学生敢于揭示和发现前人尚未揭示的事物和规律。
3.3 善于挖掘课本开放性习题，通过“一题多解”、“一题多用”培养学生的创新意识数学课堂是培养学生创新意识、创造性活动的主阵地，也是素质教育的主渠道，挖掘课本开放性试题，通过“一题多解”培养学生的创新意识，有利于学生创造力的产生。具体做法是：钻研教材，深挖例题、习题的潜在功能，启发学生一题多解；大胆改变习题，启发学生一题多用，培养创新意识。
4 培养学生发散思维能力
发散思维是一种求异式、展开式思维，思维从一点出发，可以沿着不同的方向展开。徐利治教授指出：“数学创造性活动往往开始于不严格的发散思维，而继之于严格的逻辑思维。”因此把集中思维和发散思维相结合是数学创造性思维的重要途径。
4.1 组织一题多解，可以引导学生从整体、部分、已知、未知等不同的角度，运用直接法，间接法等不同的方法，调动多种范畴的知识处理同一问题，使解决问题的过程延伸到数学的各个领域，不仅有利于沟通知识之间的联系，而且有助于活跃学生的思维，拓宽思路，达到促成思维发散，培养创新思维能力的目的。
例3 在等差数列中，已知a3=-3, a9=21,求 a5的值。
分析：这个问题很简单。高中数学教材中提供的解法教师常用的方法都是等差数列的通项公式先求出a和d,再求a的值。如果用一题多解开拓学生的思路，则不难找出下面的解法。
解：由于函数an=a1+(n-1)d是关于的一次函数，故点(3,-3),(9,21)和(5,a5)三点共线。由斜率公式得21-(-3)9-3=a5-(-3)5-3从而有a5=5。
上述解法运用了函数的概念，一次函数的图像和斜率公式等知识，不仅沟通了代数和解析几何的联系，而且这种解法与现行高中教材提供的方法相比较显然是一种创新。
4.2 设计一题多变的训练，促成学生发散思维.所谓一题多变，是指在保持问题不变的情况下，通过变式改变问题的条件或结论，把一个问题化为梯度渐次上升的一个问题系列。随着问题条件和结论的不断演变，不仅解决问题所涉及的知识与方法处在动态的发展过程之中，而且学生的思维活动将在不同的方法和不同的层次上逐渐展开。这对于激活学生的思维，促成学生思维的发散，从而培养学生的发散思维能力有着重要的作用。
5 开展第二课堂，培养学生应用数学知识能力
通过开展第二课堂，让学生走出校门，课题组教师结合实际提出具体问题，让学生利用已掌握知识解决现实问题。数学《新课标》明确提出：“要注意数学知识与实际联系，发展学生的应用意识和能力。”数学应用意识应该从更广阔的空间上去培养学生“用”数学的意识。时代发展需要更多高素质的数学人才，因为高素质人才具备较强的逻辑思维能力、敏锐的判断力、精细的发展策略。高素质的数学人才除了学好丰富的理论知识之外，还必须学以致用，这样才能推动社会的发展。所以，“合理开发第二课堂资源，培养学生的数学应用意识”势在必行。
总之数学是思维的体操：数学作为一门基础学科，它的工具性决定了数学教学的基本任务是培养学生的思维能力，数学观念及数学思想。数学的重要性不仅体现在数学知识的应用，更重要的是数学的思维方式。它对培养人的思维、创新、分析、计算、归纳、推理能力都有好处。“数学是思维的体操”，这是不容置疑的共识。学好数学关键在于思考。看似枯燥无味的数学公式，细心品味其内涵与外延，便能触摸到深刻的美丽；通读数学教材，从最基本的概念出发，就能一步步推导出美丽的结论，前后勾连，交织成严密知识网络；解决问题要学会举一反三，注意不同条件下结论的变化，就能衍生出解决问题的有效模式。在我的数学课堂上，教学环节一环套一环，当学生解决一个问题后，又会不自觉地被我引入另一个问题的探讨中。学生带着问题走进课堂，通过学习解决问题之后，又能带着新的问题走出课堂。整堂课，学生的思维始终在活跃着，始终处于探索状态，我想，这就是 “数学是思维的体操”这句话的真正含义吧！
人类的大脑潜能无限，思维博大精深，奥妙无穷，插上想象的翅膀更使数学迭彩纷呈，引人着迷！数学倘若缺少了猜想，多少规律要被埋没，多少公式仍将隐藏。观察、思考、比较、分析、推理、发现、猜想、验证、概括……已成为数学规律形成的通道。课堂里，师生们的学习不正是沿着这条路径前行的吗？这样的例子俯拾皆是。“谁愿意来大胆的猜想一下？”“你思考的比较深入，能抓住问题的核心！”“概括精练，语言简洁”“可以用什么方法证明你的观点是正确的呢？”“比较一下，哪种方法更合理？”一句句提纲挈领的点拨，都能促进学生思维品质的提升。正如一位教育专家所说：数学知识无需终生铭记，但数学精神会激励终生；解题技能无需终生掌握，但观念及其文化哲学会受用终生。
参考文献
[1] 邵瑞珍，皮连生．教育心理学[M]．上海：上海教育出版社，1988
[2] 李士琦．PME：数学教育心理[M]．北京：高等教育出版社．
[3] 毛京中，高等数学概念教学的一些思考[J]．数学教育学报，2003，12(2)
[4] 陈琼，翁凯庆．试论数学学习中的理解学习[J]．数学教育学报，2003，12(1)
[5] 张定强．剖析高等数学结构，提高学生数学素质[J]．数学教育学报，1996，5(1)
[6] 刘继合．简析高等数学结构与化归[J]．聊城师范学院学报(自然科学版)，1999，12(3)