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摘 要：深度学习是培养学生核心素养的关键. 文章从课堂实例出发，谈促进深度学习的若干课堂引导策略，以期提升学生的数学思维，培养学生的数学品格.
关键词：深度学习;课堂引导;深度教学;核心素养
所谓深度学习，就是指在真实复杂的情境中，学生运用所学的本学科知识和跨学科知识，运用常规思维和非常规思维，将所学的知识和技能用于解决实际问题，以发展学生的批判性思维、创新能力、合作精神和交往技能的认知策略.
深度学习强调培养学生解决问题的能力，注重思维能力的可持续性发展. 这其实与新时代背景下提出的学科核心素养要求是一致的. 如何利用好课堂主阵地，培养学生的综合能力，促进学生的思维生长，达到深度学习的效果，是需要所有教师不懈努力、持续研究的课题.《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，学生是学习的主体，教师是教学的组织者、引导者与合作者. 教学活动就是在教师的引导下，学生通过观察、实验、猜测、验证、推理等活动，获得知识经验的过程. 这足见教师的一个重要身份就是引导者. 在课堂教学中，引导无时无刻不在发生，教师对引导可谓驾轻就熟、信手拈来. 可是我们会发现，在很多时候有的引导过于肤浅，有的引导急于求成，真正指向深度思考和促进学生思维发展性的引导并不多. 因此，笔者认为，高效的课堂引导能够触碰心灵，引发学生思维的深度思考，促进深度学习. 笔者以教学设计或教学片断为例，谈一谈关于高效引导的几点想法.
一、适当铺垫，探寻思维深度
认知心理学认为，影响学习最为重要的因素是已有知识基础. 这恰恰也符合最近发展区原理. 课堂教学的引导要做好指向思维发展的适当铺垫，搭建阶梯，将新知与学生的已有知识基础巧妙地联系起来，引领学生的思维向更深处生长，同时让学生体验到“跳一跳，够得到”的成就感和幸福感.
1. 问题呈现
问题1：证明代数式[x2-12x+40]恒大于0.
2. 教学误区
教学中，教师往往只注重教学配方的步骤，而忽略了引导学生理解配方的原因. 甚至有些教师会粗淺地认为，只要教会配方法，让学生掌握代数式配方的步骤就可以了，这样既节约时间，又不会影响成绩. 短时间来看，如果保证一定量的解题技能训练，确实不会出现明显的成绩差异. 但是从长远来看，大量的训练仅仅能够提升技能，却无法延伸思维的广度和深度. 如下是某位教师上课的教学片断，笔者认为引导效果显著.
3. 教学片断
师：能否写一个恒大于0的代数式？
生1：a2.
生2：a2是非负数，有可能等于0.
师：如何修改一下？
生2：a2 + 1.
师：那[a+22+1]呢？
生：恒大于0.
师：为什么？
生3：因为[a+22≥0，] 所以[a+22+1≥1.] 肯定比0大.
师：很好，那么[-4a+52-1]呢？
生4：恒小于0.
师：对于代数式[x2-12x+40，] 你能直接看出它的范围吗？
生5：不能，需要化成含平方的形式.
师：怎么化成含有平方的形式？
生6：可以通过配方，配成有完全平方式的形式.
之后，师生一起配方，教师板书配方的过程.
4. 教学思考
该教师不是忙着解决问题本身，而是引导学生回顾已有的知识经验，从已有的知识经验出发，引发学生思考：如果要证明代数式恒大于0，需要将代数式化成含有平方的形式. 进而引发学生对解题方法的一系列思考：如何化成含有平方的形式？（引入配方法）如何进行配方？（配方的步骤）这就是从学生的已有经验出发，沿着学生的思维发展进行适当铺垫，让学生的思维向深处生长，从而体验到深度思考后的成功和快乐.
二、有效变式，提升能力强度
变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律的一种教学方式. 有效的变式教学需要依据知识概念的特点，设计适当的变式，不仅让学生发现其中的“变”，而且还能找出其中的“不变”，从而揭示方法的本质.
1. 问题呈现
问题2：已知方程[kx2-6x+1=0]有实数根，求[k]的取值范围.
