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摘 要：错解是一种资源，它最能暴露出学习中的薄弱地方，改正它能弥补学习中的不足，反思它能深化对概念、公式、定理的理解. 教学中通过对错解订正、审视和反思，可以深化、完善习题的教育功能，有利于提升教学效率.
关键词：错解资源；剖析反思；教学启示
数学习题教学是数学教学中的一个重要方面，其功能是多方面的，习题教学的主要目的是通过讲解、练习一些习题，使学生掌握数学基本知识，形成数学基本技能，领悟数学基本方法，体会数学概念的本质，发展数学能力，培养学习能力，改变学习方式. 实际课堂教学中，学生演算一道习题时会出现几种不同的解法，有的正确，有的可能错误，这都是正常现象，作为教师，对于正确的解法要给予充分肯定，剖析其精彩之处，适时进行表扬，从而培养学生的学习兴趣，增强学生学习数学的信心；对于错误的解法，除纠正其错误外，如果能充分利用错解这个“资源”，进行深入剖析，挖掘其出现错误的根源，可以从中发现学生学习中的一些不足之处，从而通过分析、拓展，加深学生对基础知识、基本思想方法的理解，这样可能会比只讲解正确的解法效果更好. 下面是笔者在实际教学中的一个案例，整理下来供同行商榷、指正.
看到学生的三种解法后，笔者先是有些惊讶，惊讶的是一道容易题也能引出这么多解法，不由对学生刮目相看.笔者发现这些解法很有价值，通过对这些解法的剖析，可以让学生对Sn与an的关系式理解得更深刻，于是让学生讨论这些解法并请给出解法的学生代表作一些简单评析.
学生1：解法1可以快速得到正确结论. 作为一道选择题，肯定是有答案的，只知道是四个选项中的一个，不知道是哪一个，只要选择正确的或排除错误的就可以了.
学生2：考虑解法2的思路，因为要求Sn的表达式，可以考虑将条件Sn=2an+1中的an+1用Sn+1，Sn表示，研究数列{Sn}的规律，将Sn看成是数列{Sn}中的第n项，寻找解题途径.
学生3：利用数列中Sn与an的关系式an=Sn-Sn-1，代入已知条件，研究数列{an}的特点，发现数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，再用数列求和公式求解，没有答案，故该题有误.
教师：要评判这些解法的正误，需要对数列通项与前n项和重新认识一下.
1. 知识再现
2. 审视反思
3. 追根求源
认清了解法3的错误所在，问题是否都解决了呢？笔者觉得学生心中一定会有疑惑：何时用解法3？何时用解法2？难道解法3就不能给出正确结果？等等. 于是就抛出了下面的问题：我们有了这些认识后再来审视解法2、3，思考并讨论下面的问题：
问题1：解法2为什么能得到正确的结论呢？
问题2：解法3难道就是“死路一条”，没有办法求出正确的结果？
1. 错因探究思考
产生上述求解错误的原因表面上看是使用结论an=Sn-Sn-1时没有注意其成立的条件n≥2，n∈N*，深层次的原因则是学生对知识“只知其然，不知其所以然”，只会“照着葫芦画瓢”，缺乏应变能力，对问题没有深刻的认识，对结论的使用范围、注意事项不理解，一遇到新的问题就束手无策. 《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质…使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，…”目前，在应试教育的大潮中，在唯分数论成败的形势下，许多教师以为，让学生去思考、去探究结论逐步形成的过程太浪费时间，往往采取“简单粗暴”的形式，直接将结论告诉学生，三年的教学内容两年甚至一年半完成，然后花大量的时间去做题，试图通过模仿训练、穷尽题型或以题海战术形成学生机械地应对问题的“能力”，结果只能出现“我讲了n遍，你怎么还不会，怎么还做错？”的无奈局面. 章建跃先生说过：“如果教师讲的n遍是不讲理的、越俎代庖的、强加于人的，少了循循善诱，缺乏心智启迪，没有给学生以豁然开朗的思维体验，那么这个n趋向于∞也是枉然.”数学教学不是结果的教学，而是思维活动过程的教学. 数学教学中，要把问题的提出过程，概念的抽象过程，知识的获取过程，结论的探究过程，结论使用时的范围、注意事项以及分析问题、解决问题的艰难曲折思维过程暴露给学生，而不是简单的向学生展示成功的结果.