2. 教学误区
该问题中所呈现方程的二次项系数含参数，而且给定的前提条件不是一元二次方程，而是方程. 这就涉及到需要对系数进行分类讨论. 大量的教学经验告诉我们，如果仅仅就这道题进行详细讲解，学生也能理解. 但是日后遇到同样的问题，学生仍然会忽视“方程”这个条件，从而忘记分类讨论. 很多教师在对自己的教学进行反思时，都会抱怨说，一遇到这样的问题，学生总会粗心，忽视前提条件. 但是真的是学生没有看到“方程”这两个字吗？笔者在任教的班级进行了试验. 通过把问题层层变式，引导学生发现变化当中的“变”，以及引导学生发现“变”的条件，引发学生思考.
3. 设计片断
例 已知关于[x]的方程[x2+2x-k=0.]
（1）若有两个不相等的实数根，求[k]的取值范围;
（2）若有两个相等的实数根，求[k]的值;
（3）若没有实数根，求[k]的取值范围;
（4）若有实数根，求[k]的取值范围.
变式：将例题中的方程变为[kx2-6x+1=0，] 重新解决上述问题.
在教学过程中，教师重点引导学生发现两个方程的不同之处. 学生很容易发现不同之处在于二次项系数是否含有参数. 接下来，教师引导学生分类讨论，并指导学生写好分类讨论的详细解题过程. 待学生理解解题思路并完整写好过程之后，给出如下练习. 練习：已知关于[x]的方程[k-1x2-4x+1=0]有实数根，求[k]的取值范围.
4. 教学思考
变式教学是数学教学中的常用方法，对于帮助学生深入理解知识、掌握解题方法都有很大的帮助. 但在实际教学中，很多教师为了变式而变式，并没有深刻理解变式到底要变什么、怎么变. 往往呈现的例题是一道题，变式却仅仅是一道同类型的题，与其说是变式，倒不如说是配套练习更妥. 一个真正有效的变式能够辅助学生理解方法、突破重难点和提升能力. 变式怎样变得巧、变得秒，是需要教师进行精心设计的.
三、及时连贯，增强网络密度
数学知识的学习顺序需要遵循知识点的逻辑关系，因为存储在学生头脑当中的数学知识不是“散落的点状”，而是“编织的网状”. 知识之间是相互关联、相互影响的. 大脑对知识点的关联能力比较强，思维的网络就会呈现出密集状态，知识的输出就很容易;反之，思维的网络就会呈现稀疏状态，知识的输出就很难. 因此，对学生而言，将散落的知识点及时编织进大脑的知识网络非常重要.
1. 问题呈现
问题3：用适当的方法解下列一元二次方程.
（1）[x2-4x-5=0;]
（2）[3x2-x+1=0;]
（3）[2x2-x=3.]
2. 教学误区
这节课是一元二次方程解法的综合课，是在学完四种解法之后，对四种解法的对比和选择. 在教学中，教师往往会直奔主题，直接告诉学生先观察能不能分解因式. 如果能分解因式，就分解因式;如果不能分解，就用公式法. 甚至有时候特别强调不要用配方法，因为配方法容易出错. 从记忆层面来看，记住这个选择顺序并不难. 但从思维深度来看，学生并不理解这样做的原因. 笔者在教学中尝试了如下编织网络的方式.
3. 教学片断
引入环节，教师在黑板上展示以下三个方程.
（1）[x2+4x-5=0;]
（2）[x+22=9;]
（3）[x-1x+5=0.]
师：选择一个方程，迅速口答出方程的解，要求又快又对.
生1：我选方程（3），答案是1或-5.
师：（在方程（3）下方呈现）[x-mx-n=0]（m，n是常数）的解呢？
生2：m和n.
生3：我选方程（2），答案是1或-5.
师：（在方程（2）左边呈现）如果是方程平方形式[x+m2=n n≥0，] 你会用什么方法解？
生4：直接开平方法.
师：还剩下方程（1），大家打算用什么方法解？
生5：因式分解法. 可以分解成[x-1x+5=0.]
生6：配方法或者公式法.
师：对于一般式[ax2+bx+c=0a≠0]而言，可以选择配方法解方程，你觉得配方的目的是什么？
生6：配成平方形式，然后利用直接开平方法解出[x=-b±b2-4ac2a.]
师：大家觉得配方法和公式法哪个更方便些？
生：公式法.
教师随后进行方法选择的总结梳理，最终形成如图1所示的网络图.
在课堂总结环节，笔者对学过的新知及时进行梳理，编织如图2所示的知识网络图.
4. 教学思考
有些教师常用思维导图对所学知识点进行框架式梳理，帮助学生从整体上把握所学知识的结构和关联性. 但在具体的授课过程中，有些教师却往往受限于所教内容，认为很多课没有必要用思维导图. 其实数学知识章节之间、学段之间、方法之间都存在一定的联系，教学中，要及时连贯所学知识，编织思维网络，这样知识的网络才能越编越大、越编越密.
四、数形结合，延伸理解宽度
著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休. 数学中，“数”和“形”是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，“数”和“形”之间可以相互转化、相互渗透. 目的是使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，从而让学生对知识的理解更深刻、更宽泛.
1. 问题呈现
问题4：用配方法解一元二次方程[x2+2x-24=0.]
2. 教学误区
教学中，教师常常引导学生关注对“数”的处理，重视配方的方法和步骤讲解，而忽视了对“形”的解释. 苏科版《义务教育教科书·数学》中有一个“数学实验室”板块，目的就是让教师在教学中鼓励学生动手实验，从“形”的角度对知识进行再认识. 但在教学中，很多教师在讲授完知识和方法之后，宁愿花大量时间去让学生做重复训练，也不愿让学生动手实验. 殊不知，在使学生失去探究机会的同时，也限制了理解的宽度.
3. 设计片断
把[x2+2x-24=0]化简成[xx+2=24，] 构造为一个宽为[x]、长为[x+2]，面积为24的矩形，如图3所示.
4. 教学思考
利用长和宽分别为[x+2，x]的矩形的面积诠释等式
[xx+2=24，] 让学生随着割、拼的操作发现图形变化的同时，等式也在发生着变化. 同时，每个等式的变化也对应着图形的变化. 学生在感悟用“数”和“形”来刻画现实规律的同时，也丰富了学习视角，延伸了理解的宽度.
深度学习是培养学生核心素养的关键. 从深度学习的研究走向深度教学的研究，使培养学生的核心素养从理念走向行动. 基于深度学习的高效课堂引导只是深度教学的一个点，一线教师应该立足课堂，开展多元化的深度教学模式;立足学生，寻求引发学生深度思考的教学方法;立足教材，搭建激发学生深度思维的知识体系. 开展多角度、多层次的深度学习研究，让整个课堂教学以深度学习为中心，形成编织缜密的网.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]朱开群. 基于深度学习的“深度教学”. 上海教育科研[J]. 2017（5）：50-53，58.
收稿日期：2020-08-25
作者简介：李景芝（1983— ），女，高级教师，主要从事初中数学课堂有效教学策略研究.
关键词：深度学习;课堂引导;深度教学;核心素养
所谓深度学习，就是指在真实复杂的情境中，学生运用所学的本学科知识和跨学科知识，运用常规思维和非常规思维，将所学的知识和技能用于解决实际问题，以发展学生的批判性思维、创新能力、合作精神和交往技能的认知策略.
深度学习强调培养学生解决问题的能力，注重思维能力的可持续性发展. 这其实与新时代背景下提出的学科核心素养要求是一致的. 如何利用好课堂主阵地，培养学生的综合能力，促进学生的思维生长，达到深度学习的效果，是需要所有教师不懈努力、持续研究的课题.《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，学生是学习的主体，教师是教学的组织者、引导者与合作者. 教学活动就是在教师的引导下，学生通过观察、实验、猜测、验证、推理等活动，获得知识经验的过程. 这足见教师的一个重要身份就是引导者. 在课堂教学中，引导无时无刻不在发生，教师对引导可谓驾轻就熟、信手拈来. 可是我们会发现，在很多时候有的引导过于肤浅，有的引导急于求成，真正指向深度思考和促进学生思维发展性的引导并不多. 因此，笔者认为，高效的课堂引导能够触碰心灵，引发学生思维的深度思考，促进深度学习. 笔者以教学设计或教学片断为例，谈一谈关于高效引导的几点想法.
一、适当铺垫，探寻思维深度
认知心理学认为，影响学习最为重要的因素是已有知识基础. 这恰恰也符合最近发展区原理. 课堂教学的引导要做好指向思维发展的适当铺垫，搭建阶梯，将新知与学生的已有知识基础巧妙地联系起来，引领学生的思维向更深处生长，同时让学生体验到“跳一跳，够得到”的成就感和幸福感.
1. 问题呈现
问题1：证明代数式[x2-12x+40]恒大于0.
2. 教学误区
教学中，教师往往只注重教学配方的步骤，而忽略了引导学生理解配方的原因. 甚至有些教师会粗淺地认为，只要教会配方法，让学生掌握代数式配方的步骤就可以了，这样既节约时间，又不会影响成绩. 短时间来看，如果保证一定量的解题技能训练，确实不会出现明显的成绩差异. 但是从长远来看，大量的训练仅仅能够提升技能，却无法延伸思维的广度和深度. 如下是某位教师上课的教学片断，笔者认为引导效果显著.