2. 如何看待错解
数学学习是一个认知过程，由于学生认知水平、理解水平的不同，解题中出现错误属正常现象，教学中如何对待学生学习中、解题中的错误很重要，心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，谁将错过最富有成效的学习时刻.” 也就是说，错解是一种可利用的资源，它最能直接暴露出学习中的薄弱地方，改正它能弥补学习中的不足，反思它能深化对概念、公式、定理的理解. 教学中充分利用好错解资源，可以深化、完善习题的教育作用，实现其功能的最大化.罗增儒教授关于“错解”给予我们这样的启示：“弄清了错解的内容和性质，使我们更接近问题的深层结构，解题的思维也随之而开朗.”
解题是学习数学不可缺少的重要环节，但是工夫不能仅仅下在解题上，而是要用在反思上，特别是对错解的反思. 数学题目是无穷的，我们不可能解决完所有的题目，但是我们可以通过解决、分析典型问题，领悟数学机智，提高综合能力. 对于一些概念、公式、定理的巩固理解，不能只是为解题而解题，还要注意其内涵、外延，注重其本质特征，也就是说，我们不仅要知道如何用，还要知道什么时候用，使用范围是什么等等，否则就不能说是掌握了一个数学概念或公式. 有效利用错解这个资源，从错误中反思，从错误中学习，学会突破障碍，学会调整思维方向，从错误走向正确，从失败走向成功，这正是教学的最终目标，也是错解资源的价值所在.
3. 当前教学启示
从上述解法可以看出，平时学习中只注意记忆Sn与an的关系，对此问题的数学背景、成立条件、数学本质不理解或理解不深刻的学生就十分容易出现解法3中的错误. 平时教学若对学生只是一味进行“模仿”训练，就不可能对数学的本质有深入的理解，因此，高考中这类问题的求解对于学习过程中只重视“模式化”思维求解问题的考生无疑具有挑战性. 高考是对高中生学习水平、学习能力的考查，毫无疑问，高考试题对高中的教学、学习具有明显的导向作用. 每年高考结束后，我们总会听到一些议论，今年高考试题难、易、怪等等，总会有不少考生因失误丢分而痛心疾首，后悔不已. 我们平时总是在强调加强基础知识、基本技能、基本思想方法的训练，大家都知道“谁的基本功好，谁就能在高考中取得成功”的道理. 一直以来，怎样才能有效提高学生对基础知识的掌握程度是数学教学中的老大难问题，笔者认为利用好错解资源对于解决这些问题能提供一些有益的参考.
关键词：错解资源；剖析反思；教学启示
数学习题教学是数学教学中的一个重要方面，其功能是多方面的，习题教学的主要目的是通过讲解、练习一些习题，使学生掌握数学基本知识，形成数学基本技能，领悟数学基本方法，体会数学概念的本质，发展数学能力，培养学习能力，改变学习方式. 实际课堂教学中，学生演算一道习题时会出现几种不同的解法，有的正确，有的可能错误，这都是正常现象，作为教师，对于正确的解法要给予充分肯定，剖析其精彩之处，适时进行表扬，从而培养学生的学习兴趣，增强学生学习数学的信心；对于错误的解法，除纠正其错误外，如果能充分利用错解这个“资源”，进行深入剖析，挖掘其出现错误的根源，可以从中发现学生学习中的一些不足之处，从而通过分析、拓展，加深学生对基础知识、基本思想方法的理解，这样可能会比只讲解正确的解法效果更好. 下面是笔者在实际教学中的一个案例，整理下来供同行商榷、指正.
看到学生的三种解法后，笔者先是有些惊讶，惊讶的是一道容易题也能引出这么多解法，不由对学生刮目相看.笔者发现这些解法很有价值，通过对这些解法的剖析，可以让学生对Sn与an的关系式理解得更深刻，于是让学生讨论这些解法并请给出解法的学生代表作一些简单评析.
学生1：解法1可以快速得到正确结论. 作为一道选择题，肯定是有答案的，只知道是四个选项中的一个，不知道是哪一个，只要选择正确的或排除错误的就可以了.
学生2：考虑解法2的思路，因为要求Sn的表达式，可以考虑将条件Sn=2an+1中的an+1用Sn+1，Sn表示，研究数列{Sn}的规律，将Sn看成是数列{Sn}中的第n项，寻找解题途径.
学生3：利用数列中Sn与an的关系式an=Sn-Sn-1，代入已知条件，研究数列{an}的特点，发现数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，再用数列求和公式求解，没有答案，故该题有误.
教师：要评判这些解法的正误，需要对数列通项与前n项和重新认识一下.
1. 知识再现
2. 审视反思
3. 追根求源
认清了解法3的错误所在，问题是否都解决了呢？笔者觉得学生心中一定会有疑惑：何时用解法3？何时用解法2？难道解法3就不能给出正确结果？等等. 于是就抛出了下面的问题：我们有了这些认识后再来审视解法2、3，思考并讨论下面的问题：
问题1：解法2为什么能得到正确的结论呢？
问题2：解法3难道就是“死路一条”，没有办法求出正确的结果？
1. 错因探究思考
产生上述求解错误的原因表面上看是使用结论an=Sn-Sn-1时没有注意其成立的条件n≥2，n∈N*，深层次的原因则是学生对知识“只知其然，不知其所以然”，只会“照着葫芦画瓢”，缺乏应变能力，对问题没有深刻的认识，对结论的使用范围、注意事项不理解，一遇到新的问题就束手无策. 《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质…使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，…”目前，在应试教育的大潮中，在唯分数论成败的形势下，许多教师以为，让学生去思考、去探究结论逐步形成的过程太浪费时间，往往采取“简单粗暴”的形式，直接将结论告诉学生，三年的教学内容两年甚至一年半完成，然后花大量的时间去做题，试图通过模仿训练、穷尽题型或以题海战术形成学生机械地应对问题的“能力”，结果只能出现“我讲了n遍，你怎么还不会，怎么还做错？”的无奈局面. 章建跃先生说过：“如果教师讲的n遍是不讲理的、越俎代庖的、强加于人的，少了循循善诱，缺乏心智启迪，没有给学生以豁然开朗的思维体验，那么这个n趋向于∞也是枉然.”数学教学不是结果的教学，而是思维活动过程的教学. 数学教学中，要把问题的提出过程，概念的抽象过程，知识的获取过程，结论的探究过程，结论使用时的范围、注意事项以及分析问题、解决问题的艰难曲折思维过程暴露给学生，而不是简单的向学生展示成功的结果.
2. 如何看待错解
数学学习是一个认知过程，由于学生认知水平、理解水平的不同，解题中出现错误属正常现象，教学中如何对待学生学习中、解题中的错误很重要，心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，谁将错过最富有成效的学习时刻.” 也就是说，错解是一种可利用的资源，它最能直接暴露出学习中的薄弱地方，改正它能弥补学习中的不足，反思它能深化对概念、公式、定理的理解. 教学中充分利用好错解资源，可以深化、完善习题的教育作用，实现其功能的最大化.罗增儒教授关于“错解”给予我们这样的启示：“弄清了错解的内容和性质，使我们更接近问题的深层结构，解题的思维也随之而开朗.”
解题是学习数学不可缺少的重要环节，但是工夫不能仅仅下在解题上，而是要用在反思上，特别是对错解的反思. 数学题目是无穷的，我们不可能解决完所有的题目，但是我们可以通过解决、分析典型问题，领悟数学机智，提高综合能力. 对于一些概念、公式、定理的巩固理解，不能只是为解题而解题，还要注意其内涵、外延，注重其本质特征，也就是说，我们不仅要知道如何用，还要知道什么时候用，使用范围是什么等等，否则就不能说是掌握了一个数学概念或公式. 有效利用错解这个资源，从错误中反思，从错误中学习，学会突破障碍，学会调整思维方向，从错误走向正确，从失败走向成功，这正是教学的最终目标，也是错解资源的价值所在.
3. 当前教学启示
从上述解法可以看出，平时学习中只注意记忆Sn与an的关系，对此问题的数学背景、成立条件、数学本质不理解或理解不深刻的学生就十分容易出现解法3中的错误. 平时教学若对学生只是一味进行“模仿”训练，就不可能对数学的本质有深入的理解，因此，高考中这类问题的求解对于学习过程中只重视“模式化”思维求解问题的考生无疑具有挑战性. 高考是对高中生学习水平、学习能力的考查，毫无疑问，高考试题对高中的教学、学习具有明显的导向作用. 每年高考结束后，我们总会听到一些议论，今年高考试题难、易、怪等等，总会有不少考生因失误丢分而痛心疾首，后悔不已. 我们平时总是在强调加强基础知识、基本技能、基本思想方法的训练，大家都知道“谁的基本功好，谁就能在高考中取得成功”的道理. 一直以来，怎样才能有效提高学生对基础知识的掌握程度是数学教学中的老大难问题，笔者认为利用好错解资源对于解决这些问题能提供一些有益的参考.