3. 教学片断
师：能否写一个恒大于0的代数式？
生1：a2.
生2：a2是非负数，有可能等于0.
师：如何修改一下？
生2：a2 + 1.
师：那[a+22+1]呢？
生：恒大于0.
师：为什么？
生3：因为[a+22≥0，] 所以[a+22+1≥1.] 肯定比0大.
师：很好，那么[-4a+52-1]呢？
生4：恒小于0.
师：对于代数式[x2-12x+40，] 你能直接看出它的范围吗？
生5：不能，需要化成含平方的形式.
师：怎么化成含有平方的形式？
生6：可以通过配方，配成有完全平方式的形式.
之后，师生一起配方，教师板书配方的过程.
4. 教学思考
该教师不是忙着解决问题本身，而是引导学生回顾已有的知识经验，从已有的知识经验出发，引发学生思考：如果要证明代数式恒大于0，需要将代数式化成含有平方的形式. 进而引发学生对解题方法的一系列思考：如何化成含有平方的形式？（引入配方法）如何进行配方？（配方的步骤）这就是从学生的已有经验出发，沿着学生的思维发展进行适当铺垫，让学生的思维向深处生长，从而体验到深度思考后的成功和快乐.
二、有效变式，提升能力强度
变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律的一种教学方式. 有效的变式教学需要依据知识概念的特点，设计适当的变式，不仅让学生发现其中的“变”，而且还能找出其中的“不变”，从而揭示方法的本质.
1. 问题呈现
问题2：已知方程[kx2-6x+1=0]有实数根，求[k]的取值范围.
2. 教学误区
该问题中所呈现方程的二次项系数含参数，而且给定的前提条件不是一元二次方程，而是方程. 这就涉及到需要对系数进行分类讨论. 大量的教学经验告诉我们，如果仅仅就这道题进行详细讲解，学生也能理解. 但是日后遇到同样的问题，学生仍然会忽视“方程”这个条件，从而忘记分类讨论. 很多教师在对自己的教学进行反思时，都会抱怨说，一遇到这样的问题，学生总会粗心，忽视前提条件. 但是真的是学生没有看到“方程”这两个字吗？笔者在任教的班级进行了试验. 通过把问题层层变式，引导学生发现变化当中的“变”，以及引导学生发现“变”的条件，引发学生思考.
3. 设计片断
例 已知关于[x]的方程[x2+2x-k=0.]
（1）若有两个不相等的实数根，求[k]的取值范围;
（2）若有两个相等的实数根，求[k]的值;
（3）若没有实数根，求[k]的取值范围;
（4）若有实数根，求[k]的取值范围.
变式：将例题中的方程变为[kx2-6x+1=0，] 重新解决上述问题.
在教学过程中，教师重点引导学生发现两个方程的不同之处. 学生很容易发现不同之处在于二次项系数是否含有参数. 接下来，教师引导学生分类讨论，并指导学生写好分类讨论的详细解题过程. 待学生理解解题思路并完整写好过程之后，给出如下练习. 練习：已知关于[x]的方程[k-1x2-4x+1=0]有实数根，求[k]的取值范围.
4. 教学思考
变式教学是数学教学中的常用方法，对于帮助学生深入理解知识、掌握解题方法都有很大的帮助. 但在实际教学中，很多教师为了变式而变式，并没有深刻理解变式到底要变什么、怎么变. 往往呈现的例题是一道题，变式却仅仅是一道同类型的题，与其说是变式，倒不如说是配套练习更妥. 一个真正有效的变式能够辅助学生理解方法、突破重难点和提升能力. 变式怎样变得巧、变得秒，是需要教师进行精心设计的.
三、及时连贯，增强网络密度
数学知识的学习顺序需要遵循知识点的逻辑关系，因为存储在学生头脑当中的数学知识不是“散落的点状”，而是“编织的网状”. 知识之间是相互关联、相互影响的. 大脑对知识点的关联能力比较强，思维的网络就会呈现出密集状态，知识的输出就很容易;反之，思维的网络就会呈现稀疏状态，知识的输出就很难. 因此，对学生而言，将散落的知识点及时编织进大脑的知识网络非常重要.
1. 问题呈现
问题3：用适当的方法解下列一元二次方程.
（1）[x2-4x-5=0;]
（2）[3x2-x+1=0;]
（3）[2x2-x=3.]
2. 教学误区
这节课是一元二次方程解法的综合课，是在学完四种解法之后，对四种解法的对比和选择. 在教学中，教师往往会直奔主题，直接告诉学生先观察能不能分解因式. 如果能分解因式，就分解因式;如果不能分解，就用公式法. 甚至有时候特别强调不要用配方法，因为配方法容易出错. 从记忆层面来看，记住这个选择顺序并不难. 但从思维深度来看，学生并不理解这样做的原因. 笔者在教学中尝试了如下编织网络的方式.
3. 教学片断
引入环节，教师在黑板上展示以下三个方程.
（1）[x2+4x-5=0;]
（2）[x+22=9;]
（3）[x-1x+5=0.]
师：选择一个方程，迅速口答出方程的解，要求又快又对.
生1：我选方程（3），答案是1或-5.
师：（在方程（3）下方呈现）[x-mx-n=0]（m，n是常数）的解呢？
生2：m和n.
生3：我选方程（2），答案是1或-5.
师：（在方程（2）左边呈现）如果是方程平方形式[x+m2=n n≥0，] 你会用什么方法解？
生4：直接开平方法.
师：还剩下方程（1），大家打算用什么方法解？
生5：因式分解法. 可以分解成[x-1x+5=0.]
生6：配方法或者公式法.
师：对于一般式[ax2+bx+c=0a≠0]而言，可以选择配方法解方程，你觉得配方的目的是什么？
生6：配成平方形式，然后利用直接开平方法解出[x=-b±b2-4ac2a.]
师：大家觉得配方法和公式法哪个更方便些？
生：公式法.
教师随后进行方法选择的总结梳理，最终形成如图1所示的网络图.
在课堂总结环节，笔者对学过的新知及时进行梳理，编织如图2所示的知识网络图.
4. 教学思考
有些教师常用思维导图对所学知识点进行框架式梳理，帮助学生从整体上把握所学知识的结构和关联性. 但在具体的授课过程中，有些教师却往往受限于所教内容，认为很多课没有必要用思维导图. 其实数学知识章节之间、学段之间、方法之间都存在一定的联系，教学中，要及时连贯所学知识，编织思维网络，这样知识的网络才能越编越大、越编越密.
四、数形结合，延伸理解宽度
著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休. 数学中，“数”和“形”是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，“数”和“形”之间可以相互转化、相互渗透. 目的是使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，从而让学生对知识的理解更深刻、更宽泛.
1. 问题呈现
问题4：用配方法解一元二次方程[x2+2x-24=0.]
2. 教学误区
教学中，教师常常引导学生关注对“数”的处理，重视配方的方法和步骤讲解，而忽视了对“形”的解释. 苏科版《义务教育教科书·数学》中有一个“数学实验室”板块，目的就是让教师在教学中鼓励学生动手实验，从“形”的角度对知识进行再认识. 但在教学中，很多教师在讲授完知识和方法之后，宁愿花大量时间去让学生做重复训练，也不愿让学生动手实验. 殊不知，在使学生失去探究机会的同时，也限制了理解的宽度.
3. 设计片断
把[x2+2x-24=0]化简成[xx+2=24，] 构造为一个宽为[x]、长为[x+2]，面积为24的矩形，如图3所示.
4. 教学思考
利用长和宽分别为[x+2，x]的矩形的面积诠释等式
[xx+2=24，] 让学生随着割、拼的操作发现图形变化的同时，等式也在发生着变化. 同时，每个等式的变化也对应着图形的变化. 学生在感悟用“数”和“形”来刻画现实规律的同时，也丰富了学习视角，延伸了理解的宽度.
深度学习是培养学生核心素养的关键. 从深度学习的研究走向深度教学的研究，使培养学生的核心素养从理念走向行动. 基于深度学习的高效课堂引导只是深度教学的一个点，一线教师应该立足课堂，开展多元化的深度教学模式;立足学生，寻求引发学生深度思考的教学方法;立足教材，搭建激发学生深度思维的知识体系. 开展多角度、多层次的深度学习研究，让整个课堂教学以深度学习为中心，形成编织缜密的网.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]朱开群. 基于深度学习的“深度教学”. 上海教育科研[J]. 2017（5）：50-53，58.
收稿日期：2020-08-25
作者简介：李景芝（1983— ），女，高级教师，主要从事初中数学课堂有效教学策略研究.